D0I:10.13374/1.issm100I103.2008.03.021 第30卷第3期 北京科技大学学报 Vol.30 No.3 2008年3月 Journal of University of Science and Technology Beijing Mar.2008 不确定离散时滞系统的鲁棒H∞控制 张蕾，2)廖福成)刘贺平 1)北京科技大学应用科学学院，北京1000832)北京科技大学信息工程学院，北京100083 摘要基于二次稳定性理论，研究了不确定离散时滞系统的鲁棒H控制问题·采用线性矩阵不等式的方法，讨论了有记 忆状态反馈鲁棒H控制问题，得到了确保鲁棒H控制器存在的充分条件和H®状态反馈控制器的设计方法·最后举例说 明了该方法的正确性 关键词时滞系统：二次稳定：鲁棒H控制：线性矩阵不等式 分类号TP273 Robust Ho Control for uncertain discrete-time systems with time-delay ZHA NG Lei).LIAO Fucheng).LIU Heping2) 1)School of Applied Science.University of Science and Technology BeijingBeijing 100083,China 2)School of Information Engineering.University of Science and Technology Beijing.Beijing 100083.China ABSTRACI Based on the quadratic stability theory,the robust He control problem for uncertain discrete-time systems with time- delay was deal with.The problem of robust H control with memory state feedback was discussed by linear matrix inequality ap- proach.The sufficient condition for a robust Hoe controller was derived.An Hoestate feedback controller was designed and the con- troller could be solved by one LMI.An illustrative example was presented to prove the correctness of this method. KEY WORDS time-delay system:quadratic stability:robust H control:linear matrix inequality 鲁棒Ho问题通常归结为代数Riccati方程的 示A的最大和最小特征值；‖x‖表示向量x的 求解.文献[1]基于Riccati方程]推导得到了鲁棒 Euclid范数，而‖x‖2为向量x的L2[0,o)范数， 输出反馈控制器存在的充分条件，文献[38]利用 1系统描述 线性矩阵不等式(LM)方法研究了时变不确定离散 系统的鲁棒控制，但考虑的状态反馈控制律均是无 考虑如下不确定离散时间时滞系统： 记忆的，即u(k)=Kx(k)形式，文献[9]研究的是 x(k+1)=(A1+△A1)x(k)+(A2+△A2)x(k 连续系统的有记忆状态反馈控制器“(t)= I)+(B1十△B1)u(k)十B2O(k) Kx(t)十Lx(t一t)·本文研究一类具有状态时滞 z(k)=(C1十△C)x(k)十(C2+△C2)x(k-I)+ 的不确定离散时间时滞系统的鲁棒H控制问题， (D+△D)u(k)+D2o(k) 在文献[6]研究系统的基础上，加上干扰输入0(k) x(k)=(k),一I≤k0 和观测输出z(k),将文献[9]中u(t)=Kx(t)十 (1) Lx(t一t)引入到该系统中，得到了该系统有记忆 其中，状态向量x(k)∈R”；控制输入向量u(k)∈ 的状态反馈控制器u(k)=Kx(k)十Lx(k一l)· Rm;观测输出向量z(k)∈R9;干扰信号O(k)∈ 本文中，用Im表示mXm阶的单位矩阵；F: RP且O(k)∈L2[0,oo);A1、A2、B1、B2、C1、C2、 表示F:(k);A0(A<0)表示A为正定（负定）矩 D1和D2是适当维数的常数矩阵；△A1、△A2、 阵；对于对称矩阵A,分别用入mm(A)和入min(A)表 △B1、△C1、△C2和△D1是适当维数的不确定矩阵， 收稿日期：2006-12-02修回日期：2007-04-27 其元素可以是时变的，且具有一定的连续性；【是 基金项目：国家自然科学基金资助项目(N。.90304007) 常数；(k)是初始函数， 作者简介：张蕾(1983一)，女，博士研究生：廖福成(1957一)， 男，教授，博士 不失一般性，假定系统的不确定性矩阵具有如不确定离散时滞系统的鲁棒 H∞控制 张 蕾1‚2） 廖福成1） 刘贺平2） 1） 北京科技大学应用科学学院‚北京100083 2） 北京科技大学信息工程学院‚北京100083 摘 要 基于二次稳定性理论‚研究了不确定离散时滞系统的鲁棒 H∞控制问题．