第二章多元函数微分学 af(o, yo2Ax (x0,y) Ax△v+ (x0,y0) aray ay aa)f(xo,yo =(X一+ (o)=(△x2+y2)yfxn,y) f(x,y)=f(xo+Ax,yo+Ay)=o( f(xo, yo)+ Ax+4,、O)n+1 (n+1 ar+Aya/(ro+0Ax, yo+eAy 定理设二元函数∫在点M(x0,y)的某个邻域U中有1至n+1 阶的连续导数,M(x,y)是U中一点,则有 o, yo Ax+△v )f(x+a,+y) (0<6<1) 此式称为二元函数f(x,y)在M(x0,y)处的带有拉格朗日型余项的 n阶 Taylor公式 当n=0时, Taylor变为 f(x,y)-f(x0,y0) o(x+(x-x,y+(0-y0)(x-x0 (x,y) y-y0 这个结论类似于一元函数的微分中值定理 当n=1时, Taylor变为 f(x,y)=f(x9(x32)(4x),1 +(Ax△y)H(M a(x, y)(4y/2 其中,M=(x+OAx,y+04y), 第五节微分学在几何上的应用及多元函数的 Taylor公式第二章 多元函数微分学 第五节 微分学在几何上的应用及多元函数的 Taylor 公式 ( ) : ( ) ( , ) ( , ) ( , ) 2 ( , ) 0 0 0 2 2 2 0 0 2 0 0 2 2 2 0 0 2 f x y y y x x y y f x y x y x y f x y x x f x y           =  +   +   +    = ( ) (0) ( ) ( , ) 0 0 f x y y y x x k k      =  +  ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( 1)! 0 ! 1 , , 1 1 0 0 0 +  = +  +  =  =  + + = k n f x y f x x y y n n k k  = ( )+           +      = n k k f x y y y x x 0 k 0 0 , ! 1 + ( ) f (x x y y) y y x x n n +  +            +     + + 0  0  1 , 1! 1 定理 设二元函数 f 在点 ( , ) 0 0 0 M x y 的某个邻域 U 中有 1 至 n +1 阶的连续导数， M (x, y) 是 U 中一点，则有 ( ) ( )+           +    =   = n k k f x y y y x x k f x y 0 0 0 , ! 1 , + ( ) f (x x y y) y y x x n n +  +            +     + + 0  0  1 , 1! 1 (0  1). 此式称为二元函数 f (x, y) 在 ( , ) 0 0 0 M x y 处的带有拉格朗日型余项的 n 阶 Taylor 公式. 当 n = 0 时，Taylor 变为 ( )         − −   + − + − − = 0 0 0 0 0 0 0 0 , ( ( ), ( )) ( , ) ( , ) y y x x x y f x x x y y y f x y f x y   这个结论类似于一元函数的微分中值定理. 当 n =1 时，Taylor 变为 ( ) ( ) ( )           +               = + y x x y H M y x x y f x y f x y f x y  2 1 , ( , ) ( , ) ( , ) 0 0 0 0 其中， M = (x + x y + y)  0 0 ,