南阳师范学院：《高等数学》课程教学课件（同济第六版）第三章 微分中值定理与导数的应用 3.3 泰勒公式

第三节泰勒公式

第三节 泰勒公式

一、泰勒公式 问题的提出 △y≈y f(x)-f(xo)f(xo)(x-xo) f(x)f(xo)+f(xo)(x-xo) 微分代替增量的实质是用一次多项式代替函数本身！ 优点：容易计算； 缺点：1.精度不高；2.误差具体多少不明确

一、泰勒公式 •问题的提出  y dy 0 0 0 f x f x f x x x ( ) ( ) ( )( )     0 0 0 f x f x f x x x ( ) ( ) ( )( )     微分代替增量的实质是用一次多项式代替函数本身！ 优点：容易计算； 缺点：1.精度不高；2.误差具体多少不明确

一、 泰勒公式 目的 希望找一个n次的多项式 P(x)=a+a(x-xo)+a(x-xo)2+...+a(x-xo)" 近似代替fx),使得精度较高，并且误差明确. •设想 Pn(c)与fx)在x的各阶导数（直到(+1）阶导数)相等： fxo)=Pr(xo), f(xo)=P'(xo), f"(o)=P"(xo), "(c0)=Pm"(o), f(()=P (m()

•目的 一、泰勒公式 2 0 1 0 2 0 0 ( ) ( ) ( ) ... ( )n P x a a x x a x x a x x n n         希望找一个n次的多项式 近似代替f(x)，使得精度较高，并且误差明确. Pn (x)与f(x)在x0的各阶导数(直到(n1)阶导数)相等: f(x0 )Pn (x0 ), f (x0 )Pn (x0 ), f (x0 )Pn (x0 ), f (x0 )Pn (x0 ),      , f (n) (x0 )Pn (n) (x0 ). •设想

•多项式系数的确定 Ao)=Pn(o)=ao2 ao=Axo), f'(xo)=P'(xo)=a, a1=f'(x), f"(xo)=P,"(x)-2!a2, a-jMx). f"co)=Pm"(o上=3la3, f(()=P,()=nlan () P((x)=n!a

Pn (x)a0a1 (xx0 ) a2 (xx0 ) 2     an (xx0 ) n P , n (x) a12a2 (xx0 )     nan (xx0 ) n1 P , n (x)2a2 32a3 (xx0 )     n(n1)an (xx0 ) n2 P , n (x)3!a3432a4 (xx0 )      n(n1)(n2)an (xx0 ) n3 P , n (n) (x)n!an . •多项式系数的确定 a0 , a0  f(x0 ), a1 , a1  f (x0 ), 2!a2 , 3!a3 ,      , f(x0 )Pn (x0 ) f (x0 )Pn (x0 ) f (x0 )Pn (x0 ) f (x0 )Pn (x0 ) f (n) (x0 )Pn (n) (x0 )  n!an .      , ( ) 2! 1 2 0 a  f  x , ( ) 3! 1 3 0 a  f  x , ( ) ! 1 0 ( ) f x n a n n 

•多项式系数的确定 a-右k=0.12, 于是所求多项式为 P.6=Hf'-x+2f",)6-x ++af(-)

于是所求多项式为 ( ) ! 1 0 ( ) f x k a k k  (k0,1,2,  ,n). Pn (x)  f(x0 ) f (x0 )(xx0 ) (xx0 ) 2 ( ) 2! 1 0  f  x ( ) ! 1 0 ( ) f x n     n (xx0 ) n . •多项式系数的确定

冬泰勒中值定理 如果函数fx)在含有x的某个开区间(，b)内具有直 到(+1)的阶导数，则对任一x∈(a,b),有 f)=f+f0-)+2f",x-xP 卡+/-r+, 其中R(时=fa且(x-)1(传介于x与之间)， (n+1)川 展开式称为fx)按x-x)的幂展开的n阶泰勒公式， 而Rc)的表达式称为拉格朗日型余项

泰勒中值定理 如果函数f(x)在含有x0的某个开区间(a, b)内具有直 到(n1)的阶导数,则对任一x(a, b), 有 展开式称为f(x)按(xx0 )的幂展开的n阶泰勒公式, 而Rn (x)的表达式称为拉格朗日型余项. 2 0 0 0 0 0 ( ) ( ) 2! 1 f (x) f (x ) f (x ) (x x ) f  x x x    ( ) ( ) ( ) ! 1 0 0 ( ) f x x x R x n n  n  n  , 其中 1 0 ( 1) ( ) ( 1)! ( ) ( )      n n n x x n f R x  其中 ( (   介 介于 于 x x 0 0 与 与 x之间 x 之间 ).)

