南阳师范大学：《线性代数》课程教学资源（练习题）考研辅导练习题——第六部分 二次型

第六部分二次型 一、选择题 1.二次型f(x,x,x)=x+5+写-4x,出+2x的标准形可以是： (A)y+4: (B)-6片+2y: (C)-: (D)+4+。 2.二次型f(x,x2,x3)=(+x3)户+(2x+3x+x)2-5(x2+x)}的规范型是： (A)片+片-5；(B)-: (C)+乃-：(D)+好。 3.下列矩阵中，正定矩阵是 「123]「1201 (A)245:(B)253: 356 038 「22-2]「5211 (c)25-4:(D)213 -2-45130 4.对于n元二次型x'Ar,下述命题中正确的是 (A)化x'Ax为标准形的坐标变换是唯一的。 (B)化x'A红为规范型的坐标变换是唯一的。 (C)xAx的标准形是唯一的。 (D)xAx的规范型是唯一的。 5.下列矩阵中A与B合同的是 w ®4-6孔s-f 「1「1 110

第六部分    二次型 一、选择题 1.二次型   2 22 1 2 3 1 2 3 12 23 f x x x x x x xx xx , ,    5 42 的标准形可以是： （A） ； y y 1 2  4 2 2          （B） 3 2 ； 2 2 2 3 y 2 2 1 2 yyy   6 2 （C） ； y y 1 2            （D） 2 2 1 2 y y  4  。 2.二次型 2 2 123 1 2 1 2 3 2 3 (, , ) ( ) ( ) ( ) 23 5 2 f xxx x x x x x x x       的规范型是： （A） yy y 1 2 2 2   5 3 2 ；（B） ；3 2 3 2 2   2 2 2 y y  （C） ；（ yyy 1 2 2 2   D） 。 2 1 y y  3.下列矩阵中，正定矩阵是 （A） ；（B） ； 123 245 356         120 253 0 3 8           （C） 22 2 25 4 2 45               ；（D） 。 521 213 130           4.对于 n 元二次型 T x Ax ，下述命题中正确的是 （A）化 T x Ax 为标准形的坐标变换是唯一的。 （B）化 T x Ax 为规范型的坐标变换是唯一的。 （C） T x Ax 的标准形是唯一的。 （D） T x Ax 的规范型是唯一的。 5.下列矩阵中 A 与 B 合同的是 （A） ； 11 0 1 11 1 2 A B,            0      （B） ； 1 2 2 1 21 12 A B,         （C） 11 1 1 3 1 1 A B;            

「020]「-1 (D)A=200,B= -2 001 -2 6.与二次型∫=x+x+2x+6xx,的矩阵A既合同又相似的矩阵是 1 4 -1 7.设A,B均为n阶实对称矩阵，若A与B合同，则 (A)A与B有相同的特征值：(B)A与B有相同的秩： (C)A与B有相同的特征向量；(D)A与B相同的行列式 8.下列二次型中正定二次型是 (A)f=(x-x)2+(2-x)2+(3-x)2 (B)5=(x+x)+(6,-)+(3+) (C)万=(x+x)+(:2+x)2+(x-x)2+(x-x)月 (D)=(+x)2+(3+x)广+(+x)+(x4-x)月 9.设A是n阶实对称矩阵，将A的i列和j列对换得到B,再将B的i行和j行对 换得到C,则A与C (A)等价但不相似：(B)合同但不相似：(C)相似但不合同：(D)等价，合同 且相似。 二、填空题 -23x 1.设f(x,x)=3-5x,则二次型对应的矩阵是 2.二次型∫=x+4x+2x2+4xx的规范型是 3.已知二次型f(x,x,x)=xAr=2x+2x++4xx+2,x经正交变换 x-Py可化成标准形∫-y+2+7y,则1= 4.若二次型fx,x,x)=ax+4x号+a+6xx+2x,x是正定的，则a的取值范围 是 5.设a=L,0,),A=aa',若B=(kE+A)是正定矩阵，则k的取值范围是

