A6=a6+a162++ani6。 Ae2=a26+a262+.+an26n AEn=a6+an52+.+anm 多 A6,62,6)=(A,A6,A5)=(6,6)A (5) 其中A=(a,)m,则称矩阵A为A在基6，8n下的矩阵 例恒等变换E在V的任一组基下矩阵是单位阵E,零变换0在V的任一组基下的矩阵是零矩阵 数乘变换在任一组基下的矩阵是数量矩阵kE。 定理2.设8，5。是V的一组基在这组基下，每个线性变换按公式 (⑤)对应一个矩阵这个对应具有下列性质： 1)线性变换的和对应矩阵的和： 2)线性变换的乘积对应矩阵的乘积： 3)线性变换的数量乘积对应矩阵的数量乘积 4)可逆线性变换对应可逆矩阵且逆变换对应逆矩阵 证明A,B是P的两个线性变换它们在基6，6n下的矩阵分别为A,B 1）由(A+B(8,6)=A8,8n)+B(8,.6n） =(6,En)A+(6,n)B=(6,EnA+B) 知结论1)成立 2)类似地，由 (AB)=A(B()=A(()B) =(A(G,6》B=(G,6)AB 知结论2)成立 3)由 4)(k4(G,En)=k(A8,.En》=k(e,8n)A)=(G,Enk) 知结论3)成立 5)设对应矩阵c.则由 AA=AA=E 及(2)知，必有 AC=CA=E 于是A可逆，且C= 定理3.设线性变换A在基8，6n下的矩阵是A,5在基6，6，下的坐标为(：，x),则A51 11 1 21 2 1 2 12 1 22 2 2 1 1 2 2 n n n n n n n nn n A a a a A a a a A a a a              = + +  +   = + +  +   = + +  + 即 1 2 1 2 1 ( , , , ) ( , , , ) ( , , ) A A A A A n n n          =  =  (5) 其中 ( ) A a = ij nn ，则称矩阵 A 为 A 在基 1 , , n    下的矩阵 例.恒等变换 E 在 V 的任一组基下矩阵是单位阵 E .零变换 0 在 V 的任一组基下的矩阵是零矩阵. 数乘变换在任一组基下的矩阵是数量矩阵 kE . 定理 2. 设 1 , , n    是 V 的一组基.在这组基下，每个线性变换按公式 (5)对应一个矩阵.这个对应具有下列性质： 1) 线性变换的和对应矩阵的和； 2) 线性变换的乘积对应矩阵的乘积； 3) 线性变换的数量乘积对应矩阵的数量乘积； 4) 可逆线性变换对应可逆矩阵且逆变换对应逆矩阵. 证明 A B, 是 V 的两个线性变换.它们在基 1 , , n    下的矩阵分别为 A B, . 1) 由 1 1 1 ( )( , , ) ( , , ) ( , , ) A B A B n n n +  =  +        1 1 1 ( , , ) ( , , ) ( , , )( ) =  +  =  +       n n n A B A B 知结论 1)成立. 2) 类似地，由 1 1 1 ( )( , , ) ( ( , , )) (( , , ) ) AB A B A B n n n        =  =  1 1 ( ( , , )) ( , , ) A B AB n n =  =      知结论 2)成立. 3) 由 4) 1 1 1 1 ( )( , , ) ( ( , , )) (( , , ) ) ( , , )( ) n n n n kA k A k A kA          =  =  =  知结论 3)成立. 5) 设 1 A − 对应矩阵 c .则由 1 1 AA A A E − − = = 及(2)知，必有 AC CA E = = 于是 A 可逆，且 1 C A . − = 定理 3.设线性变换 A 在基 1 , , n    下的矩阵是 A ， 在基 1 , , n    下的坐标为 1 ( , , ) n x x  ，则 A