在基6,6下的坐标为 =4 证明由假设 5=(6,6,x,xy于是 =(A6,==)A(). 另一方面， A5=(6,6y,y 因为6，5n线性无关，所以 0,.yy=4(x,x》 定理4设V中线性变换A在两组基6,6n与，nn下的矩阵分别为A与B,从前一组基 到后一组基的过渡矩阵为X则 B=X-AX 证明因为 (A6,AEn)=(6,.,6n)A(A,4n)=(6,6n)B,(,1)=(6,6)X, 于是 (m,4机)=4(6,6)X灯=[A6,6X =(4G,AE,)X=(G,E)AX =(,n)X-AX. 所以B=X-AX 定义3.设A,B∈P",若有n级可逆阵X∈Pm,使得B=X-AK则称A相似于B.记为A?B 矩阵的相似关系具有下列性质。 1.反身性：A~A 2.对称性：A~B→B~A 3.传递性：A~B,B~C一A~C 证明1.由A=EAE即得 在基 1 , , n    下的坐标为 1 1 2 2 n n y x y x A y x             =             证明 由假设 1 1 ( , , )( , , ) n n    =   x x  于是 1 1 1 1 ( , , )( , , ) ( , , ) ( , , ) . A A A x x A x x n n n n       =   = =     另一方面， 1 1 ( , , )( , , ) , A y y n n    =    因为 1 , , n    线性无关，所以 1 1 ( , , ) ( , , ) n n y y A x x  =    定理 4 设 V 中线性变换 A 在两组基 1 , , n    与 1 , ,  n  下的矩阵分别为 A 与 B ，从前一组基 到后一组基的过渡矩阵为 X .则 1 B X AX. − = 证明 因为 1 1 1 1 1 1 ( , , ) ( , , ) ,( , , ) ( , , ) ,( , , ) ( , , ) , A A A A A B X n n n n n n              =   =   =  于是 1 1 1 ( , , ) [( , , ) ] [ ( , , )] A A A X A X       n n n  =  =  1 1 ( , , ) ( , , ) A A X AX n n =  =      1 1 ( , , ) .  n X AX − =  所以 1 B X AX. − = 定义 3.设 , , n n A B P   若有 n 级可逆阵 , n n X P   使得 1 B X AX. − = 则称 A 相似于 B .记为 A B? 矩阵的相似关系具有下列性质. 1.反身性： A A ~ 2.对称性： A B B A ~ ~  3. 传递性： A B B C A C ~ , ~ ~ .  证明 1. 由 1 A E AE − = 即得