南阳师范大学：《线性代数》课程教学资源（练习题）第三章 练习题

第三章练习题 一、判断题 1.初等变换不改变矩阵的秩 () 3.R(A+B)≤R(A)+R(B) () 2.秩为r的矩阵A中，A的r阶子式全不为零. () 4.如果线性方程组Axx=b无解或有两个不同的解，则它的系数行列式必为零.() 5.若4≠0，则齐次线性方程组Ax=0只有零解， () 6.若A一B,则R(A)=R(B) () 7.若矩阵A中有一个r阶子式全不为零，则矩阵A的秩为r () 8.若m<n,则Ax=0有非零解. ) 9.若A为n阶可逆矩阵，且AX=0,则X=0. ) 二、选择题 10.设A是m×n矩阵，且秩R(A)=m<n,则() A.A的任意一个m阶子式都不等于零；B.A的任意一个m-1阶子式都不等于零： C.齐次线性方程组Ax=0只有零解：D.非齐次线性方程组Ax=b必有无穷多解. 11.设A是n阶方阵，A经过有限次矩阵的初等行变换后得到矩阵B,则有()· A存在矩阵P,使得PA=B: B.存在可逆矩阵Q,使得AQ=B: C.存在可逆矩阵P,有PA=B: D.存在可逆矩阵P及Q,有PAQB. 12.行列式A=0时，线性方程组AX=0() A只有零解：B只有非零解：C无解： D.有非零解. 13.设A是n阶方阵，A经过有限次矩阵的初等变换后得到矩阵B,则有() A.4=B: B.4≠B: C.R(A)=R(B):D.R(A)=R(B). 14.设n阶方阵不可逆，则必有() A.R(A)<n:BR()=n-1:C.A=0:D.方程组AX=0只有零解 15.设n元线性方程组Ar=b,以下说法错误的是() A.Ax=b有解的充分必要条件是|4≠0： B.Ax=b无解的充分必要条件是R(4A)<R(A,b): C.Ar=b有唯一解的充分必要条件是R(A)=R(A,b)=n: D.Ax=b有无穷多解的充分必要条件是R(4)=R(A,b)<m 16.设矩阵A的秩为r,则A中 () A所有r-1阶子式都不为零： B.所有r-1阶子式全为零：

第三章 练习题 一、判断题 1.初等变换不改变矩阵的秩. （） 3． RA B R A RB ( )                                                                           （） 2. 秩为r 的矩阵 A 中， A 的r 阶子式全不为零.                             （） 4. 如果线性方程组 nn  bxA 无解或有两个不同的解，则它的系数行列式必为零.（）                   5.若 A  0 ，则齐次线性方程组 只有零解. （） Ax  0 6.若 A ～ B ，则 R() () A RB  . （） 7. 若矩阵 A 中有一个r 阶子式全不为零，则矩阵 A 的秩为r . （） 8.若m  n ，则 有非零解. A x m n  0                                        （） 9.若 A 为 n 阶可逆矩阵，且 AX=0，则 X=0. （） 二、选择题 10.设 A 是mn矩阵，且秩 R( ) A mn   ，则（） A. A 的任意一个 阶子式都不等于零； m B. A 的任意一个m 1阶子式都不等于零； C.齐次线性方程组 只有零解； Ax  0 D.非齐次线性方程组 Ax b  必有无穷多解. 11.设 A 是n阶方阵， A 经过有限次矩阵的初等行变换后得到矩阵 B ，则有（）. A.存在矩阵 P，使得 PA=B； B.存在可逆矩阵 Q，使得 AQ=B； C.存在可逆矩阵 P,有 PA=B； D.存在可逆矩阵 P 及 Q，有 PAQ=B. 12. 行列式 A  0 时，线性方程组 AX  0 （） A.只有零解；    B.只有非零解；    C.无解；     D.有非零解. 13．设 A 是n阶方阵， A 经过有限次矩阵的初等变换后得到矩阵 B ，则有（） A. A  B ； B. A  B ； C.  BRAR )()( ； D.  BRAR )()( . 14．设n阶方阵不可逆，则必有（） A . )(  nAR ；    B  nAR 1)( ； C. A  0；    D.方程组 AX  0只有零解. 15.设 n 元线性方程组  bAx ，以下说法错误的是（）.     A.  bAx 有解的充分必要条件是 A  0； B.  bAx 无解的充分必要条件是  bARAR ),()( ； C.  bAx 有唯一解的充分必要条件是  ),()(  nbARAR ； D.  bAx 有无穷多解的充分必要条件是  ),()(  nbARAR 16．设矩阵 A的秩为r ，则 A中                       （ ） A.所有r 1阶子式都不为零；    B.所有r 1阶子式全为零；

