南阳师范大学：《线性代数》课程教学资源（练习题）第四章 练习题

第四章练习题 一、判断题 1.设a,a,线性相关，b,b,也线性相关，则一定线性相关 () 2.非零向量组的最大无关组存在且唯一 1 1 3.对任意参数m,m2,m,向量组a= m 0 4 =2 总是线性无关.() 0 2 3 4.若n元齐次线性方程组Ax=0只有零解，则非齐次线性方程组A=b有惟一解.() 5.若n元非齐次线性方程组Ax=b有两个不同解，则Ar=0有无限多解. () 6.向量组与它的最大无关组等价。() 7.m个n维向量的向量组，当m<n时，向量组线性相关。() 8.若向量组B能由向量组A线性表示，则R(B)=R(A,B).() 二、选择题 9.设向量组a,a,a,线性无关，则下列向量组线性无关的是() A.a+a,a+a,,a-a B.a+a,a+as,a+2a+a,: C.a+2a,2a+3a,3a+a,:D.a+a2,2a,-3a,-5a,3a,+5a,+2a 10.已知向量组A:a,g,4,a,线性无关，则与A等价的向量组是( A.a+a;,a-a,,a-a,a.-a:B.a-a;,a:-a,,a,-a.,a-a C.41+a2,42-a1,4+a,a-41:D.a+a,42+,a+a,a4+4. 11.设A为n阶矩阵，且R(4)=n-1,a,是Ax=0的两个不同的解，k为任意常数，则 Ax=0的通解为(C) A.ka B.ka,:C.k(a-a,):D.k(a+a,). 12.设向量组A:a,a,…,a,B:g,a2,…,…a,则必有() AA相关一B相关；B.A无关一B无关：C.B相关一A相关：D.B相关一A无关 13.设A是mxn矩阵，且秩R(A)=m<n,则() A.A的任意m个列向量必定线性无关 B.A的任意一个m阶子式不等于零 C.齐次线性方程组A杯=0只有零解。 D.非齐次线性方程组A红=b必有无穷多解 14.向量组a,4,,a。（m之2)线性相关，则(). A.4,4,,an中每一个向量均可由其余向量线性表示： B。4,4,,0中每一个向量均不可由其余向量线性表示：

第四章    练习题 一、判断题 1．设 线性相关， 也线性相关，则一定线性相关 a a 1 2 , b b 1 2 , .                  （） 2．非零向量组的最大无关组存在且唯一．                                （） 3．对任意参数m m123 , ,m ,向量组 1 1 , , 总是线性无关.（） 1 0 0 m               2 2 1 0 2 m               3 3 1 2 3 m              4.若n元齐次线性方程组 只有零解，则非齐次线性方程组 Ax  0 Ax b  有惟一解.（） 5. 若n元非齐次线性方程组 有两个不同解，则 Ax b  Ax  0有无限多解.      （） 6.向量组与它的最大无关组等价。（ ） 7.m 个 n 维向量的向量组，当 m<n 时，向量组线性相关。（） 8.若向量组 B 能由向量组 A 线性表示，则 R() (,) B RAB  .（） 二、选择题 9． 设向量组 ， ， 线性无关，则下列向量组线性无关的是（ a1 a2 a3 ） A. a1＋ ， ＋ ， － a2 a2 a3 a3 a1 ；    B. a1＋ ， ＋ ， ＋ a2 a2 a3 a1 2 a2＋ ；a3 C. a1 +2 a2，2 ＋3 ，3 ＋ ； a2 a3 a3 a1 D. a1＋ ,2 － a2 a1 3 a2－5 a3 ,3 a1＋5 a2 +2 . a3 10．已知向量组 A：1， 2 ， 3 ， 4 线性无关，则与 A 等价的向量组是（    ）         A.1＋ 2 ， 2 － 3 ， 3 － 4 ， 4 －1；B.1－ 2 ， 2 － 3 ， 3 － 4 ， 4 －1； C.1＋ 2 ， 2 － 3 ， 3 ＋ 4 ， 4 －1；D.1＋ 2 ， 2 ＋ 3 ， 3 ＋ 4 ， 4 +1 .    11．设 A 为 n 阶矩阵，且   nAR  1，1， 2 是 Ax＝0 的两个不同的解，k 为任意常数，则 Ax＝0 的通解为（ C） A. 1 k ；    B.     2 k ；     C. k(1 ‐ 2 )；    D. k(1 + 2 ). 12．设向量组 A：1， 2 ，…， s ，B：1， 2 ，…， s …  rs ，则必有（） A. A 相关B 相关；B. A 无关B 无关； C. B 相关A 相关；D. B 相关A 无关. 13. 设 A 是mn矩阵，且秩 R( ) A m  n ，则（） A. A 的任意m 个列向量必定线性无关 B. A 的任意一个m 阶子式不等于零 C.齐次线性方程组 只有零解. Ax  0 D.非齐次线性方程组 必有无穷多解 Ax b  14．向量组aa a 1 2 ,,,  m （ ）线性相关，则（ m  2     ）． A． 中每一个向量均可由其余向量线性表示； 1 2 ,,, m aa a  B． 中每一个向量均不可由其余向量线性表示； 1 2 ,,, m aa a 