采用线性矩阵不等式的方法‚讨论了有记 忆状态反馈鲁棒 H∞控制问题‚得到了确保鲁棒 H∞控制器存在的充分条件和 H∞状态反馈控制器的设计方法．最后举例说 明了该方法的正确性． 关键词 时滞系统；二次稳定；鲁棒 H∞控制；线性矩阵不等式 分类号 TP273 Robust H∞ Control for uncertain discrete-time systems with time-delay ZHA NG Lei 1‚2）‚LIA O Fucheng 1）‚LIU Heping 2） 1） School of Applied Science‚University of Science and Technology Beijing‚Beijing100083‚China 2） School of Information Engineering‚University of Science and Technology Beijing‚Beijing100083‚China ABSTRACT Based on the quadratic stability theory‚the robust H∞ control problem for uncertain discrete-time systems with time￾delay was deal with．T he problem of robust H∞ control with memory state feedback was discussed by linear matrix inequality ap￾proach．T he sufficient condition for a robust H∞ controller was derived．An H∞ state feedback controller was designed and the con￾troller could be solved by one LMI．An illustrative example was presented to prove the correctness of this method． KEY WORDS time-delay system；quadratic stability；robust H∞ control；linear matrix inequality 收稿日期：2006-12-02 修回日期：2007-04-27 基金项目：国家自然科学基金资助项目（No．90304007） 作者简介：张 蕾（1983—）‚女‚博士研究生；廖福成（1957—）‚ 男‚教授‚博士 鲁棒 H∞ 问题通常归结为代数 Riccati 方程的 求解．文献［1］基于 Riccati 方程［2］推导得到了鲁棒 输出反馈控制器存在的充分条件．文献［3—8］利用 线性矩阵不等式（LMI）方法研究了时变不确定离散 系统的鲁棒控制‚但考虑的状态反馈控制律均是无 记忆的‚即 u（ k）＝ Kx（ k）形式．文献［9］研究的是 连 续 系 统 的 有 记 忆 状 态 反 馈 控 制 器 u （ t ） ＝ Kx（ t）＋Lx（ t—τ）．本文研究一类具有状态时滞 的不确定离散时间时滞系统的鲁棒 H∞控制问题． 在文献［6］研究系统的基础上‚加上干扰输入 ω（ k） 和观测输出 z （ k）‚将文献［9］中 u（ t）＝ Kx（ t）＋ Lx（ t—τ）引入到该系统中‚得到了该系统有记忆 的状态反馈控制器 u（ k）＝ Kx（ k）＋ Lx（ k— l）． 本文中‚用 Im 表示 m× m 阶的单位矩阵；Fi 表示 Fi（ k）；A＞0（ A＜0）表示 A 为正定（负定）矩 阵；对于对称矩阵 A‚分别用λmax（ A）和λmin（ A）表 示 A 的最大和最小特征值；‖ x‖表示向量 x 的 Euclid 范数‚而‖x‖2 为向量 x 的 L2［0‚∞）范数． 1 系统描述 考虑如下不确定离散时间时滞系统： x（ k＋1）＝（ A1＋ΔA1） x（ k）＋（ A2＋ΔA2） x（ k— l）＋（B1＋ΔB1） u（ k）＋B2ω（ k） z（ k）＝（C1＋ΔC1） x（ k）＋（C2＋ΔC2） x（ k— l）＋ （ D1＋ΔD1） u（ k）＋ D2ω（ k） x（ k）＝●（ k）‚ — l≤k≤0 （1） 其中‚状态向量 x（ k）∈R n；控制输入向量 u（ k）∈ R m；观测输出向量 z （ k）∈R q；干扰信号 ω（ k）∈ R p 且 ω（ k）∈ L2［0‚∞）；A1、A2、B1、B2、C1、C2、 D1 和 D2 是适当维数的常数矩阵；ΔA1、ΔA2、 ΔB1、ΔC1、ΔC2 和ΔD1 是适当维数的不确定矩阵‚ 其元素可以是时变的‚且具有一定的连续性；l 是 常数；●（ k）是初始函数． 不失一般性‚假定系统的不确定性矩阵具有如 第30卷 第3期 2008年 3月 北 京 科 技 大 学 学 报 Journal of University of Science and Technology Beijing Vol．30No．3 Mar．2008 DOI:10．13374／j．issn1001－053x．2008．03．021