D0I:10.13374/1.issm100I103.2008.03.021 第30卷第3期 北京科技大学学报 Vol.30 No.3 2008年3月 Journal of University of Science and Technology Beijing Mar.2008 不确定离散时滞系统的鲁棒H∞控制 张蕾，2)廖福成)刘贺平 1)北京科技大学应用科学学院，北京1000832)北京科技大学信息工程学院，北京100083 摘要基于二次稳定性理论，研究了不确定离散时滞系统的鲁棒H控制问题·采用线性矩阵不等式的方法，讨论了有记 忆状态反馈鲁棒H控制问题，得到了确保鲁棒H控制器存在的充分条件和H®状态反馈控制器的设计方法·最后举例说 明了该方法的正确性 关键词时滞系统：二次稳定：鲁棒H控制：线性矩阵不等式 分类号TP273 Robust Ho Control for uncertain discrete-time systems with time-delay ZHA NG Lei).LIAO Fucheng).LIU Heping2) 1)School of Applied Science.University of Science and Technology BeijingBeijing 100083,China 2)School of Information Engineering.University of Science and Technology Beijing.Beijing 100083.China ABSTRACI Based on the quadratic stability theory,the robust He control problem for uncertain discrete-time systems with time- delay was deal with.The problem of robust H control with memory state feedback was discussed by linear matrix inequality ap- proach.The sufficient condition for a robust Hoe controller was derived.An Hoestate feedback controller was designed and the con- troller could be solved by one LMI.An illustrative example was presented to prove the correctness of this method. KEY WORDS time-delay system:quadratic stability:robust H control:linear matrix inequality 鲁棒Ho问题通常归结为代数Riccati方程的 示A的最大和最小特征值；‖x‖表示向量x的 求解.文献[1]基于Riccati方程]推导得到了鲁棒 Euclid范数，而‖x‖2为向量x的L2[0,o)范数， 输出反馈控制器存在的充分条件，文献[38]利用 1系统描述 线性矩阵不等式(LM)方法研究了时变不确定离散 系统的鲁棒控制，但考虑的状态反馈控制律均是无 考虑如下不确定离散时间时滞系统： 记忆的，即u(k)=Kx(k)形式，文献[9]研究的是 x(k+1)=(A1+△A1)x(k)+(A2+△A2)x(k 连续系统的有记忆状态反馈控制器“(t)= I)+(B1十△B1)u(k)十B2O(k) Kx(t)十Lx(t一t)·本文研究一类具有状态时滞 z(k)=(C1十△C)x(k)十(C2+△C2)x(k-I)+ 的不确定离散时间时滞系统的鲁棒H控制问题， (D+△D)u(k)+D2o(k) 在文献[6]研究系统的基础上，加上干扰输入0(k) x(k)=(k),一I≤k0 和观测输出z(k),将文献[9]中u(t)=Kx(t)十 (1) Lx(t一t)引入到该系统中，得到了该系统有记忆 其中，状态向量x(k)∈R”；控制输入向量u(k)∈ 的状态反馈控制器u(k)=Kx(k)十Lx(k一l)· Rm;观测输出向量z(k)∈R9;干扰信号O(k)∈ 本文中，用Im表示mXm阶的单位矩阵；F: RP且O(k)∈L2[0,oo);A1、A2、B1、B2、C1、C2、 表示F:(k);A0(A<0)表示A为正定（负定）矩 D1和D2是适当维数的常数矩阵；△A1、△A2、 阵；对于对称矩阵A,分别用入mm(A)和入min(A)表 △B1、△C1、△C2和△D1是适当维数的不确定矩阵， 收稿日期：2006-12-02修回日期：2007-04-27 其元素可以是时变的，且具有一定的连续性；【是 基金项目：国家自然科学基金资助项目(N。.90304007) 常数；(k)是初始函数， 作者简介：张蕾(1983一)，女，博士研究生：廖福成(1957一)， 男，教授，博士 不失一般性，假定系统的不确定性矩阵具有如
