南阳师范学院《数学分析》第四部分（不定积分）自测题 一、判断正误题（判断下列各题是否正确，正确的划√，错误的划×） 1.若fx)可导，则d[「f(x=d(x). 2 f(sinx)cosxdx=F(x)+C,f(x)dx=F(arcsinx)+C. 3.函数族y=∫lnxd中每个函数在(0，+o)内都是单调递增的， 4.设y=fx),且∫fx)d=e+C,则y-(2+4x2)y=0. 二、填空题（将正确答案填写在横线上） l.若xlnx是函数fx)的一个原函数，则[ef(e)= 2若=m+C,则= 3.已知函数f(x)的一个原函数是sinx,则f'(x 4.设f0nx)=1+x则fx)=_ 三、选择题（将正确答案的序号填写在括号内) 1.若fx)=x+nx,则[f'(x)dk=(） C:x+Inx D:x+Inx+C 2.若函数y=x是fx)的一个原函数，则[f(x)cosxdx=() A:sinx+C B:-sinx+C C:xsinx-cosx+C D:xsinx-cosx+C 3.y=J(2x+1)d中过点(0,0)的函数在(-o,+∞)内的极小值为() A:0 B:1 C: 4.下列函数中可以作为某些函数在(-0，+∞)上的原函数的是(
南阳师范学院《数学分析》第四部分（不定积分）自测题 一、判断正误题（判断下列各题是否正确，正确的划√，错误的划×） 1. 若 f x( ) 可导，则 d f x dx df x ( ) ( ) . （ ） 2 若 f x xdx F x C (sin )cos ( ) ，则 f x dx F x C ( ) (arcsin ) . （ ） 3. 函数族 y xdx ln 中每个函数在 (0, ) 内都是单调递增的. （ ） 4. 设 y f x ( ) ，且 2 ( ) x f x dx e C ，则 2 y x y (2 4 ) 0 . （ ） 二、填空题（将正确答案填写在横线上） 1. 若 x x ln 是函数 f x( ) 的一个原函数，则 ( ) x x e f e dx 2. 若 ( ) arcsin f x dx x C x ，则 f x( ) 3．已知函数 f x( ) 的一个原函数是 sin x , 则 f (x)=___________ 4．设 f x x (ln ) 1 则 f x( ) 三、选择题（将正确答案的序号填写在括号内） 1. 若 f x x x ( ) ln ，则 f x dx ( ) （ ） A： 1 1 C x B： 1 1 x C： x x ln D： x x C ln 2. 若函数 y x 是 f x( ) 的一个原函数，则 f x xdx ( )cos （ ） A： sin x C B： sin x C C： x x x C sin cos D： x x x C sin cos 3. y x dx (2 1) 中过点 0, 0 的函数在 , 内的极小值为（ ） A： 0 B： 1 C： 1 4 D： 1 4 4.下列函数中可以作为某些函数在 ( , ) 上的原函数的是（ ）
A:F(x)=sinx B:F(x)=sgnx C:F(x)=x D:F(x)= 5.若fx)的导数是x,则寸x达=(） A:Inx+Inx+C B:Inx-In'x+C C:Inx+C D:nx+与n2x+C 6.若f)的导数是，则寸(x=() A:Inx+In2x+C B:Inx-in'x+C C:Inx+C D:nx+x+C 7.设f"(x)连续，下述等式正确的是() A、[f(x)d)'=fx)+c B、「f"(x)d=fx)+1 c、Jf"(x)=f(x)+c D、Jfx)d-Jfx)d=0 8.fg具有连续导数，F(x)=fx),下述等式成立的是() A、∫fg(x)=F(gx)+C B、「fg(x)g'(x)k=F(g(x) C、∫fg(x》g'(x)d=F(g(x)+C D、g(f(x)f'(x)dk=F(g(x)》+C 四、计算题 1.求一曲线y=x),使曲线上每一点(x,)处的切线斜率为2x,且通过点 (2,5) 2a∫ped aB 3jn ④
