矩形微通道热沉内单相稳态层流流体的流动与传热分析 857 bdks -rbdx+4(bd)ds p*bd:-pbds+(p-bdz)ds=0, (1) 式(1)经化简得 -出=出 (2) 由Newton流体的粘性定律，假设，=-u(du/d),代入式(2)，有 u业=出 (3) 将式(3)积分两次，分别得到 出=+G (4) u)=()号+G+G. 将边界条件u(a2,x)=0,(au/:)10=0代入式(4)和(5)，得 c=0,6=-(受). 将所得积分常数代回式(5)，得 e--（], (6) 式(6)为矩形微通道内充分发展流体的速度表达式.式(6)可以用来求解某一截面流体的平均 速度.流体的质量流率为m=pu.A.,也可写成 i=[pu(z,)dA. 对于矩形截面微通道，d4。=bd,因此 (7) 但=引-（1 (8) “ 图3为速度比值在矩形微通道横截面：方向的变化规律，从图3可以看出在矩形微通道 中心速度达到最大值，最大速度是平均速度的1.5倍，而在壁面处为0，图 2 充分发展层流微元体的力平衡 Fig． 2 Force balance on a differential element for fully developed laminar flow τ·bdx － τbdx + d dz [ ] ( τ·bdx) dz + p·bdz － p·bdz + d dx [ ] ( p·bdz) dx = 0， ( 1) 式( 1) 经化简得 － dτ dz = dp dx ． ( 2) 由 Newton 流体的粘性定律，假设 τ = － μ( du /dz) ，代入式( 2) ，有 μ d2 u dz 2 = dp dx ． ( 3) 将式( 3) 积分两次，分别得到 du dz = 1 μ dp d( ) x z + C1， ( 4) u( z，x) = 1 μ dp d( ) x z 2 2 + C1 z + C2 ． ( 5) 将边界条件 u( a /2，x) = 0，( u /z) | z = 0 = 0 代入式( 4) 和( 5) ，得 C1 = 0，C2 = － 1 2μ dp d( ) x a ( ) 2 2 ． 将所得积分常数代回式( 5) ，得 u( z，x) = － 1 2μ dp d( ) x a ( ) 2 2 1 － z a / ( ) 2 [ ] 2 ， ( 6) 式( 6) 为矩形微通道内充分发展流体的速度表达式． 式( 6) 可以用来求解某一截面流体的平均 速度． 流体的质量流率为 m = ρum Ac，也可写成 m = ∫ A c ρu( z，x) dAc ． 对于矩形截面微通道，dAc = bdz，因此 um = ∫ A c ρu( z，x) dAc ρAc = 1 a ∫ a/2 －a/2 u( z，x) dz = － a2 12μ dp dx ． ( 7) 由式( 6) 和式( 7) 可以得到 u( z) um = 3 2 1 － z a / ( ) 2 [ ] 2 ． ( 8) 图 3 为速度比值在矩形微通道横截面 z 方向的变化规律． 从图 3 可以看出在矩形微通道 中心速度达到最大值，最大速度是平均速度的 1． 5 倍，而在壁面处为 0 ． 矩形微通道热沉内单相稳态层流流体的流动与传热分析 857