5=立46=立Be=时 由5的任意性知必有A=B. 结论1表明，一个线性变换被它在一组基上的作用所决定， 2.设6，6n是V的一组基对于任意一组向量么，,一定有一个线性变换A使 As,=gi=l,2,.,n 证明对VEeV.设 5-26 (3) 定义 5=a (4 则显然A是V的变换任取，则B=∑b6,7=立c6B+7=∑6+Ge,kB=∑仙e 由4)立得 4B+)=26+Ga=2a+2e4=A0+4y AkB)=∑C,=k∑ba,=kAB 因此，A是线性变换又因为 6,=06,+.+051+l6,+061+.+08n,i=1,2,.n Ae=0a+.+0a1+la,+0a1+.+0an=a,i=1,2,n 所以 综上所述，我们有 定理1.设8，6n是V的一组基.%，.，Cn是V中任意n个向量，则存在唯一的线性变换A使 A6,=a,i=1,2.n 定义2.设6，6n是n维线性空间'的一组基，A是V中的一个线性变换若有 1 1 n n i i i i i i A x A x B B     = = ===   由  的任意性知必有 A B= . 结论 1 表明，一个线性变换被它在一组基上的作用所决定， 2. 设 1 , , n    是 V 的一组基.对于任意一组向量 1 , , ,  n  一定有一个线性变换 A 使 1,2, , A i n i i  = =  (2) 证明 对   V. 设 1 n i i i   x = =  (3) 定义 1 n i i i A x   = =  (4) 则显然 A 是 V 的变换.任取，则 1 , n i i i   b = =  1 n i i i   c = =  1 ( ) , n i i i i    b c = + = +  1 . n i i i k kb   = =  由(4)立得 1 1 1 ( ) ( ) n n n i i i i i i i i i i A b c b c A A        = = = + = + = + = +    1 1 ( ) n n i i i i i i A k kb k b kA     = = = = =   因此， A 是线性变换.又因为 1 1 1 0 0 1 0 0 , 1,2, , , i i i i n       i n = + + + + + + =  − + 1 1 1 0 0 1 0 0 , 1,2, , , A i n i i i i n i        = + + + + + + = =  − + 所以 综上所述，我们有 定理 1. 设 1 , , n    是 V 的一组基. 1 , ,  n  是 V 中任意 n 个向量，则存在唯一的线性变换 A 使 1,2, , A i n i i  = =  定义 2. 设 1 , , n    是 n 维线性空间 V 的一组基， A 是 V 中的一个线性变换.若有