第二章数列极限 ·一、主要内容 ·1、数列极限的概念 ·2、收敛数列的性质 ·3、数列极限存在的条件的敛散性。 前页 后顶 返回
前页 后页 返回 第二章 数列极限 • 一、主要内容 • 1、数列极限的概念 • 2、收敛数列的性质 • 3、数列极限存在的条件的敛散性
二、目的要求 ·1、熟练掌握数列极限的定义，能够利用ε-N语言 证明数列是否有极限： ·2、熟练掌握收敛数列的性质，能够通过这些性质 对数列的敛散性进行判断； ·3、掌握趋于无穷的数列的基本特征，并可以由此 作出有关敛散性的判断； ·4、熟练掌握单调有界的数列必有极限的定理；掌 握数列的子列的概念： ·5、掌握Cauchyi收敛原理，并能够由它来判断数列 的敛散性。 前页 后页 返回
前页 后页 返回 二、目的要求 • 1、熟练掌握数列极限的定义，能够利用-N语言 证明数列是否有极限； • 2、熟练掌握收敛数列的性质，能够通过这些性质 对数列的敛散性进行判断； • 3、掌握趋于无穷的数列的基本特征，并可以由此 作出有关敛散性的判断； • 4、熟练掌握单调有界的数列必有极限的定理；掌 握数列的子列的概念； • 5、掌握Cauchy收敛原理，并能够由它来判断数列 的敛散性
三、重点与难点 ·1、重点是数列极限的概念。 ·2、难点是数列极限的纟-N” 前页 后顶 返回
前页 后页 返回 三、重点与难点 • 1、重点是数列极限的概念。 • 2、难点是数列极限的“ N
§1数列极限的概念 数列极限是整个数学分析最重要的基础 之一，它不仅与函数极限密切相关，而且 为今后学习级数理论提供了极为丰富的准 备知识 一、数列的定义 二、一个经典的例子 三、收敛数列的定义 四、按定义验证极限 五、再论“-N”说法 六、一些例子 前页 后页 返回
前页 后页 返回 数列极限是整个数学分析最重要的基础 之一, 它不仅与函数极限密切相关，而且 为今后学习级数理论提供了极为丰富的准 备知识 §1 数列极限的概念 一、数列的定义 五、再论 “ - N ”说法 四、按定义验证极限 三、收敛数列的定义 返回 二、一个经典的例子 六、一些例子
一、数列的定义 若函数f的定义域为全体正整数的集合N,则称 f:N,→R或f(n),n∈N 为数列因为N的所有元素可以从小到大排列出来， 所以我们也将数列写成 41,2,,n,y 02 或简记为{an}.这里an 称为数列{a}的通项
前页 后页 返回 为数列.因为N+的所有元素可以从小到大排列出来, 1 2 , , , , , a a an 若函数 f 的定义域为全体正整数的集合 N , + 则称 + + f f n n : N R ( ), N 或 或简记为 {an }. 这里 an 所以我们也将数列写成 称为数列 {an } 的通项. O 1 2 n1 n a2 a1 an an1 .. . . . 一、数列的定义
二、一个经典的例子 古代哲学家庄周所著的《庄子·天下篇》引用了 一句话：“一尺之棰，日取其半，万世不竭”.它的 意思是：一根长为一尺的木棒，每天截下一半，这 样的过程可以无限制地进行下去. 我们把每天截下部分（或剩下部分）的长度列出： 第一天截下)第二天截下 22 第n天截下 1 2”,…·这样就得到一个数列 前顶 后页 返回
前页 后页 返回 二、一个经典的例子 样的过程可以无限制地进行下去. 我们把每天截下部分 (或剩下部分) 的长度列出： 第一天截下 , 2 1 第二天截下 2 1 , , 2 第n天截下 1 , . 2 n 这样就得到一个数列: 古代哲学家庄周所著的《庄子 · 天下篇》引用了 一句话: “一尺之棰, 日取其半, 万世不竭”. 它的 意思是: 一根长为一尺的木棒, 每天截下一半, 这
京2，或} 谷易看出：数列{}的通项随若n的无限增 大而无限趋于0. 前顶 后顶 返回
前页 后页 返回 2 1 1 1 1 , , , , , . 2 2 2 2 n n 或 容易看出: 数列 1 1 2 2 n n 的通项 随着 n 的无限增 大而无限趋于 0
三、收敛数列的定义 一般地说，对于数列{an},若当n充分变大时，an 能无限地接近某个常数a,则称{an}收敛于a. 下面给出严格的数学定义. 定义1设{a}为一个数列，a为一个常数，若对于 任意的正数&>0，总存在正整数N,使当n>N时， a-a<s, 则称数列{an}收敛于a,又称a为数列{an}的极限， 前页 后页 返回
前页 后页 返回 三、收敛数列的定义 下面给出严格的数学定义. 定义1 { }n 设 a 为一个数列, a 为一个常数, 若对于 任意的正数 0 ,总存在正整数 N, 使当 n >N 时, | a a | , n 则称数列 { } an 收敛于a , 又称 a 为数列 { } an 的极限, 一般地说,对于数列 , 若当 n 充分变大时, an { }n a 能无限地接近某个常数 a , 则称 { } an 收敛于 a
记作 lim a,a n-→oo (或an→a,n>oo). aN+1 an 山6 aa+s a x 若{an}不收敛，则称{，}为发散数列. 注定义1这种陈述方式，俗称为“ε-N”说法 前 后页
前页 后页 返回 记作 lim n n a a ( , ) . n 或 a a n 若 { } an 不收敛, 则称 { } an 为发散数列. a x aN 1 1 a 2 a a a ( ) n a 注 定义1 这种陈述方式，俗称为 “ - N ”说法
四、按定义验证极限 为了加深对数列收敛定义的了解，下面结合例题加 以说明，希望大家对“ε-N”说法能有正确的认识. 例1用定义验证：1im=0. n-→on 分析 对于复意正金妥使”-0N时， ka,所以0 前顶 后页 返回
前页 后页 返回 四、按定义验证极限 以说明, 希望大家对 “ - N ”说法能有正确的认识. 例1 用定义验证: 1 lim 0. n n 分析 对于任意正 数 , 要使 1 0 , n 只要 . 1 n 证 对于任意的正数 , 1 N , 取 当 n N 时, 1 0 , n 所以 1 lim 0 . n n 为了加深对数列收敛定义的了解, 下面结合例题加