（D） 020 1 200 2 001 2 A B,                   2 。 6.与二次型 22 2 12 3 1 f   x x x xx 2 6 的矩阵 A 既合同又相似的矩阵是 （A） ；（B） 1 2 8            4 2 2            ；（C） 1 3 0           ；（D） 1 1 1            。 7.设 A，B 均为 n 阶实对称矩阵，若 A 与 B 合同，则 （A）A 与 B 有相同的特征值；（B）A 与 B 有相同的秩； （C）A 与 B 有相同的特征向量；（D）A 与 B 相同的行列式。 8.下列二次型中正定二次型是 （A） 2 2 1 12 2 3 31 ( )( )( 2 f    xx x x xx ) （B） 2 2 2 12 23 31 ( )( )( 2 f    xx xx xx ) （C） 222 3 12 2 3 34 41 ( )( )( )( 2 f     xx x x xx xx ) （D） 222 4 12 2 3 3 4 41 ( )( )( )( 2 f     xx xx xx xx ) 9.设 A 是 n 阶实对称矩阵，将 A 的 i 列和 j 列对换得到 B，再将 B 的 i 行和 j 行对 换得到 C，则 A 与 C （A）等价但不相似；（B）合同但不相似；（C）相似但不合同；（D）等价，合同 且相似。 二、填空题 1.设 1 12 2 1 2 2 3 3 5 0 (, ) x f x x x x x    ，则二次型对应的矩阵是_____________. 2.二次型 2 2 3 4 12 3 42 4 4 f    x x xx x x 的规范型是____________________. 3. 已知二次型 222 1 2 3 1 2 3 13 23 (, , ) 22 4 2 T f x x x x Ax x x ax x x tx x     经正交变换 x  Py 可化成标准形 222 1 23 f   yyy 2 7 ，则t  ________ 。 4.若二次型 2 22 1 2 3 1 2 3 12 23 f (, , ) x x x ax x ax x x x x   4 62 是正定的，则 a 的取值范围 是____. 5.设  (, , ) 101 T ， T A   ，若 * B   (kE A) 是正定矩阵，则 k 的取值范围是

「11-2 6.已知矩阵A=1-21与二次型xBx=3x+a的矩阵B合同，则a的取 -211 值一 11「2 7.己知A= 1和B=1合同，那么使CAC=B的可逆矩阵 1 -2 C= 8.设A是三阶实对称矩阵，满足4=2A2+5A-6E,保证kE+A是正定阵，则k 的取值范围是 9.设A是mxn矩阵，E是n阶单位阵，矩阵B=-aE+A'A是正定阵，则a的取 值范围是

________. 6.已知矩阵 与二次型 11 2 1 21 21 1 A              2 2 3 3 T 1 x Bx x ax     的矩阵 B 合同，则 a 的取 值___。 7.已知 和 1 1 1 A            2 1 2 B           合同，那么使 T C AC B  的可逆矩阵 C  ___ 8.设 A 是三阶实对称矩阵，满足 3 2 A   2 56 A A E ，保证kE A  是正定阵，则 k 的取值范围是________. 9.设 A 是 矩阵， m n  E 是 n 阶单位阵，矩阵 T B   aE A A 是正定阵，则 a 的取 值范围是_________

