第二章多元函数微分学 例3证明球面S1:x2+y2+2=R2与锥面S2:x2+y2=a22正交 Orthogonal 解所谓两曲面正交是指它们在交点处的法向量互相垂直 记F(x,y,z)=x2+y2+x2-R2,G(x,y,z)=x2+y2-a22 曲面S1上任一点M(x,y,)处的法向量是 grad/F(x,y,)=(2x2y2)或者v1=(xy) 曲面S2上任一点M(x,y)处的法向量为1;=(x,y-a2=) 设点M(x,y,)是两曲面的公共点,则在该点有 vv2=(x,y,)-(x,y-a2)=x2+y2-a2=2=0 即在公共点处两曲面的法向量相互垂直,因此两曲面正交. 从切平面的定义我们知道,曲面S上过M6(x0,y,z0)任意一条曲 线在M0处的切线都在S在M0处的切平面上.反过来我们也可以证明 (见习题),切平面上任意一条过M0(x0,y0,z)的直线,都可以在曲面 S上找到一条过M0(x0,y0,=0)的曲线,使后者在M0(x0,y0,z0)处的 切线即为前者,于是我们能够得到这样的结论:曲面S在点 M0(x,y0,=0)处的切平面z恰好由曲面上经过点M0(x0,y0,=0)的所 有曲线的切线组成 (3)空间曲线的交面式: 条空间曲线L,可以看作通过它的两个曲面S与S的交线,若 设S1的方程为F(x,y,)=0,S2的方程为G(x,y,)=0,则L的方程 是 IG(x, 3==0 如果在曲线L上的点M(x0,y,z0)处两个梯度向量 gradF(Mo), grad(Mo) 不共线,则向量 v=gaF(M0)× grad(M) 是L在点M0(x,y,z0)处的一个切向量 例4求曲线 x2+y2+=2-6=0 y2=0 在点Mo(,2)处的切线方程 解取F(x,y,z)=x2+y2+2-6,G(x,y,z)=z-x2-y2,则 gradF(Mo)=(2,2,4), grad(M0)=(-2,-2,1) 所以曲线在M0(1,1,2)处的切向量为 v=gradF(MoX gradG(Mo=(10-10,0) x=1+10t 于是所求的切线方程为{y=1-10t 第五节微分学在几何上的应用及多元函数的 Taylor公式第二章 多元函数微分学 第五节 微分学在几何上的应用及多元函数的 Taylor 公式 例 3 证明球面 S x y z R 2 2 2 2 1 : + + = 与锥面 S x y a z 2 2 2 2 2 : + = 正交 (orthogonal). 解 所谓两曲面正交是指它们在交点处的法向量互相垂直. 记 F x y z x y z R G x y z x y a z 2 2 2 2 2 2 2 2 ( , , ) = + + − , ( , , ) = + − 曲面 S1 上任一点 M(x, y,z) 处的法向量是 T gradF(x, y,z) = (2x,2y,2z) 或者 T v (x, y,z) 1 =  曲面 S2 上任一点 M(x, y,z) 处的法向量为 T v (x, y, a z) 2 2 = − . 设点 M(x, y,z) 是两曲面的公共点，则在该点有 ( , , ) ( , , ) 0 2 2 2 2 2 1 2  = x y z  x y − a z = x + y − a z = T v v   即在公共点处两曲面的法向量相互垂直，因此两曲面正交. 从切平面的定义我们知道，曲面 S 上过 M0 (x0 y0 z0 , , ) 任意一条曲 线在 M 0 处的切线都在 S 在 M 0 处的切平面上.反过来，我们也可以证明 （见习题），切平面上任意一条过 ( , , ) M0 x0 y0 z0 的直线，都可以在曲面 S 上找到一条过 ( , , ) M0 x0 y0 z0 的曲线，使后者在 ( , , ) M0 x0 y0 z0 处的 切线即为前者 . 于是我们能够得到这样的结论：曲面 S 在 点 ( , , ) M0 x0 y0 z0 处的切平面  恰好由曲面上经过点 ( , , ) M0 x0 y0 z0 的所 有曲线的切线组成. (3) 空间曲线的交面式： 一条空间曲线 L ，可以看作通过它的两个曲面 1 S 与 2 S 的交线，若 设 1 S 的方程为 F(x, y,z) = 0， 2 S 的方程为 G(x, y,z) = 0 ，则 L 的方程 是    = = ( , , ) 0 ( , , ) 0 G x y z F x y z 如果在曲线 L 上的点 ( , , ) M0 x0 y0 z0 处两个梯度向量 ( ), ( ) gradF M 0 gradG M 0 不共线，则向量 ( ) (M ) gradF M0 gradG 0 v =   是 L 在点 ( , , ) M0 x0 y0 z0 处的一个切向量. 例 4 求曲线    − − = + + − = 0 6 0 2 2 2 2 2 z x y x y z 在点 (1,1,2) M 0 处的切线方程. 解 取 ( , , ) 6 2 2 2 F x y z = x + y + z − ，G x y z z x y 2 2 ( , , ) = − − ，则 ( ) (2,2,4), ( ) ( 2, 2,1) gradF M 0 = gradG M 0 = − − 所以曲线在 M0 (1,1,2) 处的切向量为 ( ) ( ) (10, 10,0) 0 0 v = gradF M  gradG M = − 于是所求的切线方程为      = = − = + 2 1 10 1 10 z y t x t