南阳师范学院：《高等数学》课程教学课件（同济第六版）第七章 微分方程的基本概念 7.5 可降阶的高阶微分方程

一，ym=fx)型的微分方程 解法： 逐次积分法（n次) -)=∫fx)+C,(积分中不再加任意常数). y-2=[lff(x)dx+Clx+C2. 例1求微分方程y"=e2r-cosx的通解. 解对所给方程接连积分三次，得 y--simx+C.y-+c5x+C+C. ,+sinx+Cr2+Cx+C,就是齐次线性微分方程的通解

一、 ( ) ( ) n y f x  型的微分方程 1 2 ( 2) y [ f (x)dx C ]dx C n           例 1 求微分方程 2 cos x y e x    的通解 解 对所给方程接连积分三次 得 2 3 2 1 2 2 1 sin 8 1 y e x C x C x C x      就是齐次线性微分方程的通解 解法 逐次积分法（n次） 1 ( 1) y f (x)dx C n      （积分中不再加任意常数） 1 2 sin 2 1 y e x C x      1 2 2 cos 4 1 y e x C x C x      

二、y=fx,)型的微分方程 解法：（1)设y=p,则方程化为p=fxp) (2)求出p'=fx,p)的通解p=ox,C) (3)求交-xC)的通解，xCk+C, 例2求微分方程1+x2)y°=2y的通解 分析：(1)所给方程是y=f(x,y).设y=p代入方程并分离变量后，有 虫 (2)解迎=，2x得p=y=±e1+x2)=C(1+x) p1+x2 (3)解y=C(1+x2)

二、 y f x y    ( , )型的微分方程 解法 （1）设 y p   ，则方程化为 p f x p   ( , ) （2）求出 p f x p   ( , )的通解 1 p x C ( , ) （3）求 ( , ) C1 x dx dy  的通解 1 2 y (x,C )dxC    例 2 求微分方程 2 (1 ) 2   x y xy   的通解 分析： （1）所给方程是 y f x y    ( , ) .设 y p   代入方程并分离变量后 有 dx x x p dp 2 1 2    （2）解 dx x x p dp 2 1 2   得     2 2 1 1 1 C p y e x C x        （3）解   2 1 y C x   1

三、y”=fy,y)型的微分方程 解法： (1)设/=p,则方程化为D票0pm (2)求出p央=f0,p)的通解y=p=y.C) dy (3)求y=y,C)的通解 (y,C =x+C2, 例3求微分方程y-(y)=0的通解

三、 y f y y    ( , )型的微分方程 解法 （1）设 y p   ，则方程化为 f (y, p) dy dp p  （2）求出 f (y, p) dy dp p  的通解 1 y p y C   ( , ) （3）求 1 y y C  ( , )的通解 2 1 ( , ) x C y C dy      例 3 求微分方程   2 yy y     0 的通解