第五部分矩阵特征值、特征向量 一、选择题 「12-2] 1.设矩阵A=4-33,那么矩阵A的三个特征值是 2-11] (A)1,0,-2:(B)1,1,3;(C)3,0,-2:(D)2,0,-3. 2.已知A是4阶矩阵，A广是A的伴随矩阵，若A广的特征值是1,1,2,4，那么不 可逆矩阵是 (A)A-E;(B)2A-E;(C)A+2E;(D)A-4E. 3.己知A是n阶可逆矩阵，那么与A有相同特征值的矩阵是 (A):(B):(C):(D)A-E. 「1-111 4.矩阵A=24-2的特征向量不能是 -3-35 (A)(-1,1,0):(B)(1,-2,3;(C)(1,2,1);(D)(3,-3,0) 「34-4] 5.矩阵A=020有一个特征向量是 2-2-3 (A)(1,0,-1;(B)(3,3,6;(C)(4,-1,2:(D)(1,1,-2)。 6.已知a=(1,-2,3)是矩阵的特征向量，则 (A)a=-2,b=6(B)a=2,b=-6:(C)a=2,b=6(D)a=-2,b=6. 7.设A是n阶矩阵，P是n阶可逆矩阵，n维列向量a是矩阵A的属于特征值2的 特征向量，那么在下列矩阵中(1)：(2)PAP:(3)A:(4)E-3A,a 肯定是其特征向量的矩阵共有 (A)1个：(B)2个：(C)3个：(D)4个. 8.设A是n阶矩阵，下列命题中正确的是 (A)若a是A'的特征向量，那么a是A的特征向量： (B)若a是A的特征向量，那么a是A的特征向量： (C)若a是A的特征向量，那么a是A的特征向量： (D)若a是2A的特征向量，那么a是A的特征向量：

第五部分    矩阵特征值、特征向量 一、选择题 1.设矩阵 ，那么矩阵 A 的三个特征值是 12 2 4 33 2 11 A               （A）1,0，‐2；    （B）1,1,‐3;     （C）3,0，‐2；    （D）2,0，‐3. 2.已知 A 是 4 阶矩阵， * A 是 A 的伴随矩阵，若 * A 的特征值是 1，‐1,2,4，那么不 可逆矩阵是 (A) A‐E;    (B) 2A‐E;    (C)A+2E;    (D)A‐4E. 3.已知 A 是 n 阶可逆矩阵，那么与 A 有相同特征值的矩阵是 （A） T A ；（B） 2 A ；（C） 1 A ；（D）A‐E。 4.矩阵 的特征向量不能是 1 11 24 2 3 35 A                  （A） ；（ ( 1,1, 0)  T B）(1, 2, 3)  T ；（C） ；（ (1, 2,1)T D）(3, 3, 0)  T 。 5.矩阵 有一个特征向量是 344 02 0 223 A              （A） ；（ (1, 0, 1)  T B）(3, 3, 6)  T ；（C） ；（ (4, 1, 2)  T D）(1,1, 2)  T 。 6.已知   (1, 2, 3)T 是矩阵的特征向量，则 （A）a b   2, 6;（Ｂ）a b   2, 6;  （C）a b  2, 6;  （D）a b   2, 6. 7.设 A 是 n 阶矩阵，P 是 n 阶可逆矩阵，n 维列向量 是矩阵 A 的属于特征值 的 特征向量，那么在下列矩阵中（1） 2 A ；（2） 1 P AP  ；(3) T A ；（4） 1 2 E  A， 肯定是其特征向量的矩阵共有 （A）1 个；（B）2 个；（C）3 个；（D）4 个。 8.设 A 是 n 阶矩阵，下列命题中正确的是 （A）若 是 T A 的特征向量，那么 是 A 的特征向量； （B）若 是 * A 的特征向量，那么 是 A 的特征向量； （C）若 是 2 A 的特征向量，那么 是 A 的特征向量； （D）若 是 2A 的特征向量，那么 是 A 的特征向量；

9.已知三阶矩阵A与三维非零列向量a,若向量组a,Aa,Aa线性无关，而 Aa=3Aa-2Aa,那么矩阵A属于特征值1=-3的特征向量是 (A)a:(B)Aa+2a:(C)A'a-Aa:(D)A'a+2Aa-3a. 10.设A是三阶矩阵，其特征值是1,3,2，相应的特征向量依次为a,a,%,若 P=Ia,2a,-al,则PAP= 「1 a),,)4(c-2o刨3 3 -3 -3 「1 11.已知PAP=5,a,是矩阵A属于特征值元=1的特征向量，a,与a是 5 矩阵A属于特征值入=5的特征向量，那么矩阵P不能是 (A)[a,-a,a]3 (B)[a,a2+a,a-2a]5 (c)[a,a,a]5 (D)[a,+a,a,-a,a]3 2已数期库4心 ,那么下列矩阵中 wbe[e到w[引与库A相微 阵的个数为 (A)1:(B)2:(C)3:(D)4 13.下列矩阵中，不能相似对角化的矩阵是 「10-11「1001 -135 14.下列矩阵中，A和B相似的是 「2011「200] (A)A=000,B=001 000000