C.a,a2,…,a中至少有一个向量可由其余向量线性表示： D.a,a,…,an中仅有一个向量可由其余向量线性表示 15.若A是n阶可逆矩阵，下列说法中错误的是(). A.A≠0： B.A的列向量组线性相关： C.R(A)= D.A与单位阵E行等价. 17.设A=b为非齐次线性方程组，4Ar=0为其对应的齐次线性方程组，下列说法中错误的 是(). A.若x=5,x=52为Ar=0的解，则x=+5也是Ar=0的解： B.若x=气为A=0的解，k为实数，则x=k5也是Ar=0的解 C.若x=几，及x=2都是A红=b的解，则x=刀，+乃2也是Ax=b的解： D.若x=n为Ax=b的解，x=5为Ax=0的解，则x=5+n是Ar=b的解 18.设A是4×5矩阵，A的秩等于3，则齐次线性方程组Ax=0的基础解系中所含解向量的个 数为( A.4 B.5 C2 D.3 19.向量组A:a,4,…a(m≥3)线性无关的充要条件是（) A.存在不全为零的数k,k,…k.,使k,a,+ka+…+kan≠0 6A如中在在一个阁都不能用天杂肉限终性教不 A组中存在 20.已知a,a2,a是四元非齐次线性方程组Ax=b的三个解向量，且R()=3,a,=(L,2,3,4), 42+a=(0,l2,3)7,c是任意的常数，则Ar=b的通解是x=( ) 1 (1)(2 1 3 2 A. B. 3 23 +c2 C. 3 D 4 (4 4 三、填空题 21.4元非齐次线性方程组的系数矩阵的秩为3，已知a,a,%,是它的3个解向量，其中 1= 4 6 则该方程组的通解是 22.设矩阵A=(a,a,a,a,),其中a2,a,a,线性无关，a,=2a-a,向量b=a,+a2+a,+a, 则方程A=b的通解为：

