·58· 北京科技大学学报 1999年第1期 2uyo R=[x+△：，x+△]={x+△xyeR,}=Φ-'(R)(10) SI= 14+△ -min (2) 式中，x为可控因素的名义值或均值，这就是稳健 “,为，y的统计均值.例如，若|△|=|4，|= 优化设计的基本问题. |A,则当4-y=A时，SI=1,当4，= 2.2随机参数 y,时，SI=0,因此Se(0,1).另外，亦可采用期 设带噪声，的n个设计变量为： 望的损失函数计算： x=x+ti=1,2,…,n (11) 其中，x,为名义值或均值.考虑到各设计变量的相 0=点mE,-%,月= 互独立性，噪声的均值、方差和协方差分别为： 含，%wP+hmim E{}=0;Var{年（⊙x)2:C0V(G,4)=0j+i(12) (3) 其中：ò，为离差系数1为实际偏差，<△x 第3个质量设计准则是约束可行性准则，就 若已知随机分布参数为a,B和y,的不可控因 是说在产品设计中除对一些主要性能指标要求 素z,则其现时值可按随机抽样产生，即： 达到规定的值外，还必须满足对其他方面的一些 z=Φ(apY)e(2,F,P)i=1,2,…,k(13) 限制（如制造和原材料供应条件、使用条件等）才 这样，产品的输出技术特性y,=,)和约 能保证产品正常发挥功能，而这些限制在设计中 束函数g(x,)均为随机向量x和z的函数，亦为随 可以用一些不等式约束gx,z)≤0来表示.由于 机变量，但不是设计变量， 它是一类随机性约束，因而当x和z发生变差△x 2.3优化设计解的稳健性 和△z时，随机约束亦发生变差△g,要求此时的设 设计解的稳健性一般包含两层意义：一是产 计乃能满足： 品的主要技术特性对干扰因素的不灵敏性，即当 E{g(x,2}+△g≤0j=1,2,…,m(4) x,z发生变差时，其输出技术特性的实际值对目 条件，其中约束变差△g可按最坏情况近似计算： 标值的偏差最小，这可以通过质量设计的第2准 m=522△x+2a2△z,j=1,2,…,m(5) 则来实现，即： SI=I 2l4万- ◆min 当已知gx,z)为正态或近似正态分布时，亦 4+△ (14) 可用随机约束的均值4。与标准差0，来计算，即 二是最优点可行的稳健性，即x,z当发生变差时， 4g+kog≤0j=1,2,…,m (6) 其最优点乃在可行域子。内，这可以通过约束条 其中 "g=gx,4) (7) 件来保证，即： Py%,-lAy≤0}≥a x+ (15) 例如，当k=3时，约束满足的概率为99.865. lP(∩g,z）≤0}≥a i- 对于一般情况，当约束随机相关和非正态分布 如图2所示，a∈(0,1)值愈大，最优解的可行稳健 时，则可用下式来计算： 性愈好.特别是若几个约束为正相关，则它对可 P∩，z)≤0}≥a (9) 行域的影响将是一致的，即同时缩小（或扩大） 可行域；若负相关，则影响相反，一个扩大可行 其中，a,为预先规定的应满足的概率值，a∈(0,1) 域，另一个为缩小可行域 值愈大，可行稳健性愈好. 2.4稳健优化设计模型 2稳健优化设计 稳健优化设计数学模型的一般表达式： SIc,△x,△) 2.1基本问题 定义这样一个“反求”问题，即在已知输出空 min .AA: 间R,=y。+△，y。+△，]下，需找出最合适的 s.t. x+tE于。 (16 输人空间R,使产品的输出技术特性既限定在给 △1sAr≤△ 定的输出空间内又与目标值的差异为最小，即： x,z∈(2，子，P)eR+k北 京 科 技 大 学 学 报 1 9 9 9年 第 l期 2 群1 , j 一 , 。 , ! }乙另} + }△灵 一~ 今11 l l n q 川n 一 “ yj 为必 的 统计均 值 · 例 如 , 若 }乙井 }代刀 , 则 当 }气 , 一 y0 , } 一 }乙 y , }时 , sI 称 , 时 , 5 1 = 0 , 因 此 5 1` ( 0 , l ) · 另 外 望 的损 失 函 数 1[] 计算 : ( 2 ) = }△舟 = l , 当产y , = xR 一 x[ + 布 , x + 戊卜 {x + △xl y e 凡 卜巾 一 `帆 ) ( 1 0) 式 中 , x 为 可控 因 素的名 义值或均 值 . 这 就是稳健 优化 设计 的基 本 问题 . .2 2 随机参数 设带噪声 气的 。 个设 计变量 为: x ` = 毛 + 毛 , 2 , … , n ( 1 `少 L Q = 艺 砚E {饥 一 为 , ) , } - q ,菩叱 [伽 ·厂 y0 , ) ’ + 鱿 ]一 m` n ( 3 ) 第 3 个质 量设 计准则 是 约 束可 行性 准则 , 就 是 说 在 产品 设计 中除 对一 些 主要 性 能指 标要 求 达 到规定 的值外 , 还必须 满足 对其他方 面 的一 些 限 制 (如 制造 和 原 材料 供应条件 、 使用 条件 等 )才 能 保证产 品正 常发 挥功 能 , 而 这 些 限制 在设 计中 可 以 用 一 些 不 等 式 约束 玲 , )z ` 0 来 表示 . 