第六节 高斯公式 格林公式推工高斯公式 一、高斯公式
第六节 格林 公式 推广 高斯 公式 一、高斯公式 高斯公式
高斯(1777-1855) 德国数学家、天文学家和物理学家， 是与阿基米德，牛顿并列的伟大数学家 他的数学成就遍及各个领域，在数论、 高斯，C.F 代数、非欧几何、微分几何、超几何 级数、复变函数及椭圆函数论等方面均有一系列开创 性的贡献，他还十分重视数学的应用，在对天文学、大 地测量学和磁学的研究中发明和发展了最小二乘法、 曲面论和位势论等.他在学术上十分谨慎，恪守这样的 原则：“问题在思想上没有弄通之前决不动笔
高斯(1777 – 1855) 德国数学家、天文学家和物理学家, 是与阿基米德, 牛顿并列的伟大数学家, 他的数学成就遍及各个领域 , 在数论、 级数、复变函数及椭圆函数论等方面均有一系列开创 性的贡献, 他还十分重视数学的应用, 地测量学和磁学的研究中发明和发展了最小二乘法、 曲面论和位势论等. 他在学术上十分谨慎, 原则: 代数、非欧几何、 微分几何、 超几何 在对天文学、大 恪守这样的 “问题在思想上没有弄通之前决不动笔
牛顿菜布尼茨公式：心F'(x)=Fb)-F(a 格林公式： 08部a-P临+Q购 高斯公式： 则张+号+瓷n-Pwk+Quk+na 三者共性（实质)： 把内部问题转化为边界问题来处理
∫∫ ∫ = + ∂∂ − ∂∂ L D dxdy Pdx Qdy yP xQ ( ) 牛顿莱布尼茨公式： F (x)dx F(b) F(a) b a ′ = − ∫ 格林公式： 三者共性（实质）： 把内部问题转化为边界问题来处理. ∫∫∫ ∫∫ Ω ∑ = + + ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ dv Pdydz Qdzdx Rdxdy z R y Q x P ( ) 高斯公式：
一、高斯(Gauss)公式 定理1设空间闭区域Ω由分片光滑的闭曲面∑所围成， ∑的方向取外侧，函数P,2,R在2上有连续的一阶偏导 数，则有 兰+器dd-ua+0udr4d (Gauss公式) 下面先证： 0川器dd:-∯4d
一、高斯 ( Gauss ) 公式 定理1 设空间闭区域 Ω 由分片光滑的闭曲 Ω 上有连续的一阶偏导 ddd PQR x y z xyz Ω ⎛ ⎞ ∂∂∂ ⎜ ⎟ + + ∫∫∫⎝ ⎠ ∂∂∂ P y z Q z x Rx y d d d d dd Σ = ++ w∫∫ 函数 P, Q, R 在 面Σ 所围成, 数 , 则有 (Gauss 公式) Σ 的方向取外侧, ddd R x y z z Ω ∂ ∫∫∫ ∂ Rd dx y Σ =w∫∫ 下面先证:
证明：设2：z1(x,y)≤z(x,y)≤22(x,y),(,y)∈Dy 称为XY-型区域，∑=1U2U3,1:z=1(x,y), 卫2：z=z2(x,y),则 22 -dy 2 -(Rx,y2,) -R(x,y,(x,y))dxdy 月Rdxdy=-(tj+j,)Rdxdy Rx..(dxdy-)dxdy
Σ 2 Σ 3 Σ1 z y x Dxy O Ω { R(x, y, ) − R(x, y, ) }d x d y : ( , ), 1 1 Σ z = z x y 证明: 设 Dxy Ω : z1(x, y) ≤ z(x, y) ≤ z2 (x, y), (x, y)∈ , Σ = Σ1 ∪ Σ 2 ∪ Σ 3 z z z x y R z x y d ( , ) ( , ) 2 1 ∫ ∂∂ ∫∫ = Dx y ( , ) 2z x y ( , ) 1z x y ∫∫ΣRd x d y ∫∫ = Dx y ( ∫∫ = Σ 2 x y z z R d d d ∫∫∫ ∂∂ Ω d x d y ∫∫ + Σ1 ∫∫ + Σ 3 )Rd x d y 称为XY -型区域 , : ( , ), 2 2 Σ z = z x y 则 R(x, y, )dxdy ∫∫ − Dx y ∫∫ = Dx y ( , ) 2z x y R( ) x, y, ( , )d xdy 1z x y
所以 4dd:- Rdxdy 若2不是XY-型区域，则可引进辅助面 将其分割成若干个XY-型区域，在辅助面 正反两侧面积分正负抵消，故上式仍成立」 类似可证 dxd,d:-非Nva 9dd:i.oud 三式相加，即得所证Gauss公式： 器兴 dxdyddx+
