数值分析 第一讲预备知识 数值计算中的误差 这目录 1.1数值分析引论 1.2 线性代数基础 1.3数值计算中的误差 https://math.ecnu.edu.cn/-jypan/Teaching/NA 潘建瑜@MATH.ECNU
数值分析 第一讲 预备知识 数值计算中的误差 1.1 数值分析引论 1.2 线性代数基础 1.3 数值计算中的误差 目录 https://math.ecnu.edu.cn/~jypan/Teaching/NA 潘建瑜 @MATH.ECNU
1-31 线性代数基础 1.3数值计算中的误差 1.3.1 绝对误差利和绝对误差限 1.3.2 相对误差和相对误差限 1.33 有效数字 1.3.4 误差估计的基本方法 1.3.5 问题的适定性和算法的稳定性 1.3.6 减小误差危害 https://math.ecnu.edu.cn/~jypan/Teaching/NA
1-3 线性代数基础 1.3 数值计算中的误差 1.3.1 绝对误差和绝对误差限 1.3.2 相对误差和相对误差限 1.3.3 有效数字 1.3.4 误差估计的基本方法 1.3.5 问题的适定性和算法的稳定性 1.3.6 减小误差危害 https://math.ecnu.edu.cn/~jypan/Teaching/NA
误差与误差来源 误差是人们用来描述数值计算中近似解的精确程度 ⊙模型误差：从实际问题中抽象出数学模型，往往是抓住主要因素，忽略次要因素，因此，数 学模型与实际问题之间总会存在一定的误差 ⊙数据误差：模型中往往包含各种数据或参量，这些数据一般都是通过测量和实验得到的， 也会存在一定的误差 ⊙截断误差：也称方法误差，是指对数学模型进行数值求解时产生的误差 ⊙舍人误差：由于计算机的机器字长有限，做算术运算时存在一定的精度限制，也会产生 误差 在数值分析中，我们总假定数学模型和给定的数据是准确的，主要研究截断误差和舍 入误差对计算结果的影响， http://math.ecnu.edu.cn/-jypan 3/39
误差与误差来源 误差是人们用来描述数值计算中近似解的精确程度. 模型误差: 从实际问题中抽象出数学模型, 往往是抓住主要因素, 忽略次要因素, 因此, 数 学模型与实际问题之间总会存在一定的误差. 数据误差: 模型中往往包含各种数据或参量, 这些数据一般都是通过测量和实验得到的, 也会存在一定的误差. 截断误差: 也称方法误差, 是指对数学模型进行数值求解时产生的误差. 舍入误差: 由于计算机的机器字长有限, 做算术运算时存在一定的精度限制, 也会产生 误差. ✍ 在数值分析中, 我们总假定数学模型和给定的数据是准确的, 主要研究截断误差和舍 入误差对计算结果的影响. http://math.ecnu.edu.cn/~jypan 3/39
例近似计算 厂erdr的值. 解.这里我们利用Taylor展开，即 x8 21 3+ 4: 1111111 =1- 3+2×5- 3×7+4×g S4+R4, 如果我们以S4作为定积分的近似值，则R4就是由此而产生的误差，这种误差就称为截断 误差，它是由我们的近似方法所造成的 在计算S4的值时，假定我们保留小数点后4位有效数字，则 S=1-1+11 3+10-42 ≈1.00000-0.33333+0.10000-0.023810≈0.7429 这就是我们最后得到的近似值.这里，在计算S4时所产生的误差就是舍人误差 http://math.ecnu.edu.cn/-jypan 4/39
例 近似计算 ˆ 1 0 e −x 2 dx 的值. 解. 这里我们利用 Taylor 展开, 即 ˆ 1 0 e −x 2 dx = ˆ 1 0 x − x 2 + x 4 2! − x 6 3! + x 8 4! − · · · dx = 1 − 1 3 + 1 2! × 1 5 − 1 3! × 1 7 + 1 4! × 1 9 − · · · ≜ S4 + R4, 如果我们以 S4 作为定积分的近似值, 则 R4 就是由此而产生的误差, 这种误差就称为截断 误差, 它是由我们的近似方法所造成的. 在计算 S4 的值时, 假定我们保留小数点后 4 位有效数字, 则 S4 = 1 − 1 3 + 1 10 − 1 42 ≈ 1.00000 − 0.33333 + 0.10000 − 0.023810 ≈ 0.7429 这就是我们最后得到的近似值. 这里, 在计算 S4 时所产生的误差就是舍入误差. □ http://math.ecnu.edu.cn/~jypan 4/39