C至少有1个r阶子式不为零：D.所有r阶子式都不为零. ,若()=2,则k的取值情况为(). Ak=-2: B.k=1:C.k≠1且k≠-2：D.无法确定 三、填空题 (100)100)(147 18.已知001A010=258,则A= (010101(369 19.n个方程n个未知数构成的线性方程组，如果它的系数行列式D≠0，那么它一定有 解 20.线性方程组A红=b有解的充分必要条件是 21.三元齐次线性方程组AX=0的基础解系另含3行个向量，则R(4)= 22.设A是3×4矩阵，秩R(4)=2,B=020,则秩R(BA)= -103 四、计算题 2x+x2+x=1, 23.问2取何值时，非齐次线性方程组{x+x+=入 x+x+x=22 (1)有唯一解：(2)无解：(3)有无穷多解，并求其通解 (答案：(1)当k≠1且k≠-2时，R(A)=R(B)=3,方程组有唯一解： (2)当k=-2时，R(A)=2,R(B)=3,方程组无解： (3)当k=1时，R(A)=R(B)=1,方程组有无数多解，这时方程组的通解 「x1 -1-11 是x=G1+0+0 ,其中C,C2为任意实数.) Lx」0」1o [1+2)x+x2+x3=0, 24.问2取何值时，非齐次线性方程组x+(1+2)x,+x=3, x+名2+(1+)x= (1)有唯一解：(2)无解：(3)有无穷多解，并求其通解 (答案：(1)当k≠0且k≠-3时，R(A)=R(B)=3,方程组有唯一解 (2)当k=0时，R(4)=L,R(B)=2,方程组无解： (3)当k=-3时，R(4)=R(B)=2,方程组有无数多解，这时方程组的通解

C.至少有 1 个r 阶子式不为零；    D.所有r 阶子式都不为零. 17.设 ，若 ，则 k 的取值情况为（    ）．             32 321 321 k k k A   AR  2 A. k  2；      B. k  1 ；    C.  且kk  21 ； D. 无法确定. 三、填空题 18.已知 ，则 100 100 147 001 010 258 010 101 369 A                A  ____________ . 19. n个方程 个未知数构成的线性方程组，如果它的系数行列式 n D  0 ，那么它一定有    ____       解. 20.线性方程组 有解的充分必要条件是 Ax b  . 21.三元齐次线性方程组 的基础解系只含一个向量，则 AX  0 AR )(           . 22.设 A 是34矩阵，秩 ， R A() 2   1 0 3 0 2 0 103 B          ，则秩 R( ) BA =__ ___ 四、计算题  取何值时，非齐次线性方程组 123 1 23 2 12 3 1, , . xxx x xx xx x                23.问 （1）有唯一解；（2）无解；（3）有无穷多解,并求其通解. （答案：（1）当 且 时， k 1 k  2 RA RB () () 3   ，方程组有唯一解； （2）当 时， k  2 RA RB ( ) 2, ( ) 3   ，方程组无解； 1 0 0 1 2 c c, （3）当 时， k 1 RA RB () () 1   ，方程组有无数多解，这时方程组的通解 是 ，其中 为任意实数.） 1 21 2 3 1 1 1 0 0 1 x xc c x                          取何值时，非齐次线性方程组       123 1 23 12 3 1 0 1 3 1 . xxx x xx xx x   , ,                24.问 （1）有唯一解；（2）无解；（3）有无穷多解,并求其通解. （答案：（1）当 且 时， k  0 k  3 RA RB () () 3   ，方程组有唯一解； （2）当 时， k  0 RA RB ( ) 1, ( ) 2   ，方程组无解； （3）当 时， k  3 RA RB () () 2   ，方程组有无数多解，这时方程组的通解

(321 25.利用矩阵的初等行变换，求矩阵A=315的逆矩阵。 323 26.求下列矩阵的秩，并求一个最高阶非零子式。 (3102Y A=1-12-1 13-44 27.设 (1-10 A=01-1,AX=2X+A,求X -101 [x+2x+2x+x4=0 28.求解齐次线性方程组2x+x3-2x-2x,=0, -为-4x-3x=0. 「x]「21 「⅓1 -2 =q 1 +2 一⅓其中G,9为任意实数.) 0 0 1 x-5x+2x-3x4=0, 29.求解齐次线性方程组 -3x1+X,-4X3+2x4=0, -x-9x2-4x=0. -9 「 答案： +G2 其中G,C2为任意实数.) x 0 0 1 21-1 30.解线性方程组： 210X .(答案：X=-1⅓ .) -11 3 -2

是 ，其中 为任意实数.） 1 2 3 1 1 1 2 1 0 x x c x                             c  25.利用矩阵的初等行变换，求矩阵 的逆矩阵。 321 315 323 A           26.求下列矩阵的秩，并求一个最高阶非零子式。 31 0 2 1 12 1 13 44 A             27.设 1 10 01 1 10 1 A             ， AX X A  2  ，求 X 。 28.求解齐次线性方程组 1 2 34 12 3 4 12 3 4 2 2 0, 2 22 4 3 0. x x xx xx x x xx x x               0, （答案： 1 2 1 2 3 4 5 2 3 2 4 3 1 0 0 1 x x c c x x                                             1 2 c c, , 0, ，其中 为任意实数.） 29. 求解齐次线性方程组     12 34 12 3 4 12 4 523 0 3 42 9 4 0. xx xx xx x x xx x             （答案： 1 2 1 2 3 4 9 1 7 2 1 1 7 2 1 0 0 1 x x c c x x                                               1 2 c c,           ，其中 为任意实数.） 30.解线性方程组： .（答案： 21 1 1 21 0 1 1 11 3 X               4 3 11 3 2 X               .）