C． 中至少有一个向量可由其余向量线性表示； 1 2 ,,, m aa a  D． 中仅有一个向量可由其余向量线性表示． 1 2 ,,, m aa a  15. 若 A 是n阶可逆矩阵，下列说法中错误的是（    ）． A． A  0；       B．A 的列向量组线性相关； C． ；    nAR     D． A 与单位阵 E 行等价． 17．设  bAx 为非齐次线性方程组， Ax  0 为其对应的齐次线性方程组，下列说法中错误的 是（    ）． A．若   1 x ，   2 x 为 的解，则 Ax  0     21 x 也是 Ax  0 的解； B．若   1 x 为 的解， Ax  0 k 为实数，则  1  kx 也是 Ax  0 的解；    C．若 1 x 及 2 x 都是 的解，则  bAx  21 x 也是  bAx 的解；         D．若 x   为 的解，  bAx x   为 Ax  0 的解，则 x    是  bAx 的解． 18.设 A 是 4×5 矩阵， A 的秩等于 3，则齐次线性方程组 Ax  0的基础解系中所含解向量的个 数为（ ） A. 4        B.5      C.2        D.3 19. 向量组 A： ， … ( a1 a2 am m≥3）线性无关的充要条件是（    ） A. 存在不全为零的数k1 , k2 ,… ，使 m k  2211  akakak mm  0；      B.    A 组中任意两个向量都线性无关；      C.    A 组中存在一个向量，它不能用其余向量线性表示；                 D.    A 组中任意一个向量，都不能用其余向量线性表示. 20.已知 ， 是四元非齐次线性方程组 1 2 a a, 3 a Ax b  的三个解向量，且 ， ， ， 是任意的常数，则 R A() 3  1 (1, 2,3, 4)T a  2 3 a a   (0,1, 2,3)T c Ax  b的通解是 x （     ） A. B. C. D. 1 1 2 1 3 1 4 1 c                    1 0 2 1 3 2 4 3 c              1 2 2 3 3 4 4 5 c              1 3 2 4 3 5 4 6 c              三、填空题 21. 4 元非齐次线性方程组的系数矩阵的秩为 3, 已知 123  , ,   是它的 3 个解向量 , 其中 ， ， 则该方程组的通解是                   1 2 3 4 5               1 2 2 4 6 8                 22．设矩阵    ,,, aaaaA 4321 ，其中 ,, aaa 432 线性无关， 1  2  aaa 32 ，向量    aaaab 4321 ， 则方程 的通解为：  bAx

23.若向量组a=(-2,3,1),a2=(2,1,-),a=(00,1)线性相关，则1= 四、解答题 1 2 24.求向量组g1= 3= ba= 的秩和 一个最大线性无关组 2 0 1 4 答案：秩为3，最大无关组a1,a,3或a,a2,a或a,a,a4或a,a,a4 25.设月=+a2,=4,+a,B=a+a，且向量组,2,a线性无关，证明向量组 B,B,B线性无关. 26.设向量组：4，=1,1，-1)，a2=(3.4,-2),a,=(2,4,0),a4=(0,1)T,试求此向量组秩和 一个最大无关组，并将其余向量用最大无关组线性表示. 答案：此向量组的秩为2，,,是此向量组的一个最大无关组， C3=-4亿1+2，，a4=-3C+, 27.设向量组a,,a,线性无关，问：常数1，m满足什么条件时，向量组1a,-a,ma,-a2, a-a,也线性无关. 答案：当m≠1时，向量组1a,-a,ma,-a,a-a,也线性无关 28.己知n,n2,n,是三元非齐次线性方程组A=b的解，且R(AF1及 17 n+=0n+=1n+n=1 求方程组A=b的通解 0 0 答案：因为4=n-h=0a=- 1 是齐次线性方程组x=0的基础解系， 0 y=+)=0 是非齐次线性方程组A=b的解，所以方程组=b的通解为 0(C.c2 ER) x-5x,+2x,-3x,=0 29.求齐次线性方程组-3x+无，-4元，+2x,=0的基础解系. -x-9x,-4x,=0 -9 -8 答案：= "t