A： F x x ( ) sin B： F x x ( ) sgn C： 2 3 F x x ( ) D： F x x ( ) 5. 若 f x( ) 的导数是 ln x x ，则 xf x dx ( ) （ ） A： 2 ln ln x x C B： 1 2 ln ln 2 x x C C： ln x C D： 1 2 ln ln 2 x x C 6. 若 f x( ) 的导数是 ln x x ，则 xf x dx ( ) （ ） A： 2 ln ln x x C B： 1 2 ln ln 2 x x C C： ln x C D： 1 2 ln ln 2 x x C 7. 设 f x ( ) 连续,下述等式正确的是 ( ) A、[ ( ) )] ( ) f x dx f x c B、 f x dx f x ( ) ( ) 1 C、 f x dx f x c ( ) ( ) D、 f x dx f x dx ( ) ( ) 0 8． f g. 具有连续导数, F x f x ( ) ( ) ，下述等式成立的是( ) A、 f g x dx F g x C ( ( )) ( ( )) B、 f g x g x dx F g x ( ( )) ( ) ( ( )) C、 f g x g x dx F g x C ( ( )) ( ) ( ( )) D、 g f x f x dx F g x C ( ( )) ( ) ( ( )) 四、计算题 1．求一曲线 y f (x) , 使曲线上每一点 (x, y) 处的切线斜率为 2x , 且通过点 (2, 5). 2．（1） 1 2 1 x e dx x （2） 1 2 (2 ) 2 x dx x x x （3） 2 (1 ) x xe dx x （4） 2 2 arctan 1 x x dx x
&.已知函数)的一个原函数是x,求∫yx达 4.己知函数f(x)的导数是sinx+s0c2x且f0)=5,求函数f(x) 5.设f)=e,求fn本 6.若x是f(x)的一个原函数，求「xf"(x) dx 7.试用多种解法求不定积分 x√4-x2 8.用第二换元积分法求下列不定积分： dk 2)∫ x√x2+1 dx 8jx-0- =(a≠b) 9.求下列不定积分（降幂法）： (1)∫(2x-l)cos3xdk: (2)∫x2edk 10.求下列不定积分（升幂法）： (1)[(2x-1)Inxd (2)∫(x2-l）arctanxdx: (3)[arcsinxd. 五、证明题 1.设fx)=且f仙=0，证明对一切正数xy,fy)=fx)+fo)恒成立. 2.验证下列等式 (1)∫f"(x)=fx)+C
3. 已知函数 f x( ) 的一个原函数是 sin x x ，求 xf x dx ( ) . 4. 已知函数 f x( ) 的导数是 2 sin sec x x 且 f (0) 5 ，求函数 f x( ) . 5. 设 3 ( ) x f x e ，求 f x (ln ) dx x . 6. 若 x x 是 f x( ) 的一个原函数，求 xf x dx ( ) . 7.试用多种解法求不定积分 2 4 dx x x . 8．用第二换元积分法求下列不定积分： （1） 2 2 2 x dx a x ； （2） 2 1 dx x x ； （3） dx a b x a b x 9. 求下列不定积分（降幂法）： （1） 2 1 cos3 x xdx ； （2） 2 3x x e dx 10．求下列不定积分（升幂法）： （1） 2 1 ln x xdx ； （2） 2 x xdx 1 arctan ； （3） 2 x xdx arcsin . 五、证明题 1. 设 1 f x( ) x 且 f (1) 0 ，证明对一切正数 x y, ， f xy f x f y ( ) ( ) ( ) 恒成立. 2．验证下列等式 （1） f x dx f x C ( ) ( )
(2)「dr(x)=fx)+C 3.验证y=四x是x在（一0+四）上的一个原函数
（2） df (x) f (x) C 3．验证 x x y sgn 2 2 是 | x | 在 (, ) 上的一个原函数