所以 若 Ω 不是 XY–型区域 , 则可引进辅助面 将其分割成若干个 XY–型区域 , 正反两侧面积分正负抵消 , 故上式仍成立 . 在辅助面 类似可证 x y z y Q d d d ∫∫∫ ∂ ∂ Ω ∫∫ = Σ Q d z d x x y z x P d d d ∫∫∫ ∂ ∂ Ω ∫∫ = Σ P d y d z 三式相加, 即得所证 Gauss 公式： ddd PQR xyz xyz Ω ⎛ ⎞ ∂∂∂ ⎜ ⎟ + + ∫∫∫⎝ ⎠ ∂∂∂ P y z Q z x Rx y d d d d dd Σ = ++ w∫∫ ddd R xyz z Ω ∂ ∫∫∫ ∂ Rd dx y Σ = w∫∫
例1用Gauss公式计算ffx-)dxdy+(-)xdyd 其中∑为柱面x2+y2=1及平面z=0,z=3所围空间 闭域2的整个边界曲面的外侧. 解这里P=(y-z)x,Q=0,R=x-y 利用Gauss公式，得 原式=J∬o-:dxdd: j∬o-axad: 广a40-nt-9 2
x 3 z 1 y 例1 用Gauss 公式计算 ( )d d ( ) d d x y x y y zx y z Σ − +− w∫∫ 其中Σ 为柱面 1 2 2 x + y = 闭域 Ω 的整个边界曲面的外侧. 解 这里 利用Gauss 公式, 得 原式 = ( )d d d yz xyz Ω − ∫∫∫ 2 9 π = − P = ( y − z)x, Q = 0, R = x − y 及平面 z = 0 , z = 3 所围空间 2 13 0 00 ( )d d d ( sin ) yz xyz d d z dz π θ ρ ρθ ρ Ω = − = − ∫∫∫ ∫ ∫∫ O
例2.利用Gauss公式计算积分 I-j∬(xcosa+ycosa+:'cos7jas 其中2为锥面x2+y2=z2介于z=0及z=h 之间部分的下侧，a%,B,y为法向量的方向角. 解作辅助面 =h,(xy)eDw:x2+y2≤2，取上侧 记∑，1所围区域为①，则 在1上0=B=5,y=0 1(c2c+cosd. =2∬ox+y+)dxdyd--川dxdy
Σ h z y x O 例2. 利用Gauss 公式计算积分 222 I ( cos cos cos )d x α βγ y z S Σ = ++ ∫∫ 其中Σ 为锥面 2 2 2 x + y = z 解 作辅助面 : , Σ 1 z = h ( , ) : , 2 2 2 x y ∈ Dxy x + y ≤ h 取上侧 ∫∫ = 1 ( Σ ∪Σ I ∫∫ − Σ1)(x cos y cos z cos )d S 2 2 2 α + β + γ , 0 2π 在 Σ1上α = β = γ = 介于z = 0及 z = h 之间部分的下侧, α, β, γ 为法向量的方向角. 1 记Σ ,Σ 所围区域为Ω ,则 ∫∫∫ = + + Ω 2 (x y z)d x d y d z h x y Dx y d d 2 ∫∫ − Σ 1 h
1=2j2x+J+adxdd-ndxdy =2 [-dxdyd=-元h 先二后一 =22元22d-元h =-πh4
∫∫∫ = + + Ω I 2 (x y z)d xdydz ∫∫∫ = Ω 2 z d x d ydz 4 − π h h x y Dx y d d 2 ∫∫ − 4 2 1 = − π h ∫ = hz 0 2 2 ⋅ π z dz 4 − π h Σ h z y x O Σ 1 h 先二后一
练习 计算曲面积分，(e2+x)dydz-zdxdy, :z=(x2+y2)介于平面2=0及：=2 之间部分的下侧！ 提示：作取上侧的辅助面12=2， (x,月eDyx2+y2≤4
y x z 2 O 计算曲面积分 ( )d d d d , 2 ∫∫ + − Σ z x y z z x y : ( ) 2 2 21 Σ z = x + y 介于平面 z= 0 及 z = 2 之间部分的下侧. 2 练习 提示: 作取上侧的辅助面 : 2, Σ 1 z = ( , ) : 4 2 2 x y ∈ Dxy x + y ≤