由于 它 是 一类随机性约 束 , 因而 当 x 和 z 发生 变差 △x 和 △: 时 , 随 机 约束亦 发生 变差 △g , 要 求此 时 的设 计乃 能满 足: E {爵(x , 习} 十 △局 ` o j = 1, 2, ` ’, m (4 ) 条 件 , 其 中约束 变差△ gj 可按 最坏 情况 近似 计算 : 二 刁g 土 己g ; △g 、 = 乞 }万` △x 月十 艺 }屯= △z 、 } j = l , 么 一 m ( 5) 一 c,j 、梦 l击 . 一 il ,分 , ’ 击 一 ` , , 一 ’ 一 当 已 知 g ( x , )z 为正 态 或 近 似 正态 分 布 时 , 亦 可用 随机 约束的均 廊 , 与标 准差几来计 算 , 即 其 中 , 气 为名义 值或均值 . 考虑 到各设 计变量 的相 互 独立 性 , 噪声 的均值 、 方差和 协方 差分别 为 : E {it } 一0 ; V ar {=it 必励 , ; C O V (it , tj ) 一 o j ` i ( 12 ) 其 中 : d ` 为离差 系数 ; 气为实际偏 差 , lt, }引△ x,I · 若已 知 随机分布参数为 a i 、 八和沁的 不可 控 因 素 i,z 则其现 时值可按 随机抽样产生 , 即: iz = 巾a( i, 八 , 幼创口 , 了 , 尸 ) , i = 1 , 2 , … , k (1 3) 这 样 , 产 品 的输 出技 术特 性 iy = f(x , )z 和 约 束函数拭(x , z) 均 为 随机 向量 二 和 二 的 函数 , 亦 为随 机变 量 , 但 不是设 计变 量 . .2 3 优化设计解的稳健性 设计解 的稳 健性 一 般包 含 两层 意义 : 一 是 产 品 的主 要 技术 特性 对 干 扰 因素 的不 灵敏 性 , 即 当 x , z 发 生 变 差 时 , 其 输 出 技 术特 性 的 实 际值 对 目 标值 的偏 差 最小 , 这 可 以 通过 质 量设 计 的 第 2 准 则来 实现 , 即: 5 1 = 县 2 1群, , 一 为 , l }△分} +l △别 一今 11 l l n ( 14 ) 、尹产. 6 了 7 、止.了t 、 产目 + 左口 . 留 其 中 ` o j = 1 , 2 , ’ 二 , m 产` = 玲 , 群)z 二是 最优 点 可行 的稳健性 , 即 x , z 当发 生变差 时 , 其 最 优 点 乃 在 可 行 域气 。 内 , 这 可 以 通 过 约 束条 件来保证 , 即: ù 、少. 勺 j l 了、. 且. r J. q 尸 t口 : }若一 y0 , } 一 !乙划 ` “ } ` “ 。 1 用 p t口 ,易(x , z) ` ” } ` “ 。 2 碑` + l一X 廿 se ó 气 一 二 了刁g 丫 _ 生 / 己g ` 丫 _ 吃 一杏 1气不) :ax + , 冬气不) :az “ , 例如 , 当 k = 3 时 , 约 束满 足 的概率 为 9 .9 8 65 . 对于 一 般情 况 , 当约 束 随 机 相 关 和 非 正 态 分 布 时 , 则 可用 下式来计算 : p { 门g (x , z ) 5 0 } 全 a 。 其 中 , a0 j = l 为预 先规定 的应 满 足 的概 率 值 (9 ) , a 。 6 (0 , l ) ó l rJ. 月 十 k 值 愈大 , 可 行稳健性 愈好 . 2 稳健优化设计 .2 1 基本 问题 定 义这 样 一 个 “ 反求 ” 问题 , 即在 已知 输 出 空 间 凡 = 饥 + 乙丈 , y0 + 乙+y ] 下 , 需 找 出 最合 适 的 输人 空 间 尺 , 使产品的 输出技术特 性 既 限定 在 给 定 的输 出空间 内又 与 目标 值的差 异为最 小 , 即: 如 图 2 所示 , a 。创。 , l) 值愈大 , 最优解 的可行稳健 性 愈 好 . 特 别是 若 几 个约 束为 正 相 关 , 则 它 对可 行 域气的影 响将 是 一致 的 , 即同时缩 小 (或扩 大 ) 可 行域 ; 若 负相 关 , 则 影 响 相 反 , 一 个 扩 大 可 行 域 , 另 一个 为缩小 可行域 . .2 4 稳健优化设计模型 稳 健优 化设 计数学 模型 的 一般表 达 式 : sI (x , 乙-x , △+x 】n m 王 , 乙厂 , 。 广 工 十 花气 。 乙全` 酝 5 乙笠 x , z ` (口 , 了 , )P ` R ( 16 )