南阳师范学院：《高等数学》课程教学课件（同济第六版）第八章 空间解析几何与向量代数

第一节向量及其线性运算 一、向量概念 二、向量的线性运算 三、空间直角坐标系 四、利用坐标作向量的线性运算 五、向量的模、方向角、投影

一、向量概念 二、向量的线性运算 四、利用坐标作向量的线性运算 三、空间直角坐标系 五、向量的模、方向角、投影 第一节 向量及其线性运算

一、向量概念 1、概念 (1)向量：既有大小又有方向的量。 如位移、速度、加速度、力、力矩等。，B (2)向量表示：用一条有向线段表示.ū (终点 (3)向量的模向量的大小. A (4)单位向量：模长为1的向量. (起点) (⑤)零向量模长为0的向量，记做0（方向是任意的） (6)自由向量：与起点无关的向量 (7)两向量的夹角： 6 p=位)=6，)0≤ps列 d

⑴向量：既有大小又有方向的量。 如位移、速度、加速度、力、力矩等。 ⑵向量表示：用一条有向线段表示. a 模长为1的向量. 模长为0 的向量,记做0 a ||  ⑶向量的模：向量的大小. 1、概念 ⑷单位向量： ⑸零向量: 一、向量概念 (6)自由向量：与起点无关的向量 A （起点） B （终点） (方向是任意的) (7)两向量的夹角: a  b   ba ),(     ab ),(    0(   )

2、两非零向量的关系 (1)相等：大小相等且方向相同的向量. 记a=b(平行移动后能完全重合) (2)平行：方向相同或相反的两个非零向量.记ā∥ 两向量平行也称为共线 (3)垂直：夹角为元的两个非零向量.记ā1石 注意：由于零向量的方向可以看成任意的，故零 向量与任何向量都平行或垂直。 (4)共面：把若千个向量的起，点放到一起，若它们的 终点和公共起点在同一平面上，则称这些 向量共面

2、两非零向量的关系 ⑴相等：大小相等且方向相同的向量. a  b  ba   记  ⑵平行：方向相同或相反的两个非零向量. ba   记 // 注意：由于零向量的方向可以看成任意的，故零 向量与任何向量都平行或垂直。 ⑷共面：把若干个向量的起点放到一起，若它们的 终点和公共起点在同一平面上，则称这些 向量共面. （平行移动后能完全重合） 两向量平行也称为共线. ⑶垂直： ba   夹角为 记  的两个非零向量. 2 

二、向量的线性运算 1、向量的加减法 (1)加法：a+b=c (平行四边形法则) d (平行四边形法则有时也称为三角形法则) 负向量 (2)减d-b=a+(-时 法： …学d+b c=d+(-b) a-b -a-b

⑵减 法： baba )(         a b   b   b  c   ba bac          )( ba    ba   a   b  1、向量的加减法 ⑴ 加法： cba      a  b  c  （平行四边形法则） （平行四边形法则有时也称为三角形法则） 二、向量的线性运算 负向量

2、向量与数的乘法 (1)定义：向量a与实数1的乘积1d是一个新向量. i)2>0,2d与d同向，|2d=2| 2=0,a=0 ii地2<0,2d与d反向，|2i曰2ldl (2)单位向量的表示 向量的单位化 若a40,则有单位向量8- 因此a=lae

2、向量与数的乘法 i   ,0) a   与 a 同向， aa ||||      ii   ,0) 0   a  iii   ,0) a   与 a 反向， aa ||||||       ⑵单位向量的表示 a  0,   , a a ea    则有单位向量  因此 . a eaa   若  向量的单位化 ⑴ 定义：向量 与实数 的乘积 a 是一个新向量.  a  

定理1.设a为非零向量，则a∥b的充分必要条件是 存在唯一的实数入，使b=1d 题以是世)设x-以型 河-40哥-0 故b=d. （“唯一 设又有b=ua,则(2-m)a=0 性”) 而d≠0，故几-4=0，即九=4

定理1. 设a 为非零向量,则 证:（“必要性”） （“唯一 性”） 则 a∥b 设又有b＝a ,    a  0)(  a   a  b a a  b 的充分必要条件是 存在唯一的实数，使 设 a∥b , b a      故 b a   .   b a   .   而a  0,  故     0, 即    . ,取 则

三、空间直角坐标系 z轴 1、坐标系的构成 Oxyz坐标系 或oi,j；k yoz平面 →轴 o原点 xoy平面 x轴 xoz平面 过空间一定点O,作三条相互垂直的数轴

x轴 y轴 z轴 o原点 xoy平面 xoz平面 yoz平面 过空间一定点O，作三条相互垂直的数轴  1、坐标系的构成 三、空间直角坐标系 oxyz 坐标系 或 o i;;;j k      

I VI VII 上x 三个坐标平面将空间分成八部分，每一部分叫做一个 卦限

三个坐标平面将空间分成八部分，每一部分叫做一个 卦限

2、向量的坐标表示 在空间直角坐标系下，任意向量下可用向径OM表示. 以i,,分别表示x,y,z轴上的单位向量，设，点M 的坐标为M(x,y,z),则 OM-ON+NM =04+0B+OC d OA=xi,OB=yj,OC=zk k r=xi+yj+zk=(x,y,2) A 此式称为向量下的坐标分解式， xi,yj,z称为向量开沿三个坐标轴方向的分向量

设点 M M x y z ,),,( 则 沿三个坐标轴方向的分向量. kzjyixr         x y z),,( x o y z M N B C i  j  k  A 以 ,, kji 分别表示 ,, zyx 轴上的单位向量 ,    的坐标为 kzjyix r    ,, 称为向量 r  任意向量 可用向径OM 表示. OM  N  NMO    OCOBOA ixOA ,   jyOB ,   kzOC   2、向量的坐标表示 在空间直角坐标系下, r 此式称为向量 r 的坐标分解式, 

四、利用坐标作向量的线性运算 1、向量的加减法与数乘 a=(ax,a,a,)=ai+ayj+ak; B=(bs,b,B:)=bi+byj+b.k; (1)加法d+b=(a.+b,a,+b,a2+b) =(a+b)i+(a,+b,)j+(a2+b)k; (2)减法d-b=(a-b,a,-b,a:-b) =(a.-b)i+(a,-b,)j+(a2-b)k (3)数乘a=(2ax,2a,a）=(a)i+(n,)j+(a,)k. 2、平行向量的坐标表示式 aWdb=a台(6，b,b)=a,4,0,) (等价→

),,( zyx  aaaa ),,(  bbbb zyx  ⑴加法 ),,( zzyyxx  babababa   kbajbaiba ;)()()( xx yy zz          1、向量的加减法与数乘 kajaia ; zyx     kbjbib ; zyx     ),,(  babababa zzyyxx   kbajbaiba ;)()()( xx yy zz          ⑵减法 ),,(     aaaa zyx  kajaia .)()()( x y z    ⑶数乘   2、平行向量的坐标表示式 abba    //   ),,(),,(  zyx   aaabbb zyx z z y y x x a b a b a b  四、利用坐标作向量的线性运算 （等价）