南阳师范学院：《高等数学》课程教学课件（同济第六版）第七章 微分方程的基本概念 7.2 可分离变量的微分方程

第二节可分离变量的微分方程

第二节 可分离变量的微分方程

一、可分离变量的微分方程 1.定义 如果一个一阶微分方程能写成g(y)d=f(x)的形式，就是说能把微分方程 写成一端只含y的函数和dy,另一端只含x的函数和dk,那么原方程就称为可分 离变量的微分方程 例1下列方程中哪些是可分离变量的微分方程？ (1)y'=2xy (2)xy'=yIn y (3)y=+业 (4)y'=2x+

如果一个一阶微分方程能写成 g y dy f x dx ( ) ( )  的形式就是说能把微分方程 离变量的微分方程 1. 定义 写成一端只含 y 的函数和dy  另一端只含 x的函数和dx，那么原方程就称为可分 一、可分离变量的微分方程 例 1 下列方程中哪些是可分离变量的微分方程？ (1) y xy   2 (2) xy y y   ln (3) x y y x y     (4) 2 x y y   

发现 般地，如果一阶微分方程能写成 g(y)dy=f(x)dx 形式，则两边积分 ∫gy)=∫f(x)ds 设gOy),fx)的原函数分别为Gy),F(x),可得一个不含未知函数的导数的方程 G(y)=F(x)+C 由方程Gy)=F(x)+C所确定的隐函数就是原方程的通解

g y dy f x dx ( ) ( )  一般地 如果一阶微分方程能写成 形式 则两边积分 发 现 g y dy f x dx ( ) ( )    设 g y f x ( ), ( )的原函数分别为G y F x ( ), ( )，可得一个不含未知函数的导数的方程 G y F x C ( ) ( )   由方程G y F x C ( ) ( )   所确定的隐函数就是原方程的通解

2.可分离变量的微分方程的解法： 第一步分离变量，将方程写成的形式g(y)d=fx); 第二步 两端积分：∫g=∫fx本，设积分后得G0)=F(x)+C 第三步求出由G(y)=F(x)+C所确定的隐函数y=p(x)或x=wOy) 都是方程的通解。 例2求微分方程会=2y的通解

第一步 分离变量 将方程写成的形式 g y dy f x dx ( ) ( )   第二步 两端积分   g(y)dy f (x)dx  设积分后得G y F x C ( ) ( )   第三步 求出由G y F x C ( ) ( )   所确定的隐函数 y x ( )或 x y ( ) 2. 可分离变量的微分方程的解法 都是方程的通解. 例 2 求微分方程 xy dx dy 2 的通解

注记 注记：微分方程的通解不一定是所有的解 如来=2w的通解y=Ce丢失了y=0

注记：微分方程的通解不一定是所有的解 如 xy dx dy 2 的通解 2 x yCe 丢失了 y  0 注 记