第八章导数与微分 ·81不定积分概念与基本积分公式 ·8.2换元积分法和分部积分法 ·83有理函数和可化为有理函数的不定积分
• 8.1 不定积分概念与基本积分公式 • 8.2 换元积分法和分部积分法 • 8.3 有理函数和可化为有理函数的不定积分
8.1导数的概念 ·一、原函数 ·二、不定积分 ·三、基本积分表
• 一、原函数 • 二、不定积分 • 三、基本积分表
一、原函数 微分运算的逆运算是由已知函数f(c),求函数Fx), 使 F'(x)=f(x). 例如已知速度函数v(t),求路程函数st).即求 s(t),使s'(t)=v(t). 又如，已知曲线在每一点处的切线斜率k(x),求 f(x),使y=f(x)的图象正是该曲线，即使得 f'(x)=k(x)
微分运算的逆运算是由已知函数 f (x), 求函数F(x), 一、原函数 使 s t s t v t ( ), ( ) ( ). 使 例如 已知速度函数 求路程函数 即求 v t s t ( ), ( ). 又如, ( ), 已知曲线在每一点处的切线斜率 k x 求 f x y f x ( ), ( ) , 使 的图象正是该曲线 即使得 f x k x ( ) ( ). F x f x ( ) ( ).
定义1设函数f与F在区间I上都有定义，若 F'(x)=f(x),x∈， 则称f为F在区间I上的一个原函数， 例1)路程函数s(t)是速度函数v(t)的一个原函 数： s'(t)=v(t), (曲芳是2的一个原函数：
定义1 设函数 与 在区间 上都有定义,若 f F I 则称 为 在区间 上的一个原函数 f F I . F x f x ( ) ( ) ， x I , 3 2 (ii) 3 x 是 x 的一个原函数: x x 3 2 . 3 例1 (i) ( ) ( ) 路程函数 是速度函数 的一个原函 s t v t s(t) v(t). 数:
(ii)ln(x+V1+x2)是 1的一个原函数： 1+x2 w)-x2+aresinx)是-c的一个原函数： 1 arin可1子 从(i(iv)可以看出，尽管象 和
x x x 2 2 1 (iii)ln( 1 ) 1 是 的一个原函数: 2 2 1 ln( 1 ) . 1 x x x 从(iii) (iv)可以看出, 尽管象 1 2 2 (iv) 1 arcsin 1 : 2 x x x x 是 的一个原函数 1 2 2 1 arcsin 1 . 2 x x x x 2 2 1 1 1 x x 和
定理8.1（原函数存在性定理） 若函数f在区间I上连续，则f在I上存在原函 数F,即F'(x)=f(x) 定理82（原函数族的结构性定理） 设F(x)是f(x)在区间I上的一个原函数，则 ()F(x)+C也是f()在I上的原函数，其中C ()fx)在I上的任意两个原函数之间，只可能相差 为任意常数 一个常数
定理8.2 (原函数族的结构性定理) 设 是 在区间 上的一个原函数 则 F x f x I ( ) ( ) , (i) ( ) ( ) , F x C f x I C 也是 在 上的原函数 其中 (ii) f (x) 在 I 上的任意两个原函数之间, 只可能相差 为任意常数. 一个常数. 定理8.1 (原函数存在性定理) 若函数 在区间 上连续 则 在 上存在原函 f I f I , 数 F, 即 F x f x ( ) ( ).
二、不定积分 定义2函数f在区间I上的全体原函数称为f 在【上的不定积分，记作 ∫fx)dr, 其中称x为积分变量，f(x)为被积函数， f(x)dx为积分表达式，「为积分号. 若F(x)是f(x)的一个原函数，则由定理8.2， f(x)dx=(F(x)+C CER)
f x x ( )d , 二、不定积分 定义2 函数 在区间 上的全体原函数称为 f I f 在 I 上的不定积分, 记作 其中称 x f x 为积分变量, ( ) , 为被积函数 f x x ( )d . 为积分表达式 , 为积分号 若 是 的一个原函数 则由定理 F x f x ( ) ( ) , 8.2, f x x F x C C ( ) d ( ) R .
为方便起见，我们记「f(x)dx=F(x)+C.其中 C为任意常数. 由此，从例1())(iv)可得： j小agr+C axn6 小-x-ki-+arcsin)+小c
为方便起见, 我们记 f x x F x C ( )d ( ) . 其中 由此, 从例 1(ii) (iii) (iv)可得: x x x C 2 3 1 d , 3 2 2 d ln( 1 ) , 1 x x x C x 2 2 1 1 d 1 arcsin . 2 x x x x x C C 为任意常数
三、不定积分的几心何意义 若F(x)是fx)的一个原函数，则称y=Fx)的图 像是f(x)的一条积分曲线： 所有的积分曲线都是 y=F(x)+C 由其中一条积分曲线 y=F(x) 沿纵轴方向平移而得 (x0,Jy0) 到的
若F (x)是 f (x) 的一个原函数, 则称 y = F (x) 的图 所有的积分曲线都是 三、不定积分的几何意义 y F x C ( ) 0 0 ( , ) x y y F x ( ) O x y 像是 f (x) 的一条积分曲线. 到的. 沿纵轴方向平移而得 由其中一条积分曲线
满足条件F(x)=y,的原函数正是在积分曲线中 通过点(x,y)的那一条积分曲线. 例如，质点以匀速运动时，其路程函数 st)=∫dt=y,t+C: 若t时刻质点在so处，且速度为v,则有 s(t)=vo(t-to)+5o
例如, 质点以匀速 v0 运动时, 其路程函数 0 0 s t v t v t C ( ) d . 若 t0 时刻质点在 s0 处, 且速度为 v0 , 则有 0 0 0 ( ) ( ) . s t v t t s 满足条件 F x y ( )0 0 的原函数正是在积分曲线中 ( , ) 0 0 通过点 x y 的那一条积分曲线