•误差估计 如果在区间(a,b)内，对于某个固定的n,f+)c)川总 不超过一个常数M,则有估计式： 风训=a2-0水 及 lim R)一=0. xxo (x-xo)n 可见，当x→x时，误差Rn心是比x-xo)"高阶的无穷小， 即Rnc)=o[k-xo)I]

如果在区间(a, b)内, 对于某个固定的n, |f (n1)(x)|总 不超过一个常数M,则有估计式: 可见, 当xx0时,误差|Rn (x)|是比(xx0 ) n高阶的无穷小, •误差估计 及 0 ( ) lim 0 ( ) 0    n n x x x x x R . 1 0 1 0 ( 1) | | ( 1)! ( ) | ( 1)! ( ) | ( )| |          n n n n x x n M x x n f R x  , 1 0 1 0 ( 1) | | ( 1)! ( ) | ( 1)! ( ) | ( )| |          n n n n x x n M x x n f R x  , 即Rn (x)o[(xx0 ) n ]

误差估计 如果在区间(a,b)内，对于某个固定的n,f总 不超过一个常数M,则有估计式： R=49-x Rn(x)o[(x-xo)乃.一佩亚诺型余项 在不需要精确表达余项时，n阶泰勒公式也可写成 f)=f+f0x-x)+7f"(0-尸 +()(x-xo)+o-)]

Rn (x)o[(xx0 ) n ]. 在不需要精确表达余项时, n阶泰勒公式也可写成 2 0 0 0 0 0 ( ) ( ) 2! 1 f (x) f (x ) f (x ) (x x ) f  x x x    ( ) ( ) [ ( ) ] ! 1 0 0 0 (n) n n f x x x o x x n     . •误差估计 佩亚诺型余项 如果在区间(a, b)内, 对于某个固定的n, |f (n1)(x)|总 不超过一个常数M,则有估计式: 1 0 1 0 ( 1) | | ( 1)! ( ) | ( 1)! ( ) | ( )| |          n n n n x x n M x x n f R x  , 1 0 1 0 ( 1) | | ( 1)! ( ) | ( 1)! ( ) | ( )| |          n n n n x x n M x x n f R x 

二、泰勒中值定理 注记1：(1)当n=0时，泰勒公式变为拉格朗日中值定理 f()=f(x)+f'(5x-x)（5在x,与x之间) (2)当n=1时，泰勒公式变为 f(x)=f(x)+f(Xx-x)+(x-x （5在x,与x之间)

.二、泰勒中值定理 注记 1：（1）当 n  0 时, 泰勒公式变为拉格朗日中值定理 f x( )  0 f x( ) 0   f x x ( )( )  （ 在 0 x 与 x 之间） （2）当 n 1 时, 泰勒公式变为 f x( )  0 f x( ) 0 0   f x x x ( )( ) （ 在 0 ( ) ( )0 2 x 与 x 之间） 2 ! f x x    

二、麦克劳林公式 冬麦克劳林公式 当x=0时，泰勒公式称为麦克劳林公式： 0-f0x-9++0a+, 或 f=f0+f0r+f0x2++fm0x"+d。 2 其中R6W=axl. (n+1)！ 近似公式 fa)f0+f0x+'0x2+…+fm0x n

当x00时, 泰勒公式称为麦克劳林公式: •近似公式 其中 1 ( 1) ( 1)! ( ) ( )     n n n x n f R x  . ( ) ! (0) 2! (0) ( ) (0) (0) ( ) 2 x R x n f x f f x f f x n n n          , 或 ( ) ! (0) 2! (0) ( ) (0) (0) ( ) 2 n n n x o x n f x f f x f f x          , n n x n f x f f x f f x ! (0) 2! (0) ( ) (0) (0) ( ) 2         . 二、麦克劳林公式 麦克劳林公式