1-3-1 绝对误差和绝对误差限 定义设元是x的近似值，则称 e元-x 为近似值元的绝对误差，简称误差
1-3-1 绝对误差和绝对误差限 定义 设 x˜ 是 x 的近似值, 则称 ϵ ≜ x˜ − x 为近似值 x˜ 的绝对误差, 简称误差. 若存在 ε > 0 使得 |ϵ| = |x˜ − x| ≤ ε, 则称 ε 为绝对误差限, 简称误差限. ✍ 在工程中, 通常用 x = ˜x ± ε 表示 x˜ 的误差限为 ε. http://math.ecnu.edu.cn/~jypan 5/39
1-3-1 绝对误差和绝对误差限 定义设元是x的近似值，则称 ee元-x 为近似值元的绝对误差，简称误差.若存在ε>0使得 le=l-xl≤e, 则称E为绝对误差限，简称误差限 http://nath.ecnu.edu.cn/-jypan 5/39
1-3-1 绝对误差和绝对误差限 定义 设 x˜ 是 x 的近似值, 则称 ϵ ≜ x˜ − x 为近似值 x˜ 的绝对误差, 简称误差. 若存在 ε > 0 使得 |ϵ| = |x˜ − x| ≤ ε, 则称 ε 为绝对误差限, 简称误差限. ✍ 在工程中, 通常用 x = ˜x ± ε 表示 x˜ 的误差限为 ε. http://math.ecnu.edu.cn/~jypan 5/39
1-3-1 绝对误差和绝对误差限 定义设元是x的近似值，则称 e元-x 为近似值元的绝对误差，简称误差.若存在ε>0使得 l=l庇-x≤e, 则称e为绝对误差限，简称误差限. 凸在工程中，通常用x=立士e表示的误差限为e. http://math.ecnu.edu.cn/-jypan 5/39
1-3-1 绝对误差和绝对误差限 定义 设 x˜ 是 x 的近似值, 则称 ϵ ≜ x˜ − x 为近似值 x˜ 的绝对误差, 简称误差. 若存在 ε > 0 使得 |ϵ| = |x˜ − x| ≤ ε, 则称 ε 为绝对误差限, 简称误差限. ✍ 在工程中, 通常用 x = ˜x ± ε 表示 x˜ 的误差限为 ε. http://math.ecnu.edu.cn/~jypan 5/39
关于误差和误差限的几点说明 ⑦绝对误差不是误差的绝对值，可能是正的，也可能是负的： ⊙由于精确值通常是不知道的，因此绝对误差一般也是不可知的： ⊙在做误差估计时，我们所求的通常是误差限： ⊙误差限不唯一，越小越好，一般是指所能找到的最小上界： 近似值的精确程度不能仅仅看绝对误差，还要看相对误差 http://nath.ecnu.edu.cn/-jypan 6/39
关于误差和误差限的几点说明 绝对误差不是误差的绝对值, 可能是正的, 也可能是负的; 由于精确值通常是不知道的, 因此绝对误差一般也是不可知的; 在做误差估计时, 我们所求的通常是误差限; 误差限不唯一, 越小越好, 一般是指所能找到的最小上界; 近似值的精确程度不能仅仅看绝对误差, 还要看相对误差. http://math.ecnu.edu.cn/~jypan 6/39
1-3-2 相对误差和相对误差限 定义设元是x的近似值，称 ,-x 或6，交-x 为近似值元的相对误差
1-3-2 相对误差和相对误差限 定义 设 x˜ 是 x 的近似值, 称 ϵr ≜ x˜ − x x 或 ϵr ≜ x˜ − x x˜ 为近似值 x˜ 的 相对误差. 若存在 εr > 0 使得 |ϵr| ≤ εr , 则称 εr 为相对误差限. 近似值的精确程度通常取决于相对误差的大小; 实际计算中我们所能得到的通常是相对误差限 (所能找到的最小上界); 绝对误差有量纲, 但相对误差没有. http://math.ecnu.edu.cn/~jypan 7/39
13-2 相对误差和相对误差限 定义设元是x的近似值，称 6,交-x 或6，交-℃ 为近似值元的相对误差.若存在e,>0使得 lerl≤er 则称e,为相对误差限. http://nath.ecnu.edu.cn/-jypan 7/39
1-3-2 相对误差和相对误差限 定义 设 x˜ 是 x 的近似值, 称 ϵr ≜ x˜ − x x 或 ϵr ≜ x˜ − x x˜ 为近似值 x˜ 的 相对误差. 若存在 εr > 0 使得 |ϵr| ≤ εr , 则称 εr 为相对误差限. 近似值的精确程度通常取决于相对误差的大小; 实际计算中我们所能得到的通常是相对误差限 (所能找到的最小上界); 绝对误差有量纲, 但相对误差没有. http://math.ecnu.edu.cn/~jypan 7/39