南阳师范学院：《高等数学》课程教学课件（同济第六版）第七章 微分方程的基本概念 7.1 微分方程的基本概念

第一节 微分方程的基本概念 一、问题的提出 二、微分方程的概念 三、微分方程的阶 四、微分方程的解

第一节 微分方程的基本概念 一、问题的提出 二、微分方程的概念 三、微分方程的阶 四、微分方程的解

一、背景 1.几何问题： 例1： 一曲线通过点(1,2)，且在该曲线上任一点M(x,y)处的切线的斜 率为2x,求这曲线的方程 2.观察： （1)少=2x (2) d 3.发现： -2x与 d -g都是含有未知函数导数的方程

例 1： 一曲线通过点(1 2) 且在该曲线上任一点M x y ( , )处的切线的斜 1.几何问题： 率为2x  求这曲线的方程 一、背 景 2.观察： （1） x dx dy 2 （2） 2 2 d x g dt   3.发现： x dx dy 2 与 2 2 d x g dt   都是含有未知函数导数的方程

二、有关的概念 1:微分方程： 表示未知函数、未知函数的导数与自变量之间的关系的方程，叫微分方程 常微分方程：未知函数是一元函数的微分方程，叫常微分方程 偏微分方程：未知函数是多元函数的微分方程，叫偏微分方程， 注记1：在微分方程中，自变量和未知函数可以不出现，但未知函数的 导数或微分必须出现

二、有关的概念 表示未知函数、未知函数的导数与自变量之间的关系的方程 叫微分方程 常微分方程 未知函数是一元函数的微分方程 叫常微分方程 偏微分方程 未知函数是多元函数的微分方程 叫偏微分方程 1：微分方程 注记 1：在微分方程中，自变量和未知函数可以不出现，但未知函数的 导数或微分必须出现

二、有关的概念 2. 微分方程的阶： 微分方程中所出现的未知函数的最高阶导数的阶数，叫微分方程的阶， 一般n阶微分方程： F(x,y,,y)=0 或 y=f(x,y,y,...y(D)

二、有关的概念 2. 微分方程的阶 微分方程中所出现的未知函数的最高阶导数的阶数 叫微分方程的阶 一般 n 阶微分方程 ( ) ( , , , , ) 0 n F x y y y    或 ( ) ( 1) ( , , , , ) n n y f x y y y    

3.微分方程的解： 满足微分方程的函数（把函数代入微分方程能使该方程成为恒等式） 叫做该微分方程的解 确切地说，设函数y=p(x)在区间1上有n阶连续导数，如果在区间1上， F(x,0,p'(x),,p”(x)=0 那么函数y=p(x)就叫做微分方程F(x,y,y,,y)=0在区间1上的解

满足微分方程的函数(把函数代入微分方程能使该方程成为恒等式) 叫做该微分方程的解 确切地说 设函数 y x ( )在区间 I 上有 n 阶连续导数 如果在区间 I 上 3. 微分方程的解 ( ) ( , , ( ), , ( )) 0 n F x x x       那么函数 y x ( ) 就叫做微分方程 ( ) ( , , , , ) 0 n F x y y y    在区间 I 上的解

4.通解： 如果微分方程的解中含有任意常数，且任意常数的个数与微分方程的阶数 相同，这样的解叫做微分方程的通解。 初始条件：用于确定通解中任意常数的条件，称为初始条件 注记1： =,=%是一阶微分方程的初始条件。 =,=为，==是二阶微分方程的初始条件. 5.特解：确定了通解中的任意常数以后，就得到微分方程的解称为特解 即微分方程的的不含任意常数的解

4.通解 如果微分方程的解中含有任意常数 且任意常数的个数与微分方程的阶数 相同 这样的解叫做微分方程的通解 初始条件 用于确定通解中任意常数的条件 称为初始条件 注记 1： 0 0 y y xx  是一阶微分方程的初始条件 0 0 y y xx   0 0 y y x x     是二阶微分方程的初始条件 5.特解 确定了通解中的任意常数以后 就得到微分方程的解称为特解 即微分方程的的不含任意常数的解

6. 初值问题：求微分方程满足初始条件的解的问题称为初值问题！ 求一阶微分方程y=fx,)满足初始条件：，=%的解的问题记为 y=f(x,y) x=x=yo 7.积分曲线：微分方程的特解的图形是一条曲线，叫做微分方程的积分曲线. 初值问题 y”的几何意义是就是求微分方程的通过x,必)的积分曲线

求一阶微分方程 y f x y   ( , )满足初始条件 0 0 y y xx  的解的问题记为        0 0 ( , ) y y y f x y x x 7.积分曲线 微分方程的特解的图形是一条曲线 叫做微分方程的积分曲线 6. 初值问题 求微分方程满足初始条件的解的问题称为初值问题 初值问题        0 0 ( , ) y y y f x y x x 的几何意义是就是求微分方程的通过 0 0 ( , ) x y 的积分曲线

判读正误 1.yy'+2x=0是一阶微分方程 2.∫d+2x=0是微分方程 3.y少=1是二阶微分方程 x+y 4.yo)+y+y=0是十阶微分方程 5.+2xd=0是一阶微分方程 6.y=x2+1是y=2x的满足y儿=2的特解 7.函数x=Gos+Csm女是微分方程作+=0化0的通解

判读正误 1. y y x   2 0 是一阶微分方程 2. 0 2 0 x tdt x    是微分方程 3. 1 y x y    是二阶微分方程 4. (10) y y y     0 是十阶微分方程 5. dy xdx   2 0 是一阶微分方程 6. 2 y x  1 是 y x   2 的满足 1 2 x y   的特解 7. 函数 1 2 x C kt C kt   cos sin 是微分方程 2 2 2 0 ( 0) d x k x k dt    的通解