第二章多元函数微分学 2-5-2多元函数的 Taylor公式 我们知道,一元函数的 Taylor公式是研究函数f(x)在一点x0 处性态的有力工具 如果函数∫(x)在点x0有n阶导数,则它在点x0的某邻域内有带 皮亚诺型余项的 Taylor公式: f(x)=f(x0)+f"(x0x-x0)+f"(x0x-x0)2+.+ f"(x0)(x-x0)"+o[(x-x0)"] 如果函数f(x)在某个包含点x0的区间(a,b)内处处有n+1阶 导数,则对于任意的x∈(a,b),有 f(x)=f(x0)+f"(x0x-x0)+f"(x0x-x0)2+…+-f"(x0)x-x0)” f"(x0+0(x-x0)x-x0)m(0<0<1) 这就是带有拉格朗日型余项的n阶 Taylor公式 对于多元函数来说,我们也有类似的结论,这就是多元函数的泰 勒公式.下面我们先讨论二元函数的 Taylor公式 二元函数的 Taylor公式 利用一元化的思想,将二元函数展公式的问题转化为一元问题 设有z=f(x,y),点M(x0,y)及点M(x+Axy+4)=M(x,y) 今研究函数在线段M。M上的增量变化:因为线段MM可以表示为 0≤t≤l} y/ly=yo+r(x-xo) 这样函数在线段MM上的值是 Φ():=f(x0+1Ax,y+t△y)(0≤t≤1), )=f(xn,y3),Φ()=f(xo+△x,yo+△y)=f( +Ay)=4()=∑“(0) d0)=可(x,y)A可(x0,y) Ay: =(Ar-+Ay-)f(xo, yo) 第五节微分学在几何上的应用及多元函数的 Taylor公式第二章 多元函数微分学 第五节 微分学在几何上的应用及多元函数的 Taylor 公式 2-5-2 多元函数的 Taylor 公式 我们知道，一元函数的 Taylor 公式.是研究函数 f (x) 在一点 0 x 处性态的有力工具。 如果函数 f (x) 在点 0 x 有 n 阶导数,则它在点 0 x 的某邻域内有带 皮亚诺型余项的 Taylor 公式: = +  − +  ( )( − ) +... + 2! 1 ( ) ( ) ( )( ) 2 0 0 0 0 0 f x f x f x x x f x x x ( )( ) [( ) ] ! 1 0 0 0 (n) n n f x x x o x x n + − + − 如果函数 f (x) 在某个包含点 0 x 的区间 (a,b) 内处处有 n +1 阶 导数,则对于任意的 x  (a,b) ,有 n n f x x x n f x f x f x x x f x x x ( )( ) ! 1 ( )( ) ... 2! 1 ( ) ( ) ( )( ) 0 0 2 ( ) = 0 +  0 − 0 +  0 − 0 + + − ( ( ))( ) (0 1) ( 1)! 1 1 0 0 0 ( 1) + − −   + + + +   n n f x x x x x n 这就是带有拉格朗日型余项的 n 阶 Taylor 公式. 对于多元函数来说，我们也有类似的结论，这就是多元函数的泰 勒公式.下面我们先讨论二元函数的 Taylor 公式. ⚫ 二元函数的 Taylor 公式 利用一元化的思想，将二元函数展公式的问题转化为一元问题： 设有 z = f (x, y), 点 ( ) 0 0 0 M x , y 及点 M(x x, y y) M(x, y) 0 +  0 +  = , 今研究函数在线段 M 0 M 上的增量变化：因为线段 M 0 M 可以表示为:              = + − = + −         , 0 1} ( ) ( ) 0 0 0 0 t y y t x x x x t x x y x , 这样 函数在线段 M 0 M 上的值 是 ( ): ( , ) (0 1)  t = f x0 + t x y0 + t y  t  , 且 ( ) ( ) 0 0  0 = f x , y , (1) f (x x, y y) f (x, y)  = 0 +  0 +  = , ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( 1)! 0 ! 1 , 1 1 0 0 0 +  +  +  =  =  + + = k n f x x y y n n k k  . ( ) : ( ) ( , ) ( , ) ( , ) 0 0 0 0 0 0 0 f x y y y x y x y f x y x x f x y          =  +  =  + 