9.已知三阶矩阵 A 与三维非零列向量 ，若向量组 2 , , A  A 线性无关，而 3 3 2 2 A    A A   ，那么矩阵 A 属于特征值  3 的特征向量是 （A） ；（B） A  2 ；（C） 2 A   A ；（D） 2 A A    2 3   。 10.设 A 是三阶矩阵，其特征值是 1,3，‐2，相应的特征向量依次为 123  , ,   ，若 13 2 P   [ ,2 , ]    ，则 1 P AP   （A） ；（B） 1 2 3            1 4 3             ；（C） 1 2 3             ；(D) 1 3 2            . 11.已知 1 1 5 5 P AP             ，1是矩阵 A 属于特征值  1的特征向量，2与3 是 矩阵 A 属于特征值  5 的特征向量，那么矩阵 P 不能是 （A） 1 23  , ,   ;          （B） ; 12 32 3  , ,2         （C） 132  , ,   ;            （D） ; 1 21 23      , ,    12.已知矩阵 1 2 0 3 A        ，那么下列矩阵中 （1） （2） ，（3） 1 5 , 0 3       3 0 6 1       1 2 4 3       ，（4） 2 1 1 2        ，与矩阵 A 相似的矩 阵的个数为 （A）1；（B）2；（C）3；（D）4. 13.下列矩阵中，不能相似对角化的矩阵是 （A） ；（B） ；（C） 10 1 023 13 5             100 230 1 5 1             10 1 2 0 2 30 3             ；（D） 。 123 013 001           14.下列矩阵中，A 和 B 相似的是 （A） ； 201 200 0 0 0, 0 0 1 000 000 A B           

「20]「230] (C)A=000,B=000: 000000 2 (D)A= -3 -2 15.设A是三阶矩阵， 是三阶可逆矩阵，且 ba by2 bxs 62 2bu -b13 AB=ba 2ba -b3 ,则A一 Lbs2 2bs1 -bs [2 「-1 「0201[200] (A)1 :(B) 1:(c)100:(D)001。 -1 2 00-10-10 16.设A,B,C,D都是n阶矩阵，且A~C,B-D,则必有 (A)(A+B)~(C+D): e[668 (C)AB-CD: o[gd8d 17.已知A是n阶可逆矩阵，若A~B,则下列命题中 (1)AB-BA,(2)A-B2,(3)A-B,(4)AF~B 正确的命题共有 (A)4个：(B)3个：(C)2个；(D)1个。 18.己知A是三阶矩阵，r(A)=1,则1=0 (A)必是A的二重特征值： (B)至少是A的二重特征值： (C)至多是A的二重特征值： (D)一重、二重、三重特征值都有可能。 19.三阶矩阵A的特征值全为零，则必有

