第一节向量及其线性运算 一、向量概念 二、向量的线性运算 三、空间直角坐标系 四、利用坐标作向量的线性运算 五、向量的模、方向角、投影
一、向量概念 二、向量的线性运算 四、利用坐标作向量的线性运算 三、空间直角坐标系 五、向量的模、方向角、投影 第一节 向量及其线性运算
一、向量概念 1、概念 (1)向量：既有大小又有方向的量。 如位移、速度、加速度、力、力矩等。，B (2)向量表示：用一条有向线段表示.ū (终点 (3)向量的模向量的大小. A (4)单位向量：模长为1的向量. (起点) (⑤)零向量模长为0的向量，记做0（方向是任意的） (6)自由向量：与起点无关的向量 (7)两向量的夹角： 6 p=位)=6，)0≤ps列 d
⑴向量：既有大小又有方向的量。 如位移、速度、加速度、力、力矩等。 ⑵向量表示：用一条有向线段表示. a 模长为1的向量. 模长为0 的向量,记做0 a || ⑶向量的模：向量的大小. 1、概念 ⑷单位向量： ⑸零向量: 一、向量概念 (6)自由向量：与起点无关的向量 A （起点） B （终点） (方向是任意的) (7)两向量的夹角: a b ba ),( ab ),( 0( )
2、两非零向量的关系 (1)相等：大小相等且方向相同的向量. 记a=b(平行移动后能完全重合) (2)平行：方向相同或相反的两个非零向量.记ā∥ 两向量平行也称为共线 (3)垂直：夹角为元的两个非零向量.记ā1石 注意：由于零向量的方向可以看成任意的，故零 向量与任何向量都平行或垂直。 (4)共面：把若千个向量的起，点放到一起，若它们的 终点和公共起点在同一平面上，则称这些 向量共面
2、两非零向量的关系 ⑴相等：大小相等且方向相同的向量. a b ba 记 ⑵平行：方向相同或相反的两个非零向量. ba 记 // 注意：由于零向量的方向可以看成任意的，故零 向量与任何向量都平行或垂直。 ⑷共面：把若干个向量的起点放到一起，若它们的 终点和公共起点在同一平面上，则称这些 向量共面. （平行移动后能完全重合） 两向量平行也称为共线. ⑶垂直： ba 夹角为 记 的两个非零向量. 2
二、向量的线性运算 1、向量的加减法 (1)加法：a+b=c (平行四边形法则) d (平行四边形法则有时也称为三角形法则) 负向量 (2)减d-b=a+(-时 法： …学d+b c=d+(-b) a-b -a-b
⑵减 法： baba )( a b b b c ba bac )( ba ba a b 1、向量的加减法 ⑴ 加法： cba a b c （平行四边形法则） （平行四边形法则有时也称为三角形法则） 二、向量的线性运算 负向量
2、向量与数的乘法 (1)定义：向量a与实数1的乘积1d是一个新向量. i)2>0,2d与d同向，|2d=2| 2=0,a=0 ii地2<0,2d与d反向，|2i曰2ldl (2)单位向量的表示 向量的单位化 若a40,则有单位向量8- 因此a=lae
2、向量与数的乘法 i ,0) a 与 a 同向， aa |||| ii ,0) 0 a iii ,0) a 与 a 反向， aa |||||| ⑵单位向量的表示 a 0, , a a ea 则有单位向量 因此 . a eaa 若 向量的单位化 ⑴ 定义：向量 与实数 的乘积 a 是一个新向量. a
定理1.设a为非零向量，则a∥b的充分必要条件是 存在唯一的实数入，使b=1d 题以是世)设x-以型 河-40哥-0 故b=d. （“唯一 设又有b=ua,则(2-m)a=0 性”) 而d≠0，故几-4=0，即九=4
定理1. 设a 为非零向量,则 证:（“必要性”） （“唯一 性”） 则 a∥b 设又有b＝a , a 0)( a a b a a b 的充分必要条件是 存在唯一的实数，使 设 a∥b , b a 故 b a . b a . 而a 0, 故 0, 即 . ,取 则
三、空间直角坐标系 z轴 1、坐标系的构成 Oxyz坐标系 或oi,j；k yoz平面 →轴 o原点 xoy平面 x轴 xoz平面 过空间一定点O,作三条相互垂直的数轴
x轴 y轴 z轴 o原点 xoy平面 xoz平面 yoz平面 过空间一定点O，作三条相互垂直的数轴 1、坐标系的构成 三、空间直角坐标系 oxyz 坐标系 或 o i;;;j k
I VI VII 上x 三个坐标平面将空间分成八部分，每一部分叫做一个 卦限
三个坐标平面将空间分成八部分，每一部分叫做一个 卦限
2、向量的坐标表示 在空间直角坐标系下，任意向量下可用向径OM表示. 以i,,分别表示x,y,z轴上的单位向量，设，点M 的坐标为M(x,y,z),则 OM-ON+NM =04+0B+OC d OA=xi,OB=yj,OC=zk k r=xi+yj+zk=(x,y,2) A 此式称为向量下的坐标分解式， xi,yj,z称为向量开沿三个坐标轴方向的分向量
设点 M M x y z ,),,( 则 沿三个坐标轴方向的分向量. kzjyixr x y z),,( x o y z M N B C i j k A 以 ,, kji 分别表示 ,, zyx 轴上的单位向量 , 的坐标为 kzjyix r ,, 称为向量 r 任意向量 可用向径OM 表示. OM N NMO OCOBOA ixOA , jyOB , kzOC 2、向量的坐标表示 在空间直角坐标系下, r 此式称为向量 r 的坐标分解式,
四、利用坐标作向量的线性运算 1、向量的加减法与数乘 a=(ax,a,a,)=ai+ayj+ak; B=(bs,b,B:)=bi+byj+b.k; (1)加法d+b=(a.+b,a,+b,a2+b) =(a+b)i+(a,+b,)j+(a2+b)k; (2)减法d-b=(a-b,a,-b,a:-b) =(a.-b)i+(a,-b,)j+(a2-b)k (3)数乘a=(2ax,2a,a）=(a)i+(n,)j+(a,)k. 2、平行向量的坐标表示式 aWdb=a台(6，b,b)=a,4,0,) (等价→
),,( zyx aaaa ),,( bbbb zyx ⑴加法 ),,( zzyyxx babababa kbajbaiba ;)()()( xx yy zz 1、向量的加减法与数乘 kajaia ; zyx kbjbib ; zyx ),,( babababa zzyyxx kbajbaiba ;)()()( xx yy zz ⑵减法 ),,( aaaa zyx kajaia .)()()( x y z ⑶数乘 2、平行向量的坐标表示式 abba // ),,(),,( zyx aaabbb zyx z z y y x x a b a b a b 四、利用坐标作向量的线性运算 （等价）