南阳师范学院：《高等数学》课程教学课件（同济第六版）第六章 定积分在几何中的应用

第六章 定积分在几何中的应用 一、定积分的元素法 二、平面图形的面积 三、立体图形的体积 四、平面曲线的弧长

第六章 定积分在几何中的应用 一、定积分的元素法 二、 平面图形的面积 四、 平面曲线的弧长 三、 立体图形的体积

一、 定积分的元素法 曲边梯形由连续曲线y=f(x)≥0)、x轴与两条 直线x=a、x=b所围成 1) y=f(x) A=? 0a为1X-1X1bx Si

一、定积分的元素法 A  ? y  f (x) a y o 1x i x i1 x  i

(1)分割： A=∑A4 (2)近似代替 △A≈f(5)△x (3)求和 4交M (4)取极限 4=交s)h

（1）分割： 1 n i i A A     （2）近似代替 ( ) A f x i i i     （3）求和 1 ( ) n i i i A f x      （4）取极限 0 1 lim ( ) ( ) n b i i a i A f x f x dx               

可以用定积分解决的问题 一般地，若某实际问题中的所求量U符合以下条件： (1)U是一个与变量x的变化区间[a,b]有关的量， (2) U关于区间具有可加性， (3) 部分量△U的近似值形如f(x)△x. 则可考虑用定积分来表达这个量U

（1） ; U x 是一个与变量 的变化区间[a,b]有关的量 则可考虑用定积分来表达这个量 U 一般地， 若某实际问题中的所求量 U 符合以下条件： （2） U ; 关于区间具有可加性 （3） ( ) . 部分量   U f x x i i i 的近似值形如 可以用定积分解决的问题

具体过程 ()根据实际问题，选取一个积分变量x,并确定其变化区间[a,b]; (2) 设想把[a,b]分成n个小区间，选取典型小区间[x,x+dx],求出此区间 上部分量△U的近似值△U≈f(x)dx,得到所求量U的元素dU=fx)dx (3)以所求量U的元素fx)为被积表达式，在区间[a,]上作定积分， 得到U的积分表达式U=∫fx)d,计算定积分得到量U 元素法

（2） 设想把 [ , ] , [ , d ], a b n x x x 分成 个小区间 选取典型小区间  求出此区间 得到 U 的积分表 ( )d , b a U f x x U  达式  计算定积分得到量 （1）根据实际问题, , [ , ] ; 选取一个积分变量 x a b 并确定其变化区间 上部分量    U U f x x U U f x x 的近似值 Δ ( )d , d ( )d 得到所求量 的元素 （3）以所求量 ( )d , [ , ] , U f x x a b 的元素 为被积表达式 在区间 上作定积分 具体过程 元素法

注记1：利用微元法的解题步骤 (1)确定所求量U和自变量x及其变化区间[a,b; (2)根据自变量x和增量k,在区间x,x+]上找出fw),建立U的增量近 似表达式 △U(x)≈dU=f(x)dx (3)计算定积分ULa,b1=∫fx)k

(1) 确定所求量U 和自变量x及其变化区间[ , ] a b ； (2) 根据自变量x和增量dx，在区间[ , ] x x dx  上找出 f x( )，建立U 的增量近 似表达式    U x dU f x dx ( ) ( ) 注记 1：利用微元法的解 题步骤 (3) 计算定积分 [ , ] ( ) b a U a b f x dx  

二、平面图形的面积 1.平面直角坐标： 一般地，平面图形的面积元素都用小矩形的面积表示 ↑y ↑y y=f(x) y=f(x) fx) f(x) 0 x+dx -8gx) O a xx+dx b y=g(x) (1)求x=a,x=b,y=f(x)和y=g(x)所围图形的面积 以x为积分变量，积分区间[a,b].面积元素dA=[f(x)-g(x)dk,则 A=S"lf(x)-g(x)

二、平面图形的面积 1. 平面直角坐标： 一般地，平面图形的面积元素都用小矩形的面积表示 x y O a b y=f(x) x f(x) x+dx y y=f(x) f(x) x O a x x+dx b y=g(x) -g(x) （1）求 x a  ， x b  ， y f x  ( ) 和 y g x  ( ) 所围图形的面积 以 x 为积分变量，积分区间[ , ] a b .面积元素dA f x g x dx   [ ( ) ( )] ，则 ( ) ( ) b a A f x g x dx   

二、平面图形的面积 1.平面直角坐标： (2)同理可得由y=a,y=B（a<B）,x=O)和x=,)所围图形的面积为 4=2网6)-%，d

二、平面图形的面积 （2）同理可得由 y y     , （   ）， 1 x y  ( )和 2 x y  ( ) 所围图形的面积为 1 2 A y y dy ( ) ( )        1. 平面直角坐标：

注记2：求平面图形的面积一般步骤为： (1)作草图，确定积分变量与积分区间； (2)求出面积微元素； (3)计算定积分，求出面积

注记 2：求平面图形的面积一般步骤为： （1）作草图，确定积分变量与积分区间； （2）求出面积微元素； （3）计算定积分，求出面积

例1求y=x2,x=1,y=0围成的平面图形的面积 解：解方程组 矿得曲线)=r与=1的交点： 显然曲线y=x与y=0的交点为O(0,0), 取y为积分变量，则0≤y<1,且在y,y+△y上的面积元素 dM=[1-] 于是所求的图形的面积

例 1 求 2 y x  ， x y   1, 0围成的平面图形的面积. 解：解方程组 2 1 y x x      得曲线 2 y x  与 x 1的交点： A1,1 显然曲线 2 y x  与 y  0 的交点为 O0,0 , 取 y 为积分变量，则 0 1  y ,且在 [ , ] y y y   上的面积元素 于是所求的图形的面积   1 1 1 1 2 0 0 1 1 1 1 3 1 2 A y dy y y                   dA y dy     1  