§4局部极限定理与积分极限定理 局部极限定理 设0<p<1,q=1-p,记xk 则对满足|xk≤A的k一致 npq 的有 证易知 k k 由斯特林( Stirling)公式 于是 m! P V2Tnp q kke-kv2Tk(n-k)n-ke-(n-k)v2(n-k) nq、n-k √2zVkm-6 现在来看上式的估计 n k(n=k)1- (np+ kvnp)(nq 1+ pgCh5 1 §4 ￾✂✁✂✄✂☎✂✆✂✝✂✞✂✟✂✠✂✄✡☎✂✆✡✝ ￾✂✁✂✄✂☎✂✆✂✝ ☛ 0 < p < 1 ☞ q = 1 − p ☞✍✌ xk = k − np √npq ☞✍✎✑✏✑✒✑✓ |xk| 6 A ✔ k ✕✑✖ ✔✂✗ C k n p k q n−k ∼ 1 √ 2πnpq e − x 2 k 2 (n → ∞). ✘ ✙✂✚ k ∼ np, n − k ∼ nq. ✛✢✜✂✣✂✤ (Stirling) ✥✂✦ n! ∼ n n e −n √ 2πn. ✧✂★ C k np k q n−k = n! k!(n − k)!p k q n−k = n n e −n √ 2πnpk q n−k k ke −k √ 2πk(n − k) n−ke −(n−k) p 2π(n − k) = 1 √ 2π r n k(n − k) · ￾np k
k ￾ nq n − k
n−k . ✩✂✪✂✫✂✬✂✭✦✂✔✂✮✂✯✱✰ r n k(n − k) = k(n − k) n − 1 2 = (np + xk √npq)(nq − xk √npq) n − 1 2 = 1 √npq 1 + xk q − p √npq + O ￾ 1 n
− 1 2 ∼ 1 √npq . 1