(1)排列组合公式 m! =(m-m)! 从m个人中挑出n个人进行排列的可能数. C=(m-n)! 从m个人中挑出n个人进行组合的可能数， (2)加法和乘法原理 加法原理（两种方法均能完成此事）：m+n 某件事由两种方法来完成，第一种方法可由m种方法完成，第二种方 法可由n种方法来完成，则这件事可由m+n种方法来完成。 乘法原理（两个步骤分别不能完成这件事）：m×n 某件事由两个步骤来完成，第一个步骤可由m种方法完成，第二个 步骤可由n种方法来完成，则这件事可由m×n种方法来完成。 (3)一些常见排列 重复排列和非重复排列（有序） 对立事件（至少有一个） 顺序问题 (4)随机试验和随机事件
（1）排列组合公式 ! ( ) n m m A m n = − ! 从 m 个人中挑出 n 个人进行排列的可能数. )!(! ! nmn m Cn m − = 从 m 个人中挑出 n 个人进行组合的可能数. （2）加法和乘法原理 加法原理（两种方法均能完成此事）：m+n 某件事由两种方法来完成，第一种方法可由 m 种方法完成，第二种方 法可由 n 种方法来完成，则这件事可由 m+n 种方法来完成。 乘法原理（两个步骤分别不能完成这件事）：m×n 某件事由两个步骤来完成，第一个步骤可由 m 种方法完成，第二个 步骤可由 n 种方法来完成，则这件事可由 m×n 种方法来完成。 （3）一些常见排列 重复排列和非重复排列（有序） 对立事件（至少有一个） 顺序问题 （4）随机试验和随机事件
如果一个试验在相同条件下可以重复进行，而每次试验的可能结果不 止一个，但在进行一次试验之前却不能断言它出现哪个结果，则称这 种试验为随机试验。 试验的可能结果称为随机事件。 (5)基本事件、样本空间和事件 在一个试验下，不管事件有多少个，总可以从其中找出这样一组事件， 它具有如下性质： ①每进行一次试验，必须发生且只能发生这一组中的一个事件： ②任何事件，都是由这一组中的部分事件组成的。 这样一组事件中的每一个事件称为基本事件，用⊙来表示。 基本事件的全体，称为试验的样本空间，用Ω表示。 一个事件就是由2中的部分点（基本事件0）组成的集合。通常用大 写字母A,B,CG,…表示事件，它们是2的子集。 Q为必然事件，0为不可能事件。 不可能事件()的概率为零，而概率为零的事件不一定是不可能 事件；同理，必然事件（Ω)的概率为1，而概率为1的事件也不一 定是必然事件
如果一个试验在相同条件下可以重复进行，而每次试验的可能结果不 止一个，但在进行一次试验之前却不能断言它出现哪个结果，则称这 种试验为随机试验。 试验的可能结果称为随机事件。 （5）基本事件、样本空间和事件 在一个试验下，不管事件有多少个，总可以从其中找出这样一组事件， 它具有如下性质： ①每进行一次试验，必须发生且只能发生这一组中的一个事件； ②任何事件，都是由这一组中的部分事件组成的。 这样一组事件中的每一个事件称为基本事件，用ω来表示。 基本事件的全体，称为试验的样本空间，用Ω表示。 一个事件就是由Ω中的部分点（基本事件ω）组成的集合。通常用大 写字母 A，B，C，…表示事件，它们是Ω的子集。 Ω为必然事件，Ø 为不可能事件。 不可能事件（Ø）的概率为零，而概率为零的事件不一定是不可能 事件；同理，必然事件（Ω）的概率为 1，而概率为 1 的事件也不一 定是必然事件
(6)事件的关系与运算 ①关系： 如果事件A的组成部分也是事件B的组成部分，(A发生必有事件B 发生)：AcB 如果同时有AcB,BA,则称事件A与事件B等价，或称A等于 B:A=B。 A、B中至少有一个发生的事件：AUB,或者什B。 属于A而不属于B的部分所构成的事件，称为A与B的差，记为A-B, 也可表示为A-AB或者AB,它表示A发生而B不发生的事件。 A、同时发生：A∩B,或者AB。A∩B=O,则表示A与B不可能同时发 生，称事件A与事件B互不相容或者互斥。基本事件是互不相容的。 Q-A称为事件A的逆事件，或称A的对立事件，记为A。它表示A不发 生的事件。互斥未必对立。 ②运算： 结合率：A(BC)=(AB)CAU(BUC)=(AUB)UC 分配率：(AB)UC=(AUC)n(BUC)(AUB)nC=(AC)U(BC)
