G(k)(x/Jo"d,作其反演:c()(ok2k 2丌 再作VGG)=(2)J+k)0(k)“又因为8)=(2)“.所以3D Possion Equation在TF以后变为G(k)=√/z/k2.进而积分 3)=n“-sm=1=-)= b). 3D Helmholtz Equation (V2+)G(F)=-4mo(),FT:(-k2+A)G(k)=-1/(2x2) 27.m[=x故=…(c1 如果A=-1/12,则G(G)=emk/r, this is the Coulomb screened potential ).3D波动方程:(V2 1a2 c2b)G(F,)=-4m()6()(源位于r'=0,n=0处) 4 Taking FT for t, one has(V+-)G(,o) √≥6()于上述结果b比较 ± ioric ±or/e 得G(F,O)= ,G(F,z)= do=-o(r±r/c) 故:GGgr;)=2(=厂F1e)为超前推迟Gren函数。 2) Laplace Transform (3+I)D a)波动方程/V- )G=-4m(F-F)(t-t) 作 LT fort Gi(p)=Gedr(Rep>0)于是上述方程变为: (V2-p2/c)G(, p:; F, t)=-478(F-F)e-pr 解此方程得:G0DP)==F 设P'≡0,则推迟势7 3/2 FT 1 ( ) ( ) d , 2 ik r G k G r e r    −  =      作其反演： 3/2 1 ( ) ( ) d . 2 ik r G r G k e k     =      再作 3/2 2 2 1 ( ) ( ) ( ) d . 2 ik r G r k G k e k      = −      又因为 3 1 ( ) d , 2 ik r  r e k     =      所以 3D Possion Equation 在 TF 以 后 变 为 2 G k k ( ) 2 / / . =  进而积分 cos 2 2 2 2 1 1 1 1 ( ) d sin d d d . 2 ik r ikr G r e k e k k k k r     = = =   1 ( ') . | ' | G r r r r  − = − b). 3D Helmholtz Equation: 2 2 2 ( ) ( ) 4 ( ), FT : ( ) ( ) 1/ (2 ).  + = − − + = −     G r r k G k 2 2 2 1 1 1 ( ) d d Chap 7 ). 2 ik r e k ik r i r G r k e k e k i r k r         − −  = = = = − −   ( ,P.15 如果 2 1/   = − L ，则 / ( ) / L r G r e r −  = ， this is the Coulomb screened potential. c). 3D 波动方程: 2 2 2 2 1 ( ) ( , ) 4 ( ) ( ) G r t r t c t     − = −  (源位于 r t ' 0, ' 0 = = 处). Taking FT for t, one has 2 2 2 4 ( ) ( , ) ( ). 2 G r r c       + = − 于上述结果 b 比较 得 / 1 ( , ) , 2 i r c e G r r      = / 1 1 ( , ) d ( / ). 2 i r c e i G r e r c r r          = =   故: ( ' | ' | / ) ( , ; ', ') | ' | t t r r c G r t r t r r   −  − = − 为超前/推迟 Green 函数。 2）Laplace Transform (3+1)D. a). 波动方程: 2 2 2 2 0 0 1 ( ) 4 ( ') ( '), | | 0. t t t G r r t t c t G G   = =     − = − − −     = = 作 LT for t 0 ( ) ( ) d (Re 0). pt G p G t e t p  − =   于是上述方程变为： 2 2 2 ' ( / ) ( , ; ', ') 4 ( ') . pt p c G r p r t r r e  −  − = − − 解此方程得： | '| ' ( , ; ', ') . | ' | p i r r c e pt G r p r t e r r  − − = − 设 r' 0  ，则推迟势