其中,(x)是标准正态分布的分布函数,也就是说,>严依分布收敛到 标准正态分布 则原命题就是要证明Zn依分布收敛到正态分布,也就是要证明Zn的 特征函数收敛到标准正态分布的特征函数。 令 1- 记它的特征函数为f(t).由X1,…,Xn独立同分布知Zn的特征函数为 由于EX1=p,VarX1=a2,故EY=0,VarY=1.于是就有 Y=0,f(0)=2 由 Taylor公式 2) 于是就有 t2,t2 Infn(t) aIn(1 fn(t)→e-2 中心极限定理中独立同分布的条件是很强的要求,下面给出另一个定 理 定理( Lindeberg- Feller)设X1,X2,…是相互独立的随机变量,记 ak=EXk,=VarX,B2=∑hCh5 3 ❼ ❥❽☞ Φ(x) ★✑❾✑❿✑➀✑➁●✡❬✂✔✡●✂❬✈✂✇✰✴❫✂❵★✡➂☞ Sn − nµ √ nσ2 ➃ ●✑❬✑➄✑➅③ ❾✂❿✂➀✂➁●✂❬✱✰ ✘ ✌ Zn = Sn − nµ √ nσ2 , ✎✹✂✺✂✻❵ ★✂➆✡➇➉➈ Zn ➃ ●✂❬✂➄✂➅③➀✡➁●✡❬■☞➊❫✡❵★✡➆➋➇❈➈ Zn ✔ ✣✂✉✂✈✂✇➄✂➅③❾✂❿✂➀✡➁●✂❬✡✔✣✡✉✡✈✂✇✰ ➌ Y = X1 − µ σ , ✌✂➍✂✔✣✂✉✂✈✂✇✂⑥ f(t) ✰ ✛ X1, · · · , Xn ⑨✽❪⑩●✂❬✚ Zn ✔✣✂✉✂✈✂✇✂⑥ fn(t) = ￾ f ￾ t √ n

n . ✛ ✧ EX1 = µ ☞ VarX1 = σ 2 ☞✴✳ EY = 0 ☞ VarY = 1 ✰ ✧✂★❵✂✗ f 0 (0) = iEY = 0, f ” (0) = i 2EY 2 = −1. ✛ Taylor ✥✂✦ f(t) = 1 − t 2 2 + o(t 2 ), ✧✂★❵✂✗ lnfn(t) = nln￾ 1 − t 2 2n + o ￾t 2 n

→ − t 2 2 (n → ∞), ✵ fn(t) → e − t 2 2 . ❥➎⑦❀➋❁➋❂➋❃ ❥⑨✽➉⑩ ●➏❬➋✔➏➐➏➑★❄➏➒✔➆➏➓☞ ❉➏❊❧ ❇➎➔✕➏❛❂ ❃ ✰ ✆✂✝ (Lindeberg − Feller) ☛ X1, X2, · · · ★✂→✂➣✂⑨✽ ✔✂❶✂❷❸✂❹☞❻✌ ak = EXk, b 2 k = VarXk, B 2 n = Xn k=1 b 2 k , 3