23.若向量组 线性相关,则t =        T 3 T 2 T 1 α  α  t α  )0,0,1(,),-12,(,)2,3,1( . 四、解答题 24.求向量组 的秩和一个最大线性无关组.                                                              4 1 5 2 , 0 3 1 2 , 1 0 2 1 , 1 2 0 1 1 2 3  4 答案：秩为 3，最大无关组 123  , ,   或 124  , ,   或 134  , ,   或 2 3 , ,    4 . 25. 设 1 1 22 2 33 3    , ,       1 ，且向量组 1 2 , ,   3 线性无关，证明向量组 1 2 3  , ,   线性无关. 26. 设向量组： ， ， ， ，试求此向量组秩和 一个最大无关组，并将其余向量用最大无关组线性表示. T 1   )1,1,1( T 2   )2,4,3( T 3   )0,4,2( T 4   )1,1,0( 答案：此向量组的秩为 2， 1 2  , 是此向量组的一个最大无关组， 3 1 24 1 4 2, 3 2          . 27. 设向量组 123  , ,   线性无关 , 问: 常数l m, 满足什么条件时, 向量组 2 1 l  ，m3 2  ， 1 3 也线性无关. 答案：当 时，向量组 lm 1 2 1 l  ，m3 2  ，1 3 也线性无关. 28.已知 123  , ,   是三元非齐次线性方程组 Ax=b 的解，且 R(A)=1 及 12 23 13 1 1 0 1 , , 0 0                      1 1 , 1 求方程组 Ax=b 的通解. 答案：因为 112 ， 0 0 1              2 13 0 1 0               是齐次线性方程组 Ax  0 的基础解系， 1 2 0 0            1 2 1 ( ) 2     是非齐次线性方程组 Ax=b 的解，所以方程组 Ax=b 的通解为 1 1 2 21 2 1 2 , )  3 0 0 0 1 0( 1 00 x x c c cc x                                   29．求齐次线性方程组 的基础解系.        049 0243 0325 21 4 21 3 4 21 43 xxx xxxx xxxx 答案： . 1 2 9 8 1 0 , 7 7 0 2                  

30.设1，…，刀，是非齐次线性方程组Ar=b的s个解，k,…k是实数，满足k+…+k=1.证 明：x=kn+…+kn也是它的解。 答案：由题设知，4机=b(=1,2,…,),又k++k=1,于是 A=Akh++k,n,)=k4m++kA机，=kb+…+k,b=(k+…+k,)b=b 故x=k+…+kn,是非齐次线性方程组Ar=b的一个解. a (-2 -1 31.设有向量组A:a=2,a2=1,a,=1,及向量B=b 问a,B为何值时： 10 5 4 (1)向量B不能由向量组A线性表示： (2)向量B能由向量组A唯一线性表示： (3)向量B能由向量组A线性表示，且表示式不唯一，并求一般表达式。 32.知R(a,a2,a3)=2,R(a2,a3,a)=3,证明 (1)a,能由a42,a线性表示： (2)a4不能由a,a2,a,线性表示 33.已知向量组 0 证明向量组A与向量组B等价

30.设 s ,,1  是非齐次线性方程组  bAx 的 s 个解， 1,kk s 是实数，满足 1  kk s  1．证 明： ss  kx 11  k  也是它的解． 答案：由题设知， ( 1,2, , A bi s i     )，又 1  kk s  1，于是 1 1 1 1 1 1 ( ) ( Ax A k k k A k A k b k b k k b b s s s s s s                ) 故 ss 11  kkx  是非齐次线性方程组  bAx 的一个解. 31.设有向量组 A： 12 3 ，及向量 2 1 2, 1, 1 10 5 4 a                         1 1  b            ，问, 为何值时： （1）向量  不能由向量组 A 线性表示； （2）向量  能由向量组 A 唯一线性表示； （3）向量  能由向量组 A 线性表示，且表示式不唯一，并求一般表达式。 32.已知 123 R(, , )2     ， 234 R(,, )3     ，证明 （1）1能由 2 ,  3 线性表示； （2） 4 不能由 1 2 , ,   3线性表示。 33.已知向量组 12 1 2 3 01 11 : 1, 1, : 0 , 2, 2 10 1 1 A B                                    3 1          ，证明向量组 A 与向量组 B 等价