第二节洛必达法则 -、 型未定式 二、∞ 型未定式 00 三、其他未定式
三、其他未定式 二、 型未定式 一、 型未定式 0 0 第二节 洛必达法则
未定式 定义若mf=m)=0,则称m但为。型未定式 0 8(x) 若imf)=o,limg)=,则称1mf为二型未定式 8(x) 0 msmc为。 型未定式 0 sin bx 一为型未定式 00
定义 若lim ( ) lim ( ) 0 f x g x ，则称 ( ) lim ( ) f x g x 为 0 0 型未定式 若lim ( ) lim ( ) f x g x ， ，则称 ( ) lim ( ) f x g x 为 型未定式 0 sin lim x sin ax bx 为 0 0 型未定式 ln lim x x x 为 型未定式 未定式
型未定式 0 定理1设(1)lim f(x)=1img(x)=0; (2)fx),g(x)在点x,的某去心邻域内可导，并且g'(x)≠0， (3)极限m四存在或为∞ 6g'(x) 那么 limf=lim f'(x) 68(x)→68'(x)
一、 0 0 型未定式 定理 1 设（1）lim ( ) lim ( ) 0 0 0 f x g x x x x x ； （2） f (x), g(x)在点 0 x 的某去心邻域内可导，并且 g (x) 0， （3）极限 ( ) ( ) lim 0 g x f x x x 存在或为 那么 ( ) ( ) lim ( ) ( ) lim 0 0 g x f x g x f x x x x x
型未定式 0 注记1：定理1的作用 给出了。型未定式m侧与其m的关系 0 8(x) g'(x) 把求。型未定式m因问题转化为求m因 0 8(x) →6g'(x) 这种在一定条件下通过分子分母分别求导再求极限 来确定未定式的值的方法称为洛必达法则
一、 0 0 型未定式 注记 1：定 理 1 的作用 给出了 0 0 型未定式 ( ) lim ( ) f x g x 与其 ( ) lim ( ) f x g x 的关系 把求 0 0 型未定式 ( ) lim ( ) f x g x 问题转化为求 ( ) ( ) lim 0 g x f x x x 这种在一定条件下通过分子分母分别求导再求极限 来确定未定式的值的方法称为洛必达法则
型未定式 0 分析由于mfx)=mg)=0,m四与x无关因此可以假定f,)=g,)=0, x→6g(x) 0 f(x)f(x)-f(o) g(x) g(x)-g(xo) 0； 柯西中值定理 f(x)-f=f'() (5介于x。及x之间)， g(x)-g(x) g'(5) 0 x→x时5→x。 lim)=limf) x→6g(x)x6g'(x)
分 析 由于lim ( ) lim ( ) 0 0 0 f x g x x x x x ， 0 0 ( ) lim , ( ) x x f x x g x 与 无关 因此可以假定 f (x0 ) g(x0 ) 0， 柯西中值定理 ( ) ( ) f x g x 0 0 ( ) ( ) = ( ) ( ) f x f x g x g x 0 0 ( ) ( ) = ( ) ( ) f x f x g x g x ( ) ( ) f g （ 介于 0 x 及 x 之间）， 0 x x 时 0 x 0 0 ( ) ( ) lim lim ( ) ( ) x x x x f x f x g x g x . 一、 0 0 型未定式
。型未定式 0 注记2：如果m仍属于0型，只要f()及g(x)满足洛必达法则 xx g'(x) 中的条件，则可以继续分别对分子与分母求导数 lim )lim lim f"() xg(x)→g'(x)→g"(x)
( ) ( ) lim ( ) ( ) lim ( ) ( ) lim 0 0 0 g x f x g x f x g x f x x x x x x x ， 中的条件，则可以继续分别对分子与分母求导数 注记 2：如果 ( ) ( ) lim 0 g x f x x x 仍属于 0 0 型，只要 f (x)及g (x)满足洛必达法则 一、 0 0 型未定式
型未定式 注记3可以将定理1极限过程延伸为x→x或x→x,或x→0或x→+∞或x→-0. 0 注记4利用洛必达法则法则求。型未定式的步骤 0 第一步：判断所求的极限为。型未定式即mx)=1img)=0 第二步：写出将imf)转化为imfx即 8(x) g'(x) lim=limf( g(x) g'(x) 第三步：求出im(即可 g'(x)
一、 0 0 型未定式 注记 3 可以将定理 1 极限过程延伸为 0 x x 或 0 x x 或x 或 x 或x . 注记 4 利用洛必达法则法则求 0 0 型未定式的步骤. ( ) lim ( ) f x g x ( ) lim ( ) f x g x 第一步：判断所求的极限为 0 0 型未定式即lim ( ) lim ( ) 0 f x g x 第二步：写出将 ( ) lim ( ) f x g x 转化为 ( ) lim ( ) f x g x 即 第三步：求出 ( ) lim ( ) f x g x 即可
一、 型未定式 例1求1im inax (b≠0). x0 sinbx 解：显然本题为当x→0时的型.由洛必达法则知 (sinax) lim sinax=lim lim acosax a x0 sin bx 0(sinbx) *0 bcosbx b
例 1 求 0 sin lim ( 0) x sin ax b bx . 解：显然本题为当 x 0时的 0 0 型.由洛必达法则知 0 0 0 sin cos sin lim lim lim sin cos sin x x x ax a ax a ax bx b bx b bx 一、 0 0 型未定式
型未定式 0 例2 x3-3x+2 求--x+1 解：显然当x→1时本题为型未定式由洛必达法则可得 x3-3x+2 (x3-3x+2 3x2-3 lim- =lim =lim 1x3-x2-x+1 x→ (x2-x2-x+ x13x2-2x-1 (3x2-3) =lim 6x (3x2-2x- =册6x-2 im(6)_3 1im(6x-2)2 →
例2 求 3 3 2 1 3 2 lim x 1 x x x x x 解：显然当 x 1时本题为 0 0 型未定式.由洛必达法则可得 3 3 2 3 2 2 1 1 1 3 2 3 2 3 3 3 2 lim lim lim 1 3 2 1 1 x x x x x x x x x x x x x x x x 一、 0 0 型未定式 2 1 1 2 3 3 6 lim lim 6 2 3 2 1 x x x x x x x 1 1 lim 6 3 lim 6 2 2 x x x x
一、 型未定式 0 注记5：将洛必达法则与其它求极限方法结合使用，效果会更好 、 sinx 例3求lim 01-COSx 1-Sinx 分析：显然当x→0，li 01-COSx 为型未定式 xCOSx-sinx比1-sinx复杂 3
例 3 求 0 sin 1 lim 1 cos x x x x . 注记 5：将洛必达法则与其它求极限方法结合使用，效果会更好 分析：显然当x 0, 0 sin 1 lim 1 cos x x x x 为 0 0 型未定式 一、 0 0 型未定式 2 sin cos sin 1 x x x x x x 比 sin 1 x x 复杂