又h(1+x)=-2+(x),x2)≤|rc,故 npk nq n-k (n-k)In ng Vnpq. )-(n-k)n(1 (m+m(10-5+0() (mq-xk√m)ln P 即对|k≤A的k,一致的有 k Ne 从而可知原命题成立 由局部极限定理很容易推出下面的积分极限定理 设Xn~B(m,p),则对任意的-∞<a<b<∞都有 lim Pla< ≤b er dx n→o 这一定理很好地解决了n比较大的时候的二项分布的问题,也就是n个 两点分布的和的分布问题。对于一般的分布,在下一节中讲给出类似的结论 5中心极限定理 利用特征函数,可以得到比积分极限定理更为一般的极限定理,就是下 面的中心极限定理 定理( Lindeberg-Levy)设X1,X2,……,Xn,…是独立同分布的随机 变量列,EX1=μ,VaX1=a2>0,Sn=1+…+Xn,则对任意的x都 有 ≤x)=(x)Ch5 2 ✲ ln(1 + x) = x − x 2 2 + θ(x 3 ) ☞ |θ(x 3 )| 6 |x 3 | · c ☞✴✳ ln￾np k
k ￾ nq n − k
n−k = −kln￾np k
− (n − k)ln￾n − k nq
= −kln￾ 1 + √npqxk np
− (n − k)ln￾ 1 − √npq nq
= −(np + xk √npq)ln￾ xk r q np − 1 2 x 2 k q np + o ￾ 1 n

−(nq − xk √npq)ln￾ − xk r p nq − 1 2 x 2 k p nq + o ￾ 1 n

∼ − 1 2 x 2 k . ✵✏ |xk| 6 A ✔ k ☞✴✕✂✖✂✔✂✗ ￾np k
k￾ nq n − k
n−k ∼ e − x 2 k 2 . ✶✂✷✂✸✚✂✹✂✺✂✻✂✼✂✽✰ ✛✢✾✂✿✂❀✂❁✂❂✂❃✂❄✂❅✙✂❆❈❇✢❉✡❊✔✂❋✡●❀✡❁✡❂✂❃■❍ ☛ Xn ∼ B(n, p) ☞✴✎✂✏✂❏✂❑✂✔ −∞ < a < b < ∞ ▲✂✗ limn→∞ P ￾ a < Xn − np √npq 6 b
= 1 √ 2π Z b a e − x 2 x dx. ▼ ✕ ❂✑❃✑❄✑◆✑❖✑P✑◗✑❘ n ❙❯❚✑❱✑✔✑❲✑❳✑✔✑❨✑❩✑●✑❬✂✔❪❭✻ ☞❴❫✂❵★ n ❛ ❜❞❝●❞❬❞✔✑❡✑✔✑●✑❬❢❭✻ ✰❣✏✧✕✑❤✂✔✑●✑❬✱☞ ✪❉ ✕✂✐❢❥❯❦✑❧❇✢♠✑♥✔✑♦✂♣✱✰ §5 q✢r✄✂☎✂✆✂✝ s✂t✣✂✉✂✈✂✇☞ ✸✂①✂②✂③ ❙④❋✂●❀✂❁✡❂✂❃✡⑤✂⑥✕✂❤✡✔❀✡❁✂❂✡❃☞✴❵★❉ ❊ ✔❪❥✢⑦❀✂❁✂❂✂❃⑧❍ ✆✂✝ (Lindeberg − Levy) ☛ X1, X2, · · · , Xn, · · · ★✂⑨✽❪⑩●✂❬✂✔✡❶✡❷ ❸✂❹✂❺ ☞ EX1 = µ ☞ VarX1 = σ 2 > 0 ☞ Sn = X1 + · · · + Xn ☞❻✎✂✏✂❏✂❑✂✔ x ▲ ✗ limn→∞ P ￾Sn − nµ √ nσ2 6 x
= Φ(x). 2