第四节函数展开成幂级数 一、泰勒(Taylor)级数 二、函数展开成幂级数
第四节 一、泰勒 ( Taylor ) 级数 二、函数展开成幂级数 函数展开成幂级数
问题 函数f孔x)是否能在某个区间内“展开成幂级数”， 就是说，是否能找到这样一个幂级数，它在某区间 内收敛，且其和恰好就是给定的函数x) 如果能找到这样的幂级数，则称函数x)在该 区间内能展开成幂级数
函数f(x)是否能在某个区间内“展开成幂级数”, 就是说,是否能找到这样一个幂级数, 它在某区间 内收敛,且其和恰好就是给定的函数f(x). 问题 如果能找到这样的幂级数, 则称函数f(x)在该 区间内能展开成幂级数
一、泰勒(Taylor)级数 复习f(x)的n阶泰勒公式 若函数f(x)在x0的某邻域内具有n+1阶导数，则在 该邻域内有： f(x)=f(xo)+f(o)x-x)+Io(x-3o)2 2! ++x-xo+R,( n! 等式右端的多项式当其项数趋于无穷时，将成为幂 级数，这个幂级数就称为fx)的泰勒级数
一、泰勒 ( Taylor ) 级数 其中 Rn (x) = ( ξ 在 x 与 x0 之间) 称为拉格朗日余项 . 1 0 ( 1) ( ) ( 1)! ( ) + + − + n n x x n f ξ 则在 复习 f (x) 的 n 阶泰勒公式 f (x) = f (x0 ) + f ′(x0 )(x − x0 ) + 2 0 0 ( ) 2!( ) x x f x − ′′ n n x x n f x ( ) !( ) 0 0 ( ) +"+ − R (x) + n 若函数 0 f (x)在x 的某邻域内具有 n + 1 阶导数, 该邻域内有 : 等式右端的多项式当其项数趋于无穷时, 将成为幂 级数, 这个幂级数就称为f(x)的泰勒级数
若函数f(x)在xo的某邻域内具有任意阶导数，则称 +wc-+- u-4r 为f(x)的泰勒级数. 当xo=0时，泰勒级数又称为麦克劳林级数 待解决的问题： (1)对此级数，它的收敛域是什么？ (2)在收敛域上，和函数是否为f(x)?
f (x0 ) + f ′(x0 )(x − x0 ) + 2 0 0 ( ) 2!( ) x x f x − ′′ +"+ − n +" n x x n f x ( ) !( ) 0 0 ( ) 为f (x) 的泰勒级数 . 则称 当x0 = 0 时, 泰勒级数又称为麦克劳林级数 . (1) 对此级数, 它的收敛域是什么 ？ (2) 在收敛域上 , 和函数是否为 f (x) ? 待解决的问题 : 若函数 f (x)在x0的某邻域内具有任意阶导数
定理1设函数f(x)在点x的某一邻域U(x0)内具有 各阶导数，则f(x)在该邻域内能展开成泰勒级数的充要 条件是f(x)的泰勒公式余项满足：limR,(x)=0 证明w-.-%r6a n→0 n-含4 f(x)=S+(x)+R(x) lim R,(x)=lim[f(x)-S,+(x)]=0,xeU(xo) n→o n-→o0
定理1 各阶导数, ( ) 0 U x 则 f (x) 在该邻域内能展开成泰勒级数的充要 条件是 f (x) 的泰勒公式余项满足: lim ( ) = 0. →∞ R x n n 证明 ( ) , !( ) ( ) 0 0 0 ( ) n n n x x n f x f x = ∑ − ∞= 令 ( ) ( ) ( ) 1 f x S x R x = n+ + n = →∞ lim R (x) n n lim[ ( ) ( )] 1 f x S x n n + →∞ − = 0 , ( ) 0 x∈U x k n k k n x x k f x S x ( ) !( ) ( ) 0 0 0 ( ) 1 = ∑ − = + ( ) 0 x∈U x 设函数 f (x) 在点 x0 的某一邻域 内具有
二、函数展开成幂级数 「直接展开法 一利用泰勒公式 展开方法 (间接展开法一利用已知其级数展开式 的函数展开 1.直接展开法 由泰勒级数理论可知，函数f(x)展开成幂级数的步 骤如下： 第一步求函数及其各阶导数在x=0处的值； 第二步写出麦克劳林级数，并求出其收敛半径R; 第三步判别在收敛区间(-R,R内limR,(x)是否为 0