（B） 12 0 21 1 2 3 1, 1 2 0 0 1 5 10 2 A B               201 230 000 , 000 000 000 A B            2 1 2 , 3 3 2 A B               11 21 31 B b ； （C） ； （D） 。      15. 设 A 是三阶矩阵， 12 13 22 23 32 33 bbb b b bbb           是三阶可逆矩阵，且  12 11 13 22 21 23 32 31 33 2 2 2 bbb Bb b b b b b               A ，则 A  2 1 1            1 1 2            （A） ；（B） ；（C） 02 0 10 0 00 1            ；（D） 200 001 0 10            。 16.设 A，B，C，D 都是 n 阶矩阵，且 A   CB D , ，则必有 A O CO OB OD    （A）( )( ) A  B CD  ；      （B）      ；  （C） AB CD  ；             （D） OA OC BO DO          。  17.已知 A 是 n 阶可逆矩阵，若 A  B ，则下列命题中 （1） AB BA  ，（ 2 2 ，（3） 1 1 2） A  B A B  ，（4） T T A  B  正确的命题共有 （A）4 个；（B）3 个；（C）2 个；（D）1 个。 18.已知 A 是三阶矩阵， ，则 r A() 1    0 （A）必是 A 的二重特征值； （B）至少是 A 的二重特征值； （C）至多是 A 的二重特征值； （D）一重、二重、三重特征值都有可能。 19.三阶矩阵 A 的特征值全为零，则必有

(A)r()=0:(B)r(A)=1:(C)r(A)=2;(D)条件不足不能确定。 20.n阶矩阵A和B有相同的特征值是A和B相似的 (A)充分必要条件： (B)必要而非充分条件： (C)充分而非必要条件： (D)既非充分也非必要条件。 21.n阶矩阵A和B有相同的特征向量是A与B相似的 (A)充分必要条件： (B)必要而非充分条件： (C)充分而非必要条件 (D)既非充分也非必要条件 2.n阶矩阵A具有n个线性无关的特征向量是A与对角阵相似的 (A)充分必要茶件： (B)必要而非充分条件： (C)充分而非必要条件： (D)既非充分也非必要条件。 23.设三阶矩阵A的特征值是0,1,1，则下列命题中不正确的是 (A)矩阵A-E是不可递矩阵 (B)矩阵A+E和对角阵相似 (C)矩阵A属于1与-1的特征向量相互正交： (D)方程组Ax=0的基础解系由一个向量构成。 二、填空题 「322] 1.已知A=232,A广是A的伴随矩阵，那么A广的特征值是 223 2已知三阶矩库A的特征值是片，又三阶矩库B满足关系式 111 ABA=6A+BA,则矩阵B的特征值是 3.设A是主对角线元素之和为-5的三阶矩阵，且满足A+2A-3E=0,那么矩 阵A的三个特征值是 「-1221 4.已知a=(a,l,1)是矩阵A=2a-2的逆矩阵的特征向量，那么a在矩阵 12 -2-1 A中对应的特征值是 「a221 5.设&=(L,-1,a)'是A=2-1-2的伴随矩阵A的特征向量，其中A的秩为 2-2-1 3,则a= 6.设A是3阶矩阵，a,a2,a,是3维线性无关的列向量，且 Aa,=a%,Aa2=-a2,Aa=a2+2a,则矩阵A的三个特征值是

（A） ；（ r A() 0  B） ；（ r A() 1  C）r A() 2  ；（D）条件不足不能确定。 20.n 阶矩阵 A 和 B 有相同的特征值是 A 和 B 相似的 （A）充分必要条件；              （B）必要而非充分条件； （C）充分而非必要条件；          （D）既非充分也非必要条件。 21.n 阶矩阵 A 和 B 有相同的特征向量是 A 与 B 相似的 （A）充分必要条件；              （B）必要而非充分条件； （C）充分而非必要条件；          （D）既非充分也非必要条件。 22.n 阶矩阵 A 具有 n 个线性无关的特征向量是 A 与对角阵相似的 （A）充分必要条件；              （B）必要而非充分条件； （C）充分而非必要条件；          （D）既非充分也非必要条件。 23.设三阶矩阵 A 的特征值是 0,1，‐1，则下列命题中不正确的是 （A）矩阵 A‐E 是不可逆矩阵； （B）矩阵 A+E 和对角阵相似； （C）矩阵 A 属于 1 与‐1 的特征向量相互正交； （D）方程组 Ax  0的基础解系由一个向量构成。 二、填空题 1.已知 ， 322 232 223 A            * * A 是 A 的伴随矩阵，那么 A 的特征值是_________。 2. 已知三阶矩阵 A 的特征值是 111 , , 234 ，又三阶矩阵 B 满足关系式 1 A BA A BA 6    ，则矩阵 B 的特征值是__________。 3.设 A 是主对角线元素之和为‐5 的三阶矩阵，且满足 2 A AE  2 3   0 ，那么矩 阵 A 的三个特征值是______。 4.已知  ( ,1,1) a T 是矩阵 2   12 2 2 2 2 1 A a             的逆矩阵的特征向量，那么 在矩阵 A 中对应的特征值是_________。 5.设   (1, 1, ) a T 是   的伴随矩阵 * 2 2 212 221 a A             * A 的特征向量，其中 A 的秩为 3，则a  ______ . 6.设 A 是 3 阶矩阵， 123  , ,   是 3 维线性无关的列向量，且 A1 1   ， A 2 2   ， 3 2 A 2     3 ，则矩阵 A 的三个特征值是________