（6）事件的关系与运算 ①关系： 如果事件 A 的组成部分也是事件 B 的组成部分，（A 发生必有事件 B 发生）： A ⊂ B 如果同时有 A ⊂ B，B ⊃ A，则称事件 A 与事件 B 等价，或称 A 等于 B：A=B。 A、B 中至少有一个发生的事件：A B U ，或者 A+B。 属于 A 而不属于 B 的部分所构成的事件，称为 A与B 的差，记为 A-B， 也可表示为 A-AB 或者 AB ，它表示 A 发生而 B 不发生的事件。 A、B同时发生：AI B，或者AB。AI B=Ø，则表示A与B不可能同时发 生，称事件A与事件B互不相容或者互斥。基本事件是互不相容的。 Ω -A称为事件A的逆事件，或称A的对立事件，记为 A。它表示A不发 生的事件。互斥未必对立。 ②运算： 结合率：A(BC)=(AB)C A∪(B∪C)=(A∪B)∪C 分配率：(AB)∪C=(A∪C)∩(B∪C) (A∪B)∩C=(AC)∪(BC)
德摩根率，0d-心a UB-708.AnB-AUB (7)概率的公理化定义 设2为样本空间，A为事件，对每一个事件A都有一个实数P(A) 若满足下列三个条件： 1°0≤P(A)≤1， 2°P(2)=1 3°对于两两互不相容的事件，，…有 心小2 常称为可列（完全）可加性。 则称P(A)为事件A的概率。 (8)古典概型 1°2=o,02…0} 2Pa）=o,)=a,） 设任一事件A,它是由0,020n组成的，则有 P(A={《o)U(o2)U…U(onm)}=P(o)+P(o)++P(om)
德摩根率： UI ∞ = ∞ = = 1 i 1 i i i AA = IU BABA ， = UI BABA （7）概率的公理化定义 设Ω为样本空间，A为事件，对每一个事件 A都有一个实数P(A)， 若满足下列三个条件： 1° 0≤P(A)≤1， 2° P(Ω) =1 3° 对于两两互不相容的事件 A1， A2 ，…有 ∑ = = =⎟ ⎟ ⎠ ⎜ ⎜ ⎝ 1 1 )( i i i U i APAP ∞ ∞ ⎞⎛ 常称为可列（完全）可加性。 则称P(A)为事件 A的概率。 （8）古典概型 { } ω ω Lω n =Ω , 1° 21 ， 2° n PP P n )()()( 1 ωω 2 == L ω = 1 。 设任一事件 A，它是由ω ω Lω m , )()()( 21 组成的，则有 P(A)={ } 1 ω 2 ULUU ω m = PP P )()()( ω ω1 + ω 2 +L+ ω m
=”。4所包含的基本事件数 n 基本事件总数 (9)几何概型 若随机试验的结果为无限不可数并且每个结果出现的可能性均匀，同 时样本空间中的每一个基本事件可以使用一个有界区域来描述，则称 此随机试验为几何概型。对任一事件A, 0=份。其中L为几何度量（长度、面积、体积. (10)加法公式 P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB) 当P(AB)=0时，P(A+B)=P(A)+P(B) (11)减法公式 P(A-B)=P(A)-P(AB) 当BcA时，P(A-B)=P()-P(B) 当A=Q时，P(B)=1-P(B) (12)条件概率 定义设A、B是两个事件，且P④)>0，则称P4)为事件A发生条件 P(A)
n m = 基本事件总数 A所包含的基本事件数 = （9）几何概型 若随机试验的结果为无限不可数并且每个结果出现的可能性均匀，同 时样本空间中的每一个基本事件可以使用一个有界区域来描述，则称 此随机试验为几何概型。对任一事件 A， )( )( )( Ω = L AL AP 。其中 L 为几何度量（长度、面积、体积）。 （10）加法公式 P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB) 当 P(AB)＝0 时，P(A+B)=P(A)+P(B) （11）减法公式 P(A-B)=P(A)-P(AB) 当 B⊂ A 时，P(A-B)=P(A)-P(B) 当 A=Ω时，P( B )=1- P(B) （12）条件概率 定义 设 A、B 是两个事件，且 P(A)>0，则称 AP )( ABP )( 为事件 A 发生条件
下，事件B发生的条件概率，记为PBI=PL P(A) 条件概率是概率的一种，所有概率的性质都适合于条件概率。 例如P(2/B)=1→P(B/A)=1-P(B/A) (13)乘法公式 乘法公式：P(AB)=P(A)P(BIA) 更一般地，对事件A,A,…A,若P(AA2…A)>0,则有 P(AA…A)=P(A)P(A|A)P(A|AA.…P(AAA…Am-）。 (14)独立性 ①两个事件的独立性 设事件A、B满足P(AB)=P(A)P(B),则称事件A、B是相互独立的。 若事件A、B相互独立，且P(A)>0,则有 P(BIA)-P(AB)-P(A)P(B)-P(B) P(A) P(A) 若事件A、B相互独立，则可得到A与B、A与B、A与B也都相 互独立。 必然事件2和不可能事件0与任何事件都相互独立