二、函数展开成幂级数 1. 直接展开法 由泰勒级数理论可知, 函 数 f ( x )展开成幂级数的步 第一步 求函数及其各阶导数在 x = 0 处的值 ; 第二步 写出麦克劳林级数 , 并求出其收敛半径 R ; 第三步 判别在收敛区间 ( － R, R) 内 lim R ( x ) n n → ∞ 是否为 骤如下 : 展开方法 直接展开法 — 利用泰勒公式 间接展开法 — 利用已知其级数展开式 0. 的函数展开
例1将函数f(x)=e'展开成x的幂级数 解 fm(x)=e,fm(0)=1(n=0,1,),故得级数 n 1+x+ +++ 十 213 n！ 其收敛半径为 R=lim =十00 对任何有限数x,其余项满足 R,(x)= e n→o0 (n+1)月 (5在0与x之间) 故el++2++++xe+网 1213
例1 将函数 x f ( x ) = e 展开成 x 的幂级数. 解 ( 0 ) 1 ( 0,1, ), f ( n ) = n = " 1 其收敛半径为 = + ∞ 对任何有限数 x , 其余项满足 R n ( x ) = ξ e ( n + 1 )! n + 1 x x < e ( 1 )! 1 + + n x n 故 , ! 1 3! 1 2! 1 e 1 x = + + 2 + 3 + " + x n + " n x x x → ∞ = n R lim ! 1 n ( 1 )! 1 n + n → ∞ 0 x ∈ ( − ∞,+ ∞ ) (ξ 在 0 与x 之间 ) + x 2 2! 1 + x 3 3! 1 + x + " + x n + " n! 1 ( ) e , 故得级数 ( n ) x f x =
例2将f(x)=sinx展开成x的幂级数 解 f(m(x)=sin(x+n.) "ow-c n=2k (k=0,1,2,…) 得级数x-+r3+(n-22m-l+… 其收敛半径为R=+0,对任何有限数x,其余项满足 Rn (x)= snE+a+D》xlx (n+1)川 n→o0 (n+1)！ sin=(- x∈(-0，+0)
例2 将 f (x) = sin x 展开成 x 的幂级数. 解 得级数: x sin( ) 2π x + n ⋅ 其收敛半径为R = +∞, 对任何有限数 x , 其余项满足 Rn (x) = sin( ( 1) ) 2π ξ + n + (n +1)! n+1 x ( 1)!1 + < + nx n n = 2k +1 (k = 0,1, 2,") 3 3! 1 − x + −"+ 5 5!1 x (−1)n−1 (2n1−1)! x2n−1 +" x∈(−∞, + ∞) ∴ sin x n → ∞ 0 n = 2k ( 1) , k − 0 , = x − 31! x3 + 51! x5 −"+ (−1)n−1 (2n1−1)! x2n−1 +" ( ) = ( ) f x n ⎩⎨⎧ (0) = (n) f
x2n-1t... 311 (2n-1)川 x∈(-00，+0) 对上式两边求导可推出： (2n)1 x∈(-0，+0)
= − + −"+ − n− x n +" n x x x 2 4 1 2 (2 )! 1 ( 1) 4!1 2!1 cos 1 对上式两边求导可推出: x∈(−∞, + ∞) x∈(−∞, + ∞) " +" − = − + − + − 3 5 −1 2 −1 (2 1)! 1 ( 1) 5!1 3!1 sin n n x n x x x x
2.间接展开法 利用一些已知的函数展开式及幂级数的运算性质， 将所给函数展开成幂级数， 1 例4将函数 1+x2 展开成x的幂级数 解因为 =1-x+x2-+(-Ix”+…(-1<x<1) 1+x 把x换成x2,得 1+1+++-少x2+ 1 (-1<x<1)
2. 间接展开法 2 1 1 + x = 1+ x 1 利用一些已知的函数展开式及幂级数的运算性质, 例4 将函数 展开成 x 的幂级数. 解 因为 1− x + x2 −"+ (−1)n xn +" (−1< x <1 ) 把 x 换成 2 x = + 2 1 1 x 1− x2 + x4 +"+ (−1)n x2n +" (−1< x <1 ) , 得 将所给函数展开成 幂级数