[222] 7.已知a是3维列向量，d是a的转置，若矩阵aa相似于222 则 [222 gg= 8.己知A是三阶方阵，其特征值分别为1,2,3，则行列式A中主对角线元素的 代数余子式之和A,+A2+A= 「0-221 9.设A=24-2有二重特征值，则a=】 La 2 o 10.已知A是三阶实对称矩阵，特征值1,3，-2，其中a,=(1,2,-2),a2=(4,-1,a) 分别是属于特征值1=1与入=3的特征向量，那么矩阵A属于特征值元=-2的特 征向量是 11.设A是三阶实对称矩阵，存在正交阵Q=5,5,5引，使得 0AQ=0A0= 2 ,则矩阵B=A-55'的特征值是 3 12.设a=(1,-1,a),B=(1,a,2)',A=E+a6,且1=3时矩阵A的特征值，则矩 阵A属于特征值入=3的特征向量是 。 「312] 13.己知矩阵A=02a和对角阵相似，则a= 003 14.己知A是四阶实对称矩阵，r(A)=3,矩阵A满足A-A3-A2-2A=0则与 A相似的对角矩阵是 「1-1a] 15.已知矩阵A=135只有一个线性无关的特征向量，那么A的三个特征 L002 值是 16.A是三阶矩阵，5，a,B是三个三维线性无关的列向量，其中Ax=0有解 5,Ar=B有解a,Ar=a有解B,则A~」

T T 7.已知 是 3 维列向量， 是 的转置，若矩阵 相似于 ，则 222 222 222           _________ . T    8.已知 A 是三阶方阵，其特征值分别为 1,2，‐3，则行列式 A 中主对角线元素的 代数余子式之和 11 22 33 AAA  _______ . 9.设 有二重特征值，则 0 22 24 2 2 0 A a              a  ________ . 10.已知 A 是三阶实对称矩阵，特征值 1,3，‐2，其中 ， 分别是属于特征值 1 (1, 2, 2)T    2 (4, 1, )T    a   1与  3 的特征向量，那么矩阵 A 属于特征值  2 的特 征向量是____________。 11. 设 A 是三阶实对称矩阵，存在正交阵 123 Q  [, , ]    ，使得 1 1 2 3 T Q AQ Q AQ              ，则矩阵 1 1 T B A     的特征值是________。 12.设 (1, 1, ) , (1, , 2) , T T a a AE T        ，且  3 时矩阵 A 的特征值，则矩 阵 A 属于特征值  3 的特征向量是____________。 13.已知矩阵 312 0 2 003 A a            和对角阵相似，则a  _______ . 14.已知 A 是四阶实对称矩阵，r A() 3  ，矩阵 A 满足 432 AAA A    2 0则与 A 相似的对角矩阵是__________. 15.已知矩阵 1 1 135 002 a A             只有一个线性无关的特征向量，那么 A 的三个特征 值是___________。 16.A 是三阶矩阵， , ,   是三个三维线性无关的列向量，其中 Ax  0 有解  , Ax   有解, Ax   有解 ，则 A  _________