下，事件 B 发生的条件概率，记为 ABP )/( = AP )( ABP )( 。 条件概率是概率的一种，所有概率的性质都适合于条件概率。 例如 P(Ω/B)=1⇒P( B /A)=1-P(B/A) （13）乘法公式 乘法公式： = ABPAPABP )/()()( 更一般地，对事件A1，A2，…An，若P(A1A2…An-1)>0，则有 ( AAP 21 … …… … 。 An) = AAAPAAPAP 213121 )|()|()( n |( AAAP 21 An − 1) （14）独立性 ①两个事件的独立性 设事件 A、B 满足 = BPAPABP )()()( ，则称事件 A、B 是相互独立的。 若事件 A、B 相互独立，且 ，则有 AP > 0)( )( )()( )|( BP APAP ABP == = BPAPABP )()()( 若事件 A、 B 相互独立，则可得到 A与 B 、 A与 B 、 A与 B 也都相 互独立。 必然事件Ω和不可能事件Ø与任何事件都相互独立
0与任何事件都互斥。 ②多个事件的独立性 设ABC是三个事件，如果满足两两独立的条件， P(AB)=P(A)P(B):P(BC)=P(B)P(C):P(CA)=P(C)P(A) 并且同时满足P(ABC)=P(A)P(B)P(C) 那么A、B、C相互独立。 对于n个事件类似。 (15)全概公式 设事件B,B2,…,Bm满足 1°B,B2,…,B两两互不相容，P(B)>00=12,,m), 204cU8 则有 P(A)=P(B)P(AIBI)+P(B:)P(AB:)+...+P(B)P(AI B) (16)贝叶斯公式 设事件B,B2,…,B及A满足
Ø 与任何事件都互斥。 ②多个事件的独立性 设 ABC 是三个事件，如果满足两两独立的条件， P(AB)=P(A)P(B)；P(BC)=P(B)P(C)；P(CA)=P(C)P(A) 并且同时满足 P(ABC)=P(A)P(B)P(C) 那么 A、B、C 相互独立。 对于 n 个事件类似。 （15）全概公式 设事件 满足 21 L,,, BBB n 21 L,,, BBB n i = L niBP ),,2,1(0)( 1° 两两互不相容， > n ， 2° ， U i BA i =1 ⊂ 则有 = 1 1 + 2 2 +L+ n BAPBPBAPBPBAPBPAP n)|()()|()()|()()( 。 （16）贝叶斯公式 设事件B1，B2，…， 及Bn A满足
1°B,B,,B两两互不相容，P心B)>0,i1,2,,n, 2° Ac0B,P0>0, P(B,4= PB,)P41B),i=1,2,no 立PB,PAB,) 此公式即为贝叶斯公式。 P(B,),(i=1,2,…,n),通常叫先验概率。PB/A),(i=1,2,…, ),通常称为后验概率。贝叶斯公式反映了“因果”的概率规律， 并作出了“由果朔因”的推断。 (17)伯努利概型 我们作了n次试验，且满足 ◆每次试验只有两种可能结果，A发生或A不发生： ◆次试验是重复进行的，即A发生的概率每次均一样： ◆每次试验是独立的，即每次试验A发生与否与其他次试验A发 生与否是互不影响的。 这种试验称为伯努利概型，或称为”重伯努利试验。 用P表示每次试验A发生的概率，则A发生的概率为1-p=9,用P(k)
1° B1，B2，…，Bn两两互不相容， BiP )( >0，i = 1，2，…，n， 2° ， ， U i BA i =1 ⊂ n AP > 0)( 则 ∑= = n j j j i i i BAPBP ABP 1 )/()( )/( BAPBP )/()( n ，i=1，2，…n。 此公式即为贝叶斯公式。 )(BP i ，（ ， i = 1 2，…，n），通常叫先验概率。 i ABP )/( ，（ ， i = 1 2，…， ），通常称为后验概率。贝叶斯公式反映了“因果”的概率规律， 并作出了“由果朔因”的推断。 n （17）伯努利概型 我们作了 次试验，且满足 每次试验只有两种可能结果， A发生或 A不发生； n次试验是重复进行的，即 A发生的概率每次均一样； 每次试验是独立的，即每次试验 A发生与否与其他次试验 A发 生与否是互不影响的。 这种试验称为伯努利概型，或称为n重伯努利试验。 用 p 表示每次试验 A发生的概率，则 A发生的概率为1− = qp ，用 n kP )(
表示n重伯努利试验中A出现k(0≤k≤m)次的概率， P.(k)=Cnpq"-,k=0,12,…,n
表示n重伯努利试验中 A出现 ≤ ≤ nkk )0( 次的概率， knk k − n n )( =C qpkP ，k = L,,2,1,0 n