解 e sin vy+e cost 1 =e"(sin v+cos v), az a- au az av e sin vx+e cosv.1 =e (sin v+CoSv) 例2设z=n+snt,而u=e,v=cost,求全导数 解=2.血+2命 ve-usint +cost e cost-e sin t+ cos t e(cost-sin 1)+cost 例3设w=f(x+y+,xyz),∫具有二阶连续偏导数,求 解令l=x+y+2,v=xy=, 记f (l2 fr2 af(u, v) 4 auoy 同理有f2,f,f2 =可.a49. au ax ay ax =f1+y=/2 "=0(+1)=0++2g .a+9 v +ba=借+x 2=+ oy a=12+xy2, f l+xyfur +y(21+xy2) =f1+y(x+z)2+xy2/2+yf2 全微分形式不变性4 解 =   x z    u z x u      + v z x v   = e sin v  y + e cosv 1 u u e (y sin v cos v), u = + =   y z    u z y u      + v z y v   = e sin v  x + e cos v 1 u u e (xsin v cosv). u = + 例 2 设 z = uv +sin t ，而 t u = e ，v = cost ，求全导数 dt dz . 解 t z dt dv v z dt du u z dt dz    +    +   = ve u t t t = − sin + cos e t e t t t t = cos − sin + cos e (cost sin t) cost. t = − + 例 3 设 w = f (x + y + z, xyz)， f 具有二阶连续偏导数，求 x w   和 x z w    2 . 解 令 u = x + y + z, v = xyz; 记 , ( , ) 1 u f u v f    = , ( , ) 2 12 u v f u v f     = 同理有 , 2 f  , 11 f  . 22 f  =   x w x v v f x u u f      +      ; 1 2 = f + yzf  =    x z w 2 ( ) 1 2 f yzf z +    ; 2 2 1 z f yf yz z f    +  +    = =    z f 1 z v v f z u u f       +       1 1 ; 11 12 = f  + xyf  =    z f 2 z v v f z u u f       +       2 2 ; 21 22 = f  + xyf  于是 =    x z w 2 11 12 f  + xyf  2 + yf  ( ) 21 22 + yz f  + xyf  ( ) . 22 2 2 11 12 = f  + y x + z f  + xy zf  + yf  二、全微分形式不变性