不确定离散时滞系统的鲁棒 H∞控制 张 蕾12） 廖福成1） 刘贺平2） 1） 北京科技大学应用科学学院北京100083 2） 北京科技大学信息工程学院北京100083 摘 要 基于二次稳定性理论研究了不确定离散时滞系统的鲁棒 H∞控制问题．采用线性矩阵不等式的方法讨论了有记 忆状态反馈鲁棒 H∞控制问题得到了确保鲁棒 H∞控制器存在的充分条件和 H∞状态反馈控制器的设计方法．最后举例说 明了该方法的正确性． 关键词 时滞系统；二次稳定；鲁棒 H∞控制；线性矩阵不等式 分类号 TP273 Robust H∞ Control for uncertain discrete-time systems with time-delay ZHA NG Lei 12）LIA O Fucheng 1）LIU Heping 2） 1） School of Applied ScienceUniversity of Science and Technology BeijingBeijing100083China 2） School of Information EngineeringUniversity of Science and Technology BeijingBeijing100083China ABSTRACT Based on the quadratic stability theorythe robust H∞ control problem for uncertain discrete-time systems with timedelay was deal with．T he problem of robust H∞ control with memory state feedback was discussed by linear matrix inequality approach．T he sufficient condition for a robust H∞ controller was derived．An H∞ state feedback controller was designed and the controller could be solved by one LMI．An illustrative example was presented to prove the correctness of this method． KEY WORDS time-delay system；quadratic stability；robust H∞ control；linear matrix inequality 收稿日期：2006-12-02 修回日期：2007-04-27 基金项目：国家自然科学基金资助项目（No．90304007） 作者简介：张 蕾（1983—）女博士研究生；廖福成（1957—） 男教授博士 鲁棒 H∞ 问题通常归结为代数 Riccati 方程的 求解．文献［1］基于 Riccati 方程［2］推导得到了鲁棒 输出反馈控制器存在的充分条件．文献［3—8］利用 线性矩阵不等式（LMI）方法研究了时变不确定离散 系统的鲁棒控制但考虑的状态反馈控制律均是无 记忆的即 u（ k）＝ Kx（ k）形式．文献［9］研究的是 连 续 系 统 的 有 记 忆 状 态 反 馈 控 制 器 u （ t ） ＝ Kx（ t）＋Lx（ t—τ）．本文研究一类具有状态时滞 的不确定离散时间时滞系统的鲁棒 H∞控制问题． 在文献［6］研究系统的基础上加上干扰输入 ω（ k） 和观测输出 z （ k）将文献［9］中 u（ t）＝ Kx（ t）＋ Lx（ t—τ）引入到该系统中得到了该系统有记忆 的状态反馈控制器 u（ k）＝ Kx（ k）＋ Lx（ k— l）． 本文中用 Im 表示 m× m 阶的单位矩阵；Fi 表示 Fi（ k）；A＞0（ A＜0）表示 A 为正定（负定）矩 阵；对于对称矩阵 A分别用λmax（ A）和λmin（ A）表 示 A 的最大和最小特征值；‖ x‖表示向量 x 的 Euclid 范数而‖x‖2 为向量 x 的 L2［0∞）范数． 1 系统描述 考虑如下不确定离散时间时滞系统： x（ k＋1）＝（ A1＋ΔA1） x（ k）＋（ A2＋ΔA2） x（ k— l）＋（B1＋ΔB1） u（ k）＋B2ω（ k） z（ k）＝（C1＋ΔC1） x（ k）＋（C2＋ΔC2） x（ k— l）＋ （ D1＋ΔD1） u（ k）＋ D2ω（ k） x（ k）＝●（ k） — l≤k≤0 （1） 其中状态向量 x（ k）∈R n；控制输入向量 u（ k）∈ R m；观测输出向量 z （ k）∈R q；干扰信号 ω（ k）∈ R p 且 ω（ k）∈ L2［0∞）；A1、A2、B1、B2、C1、C2、 D1 和 D2 是适当维数的常数矩阵；ΔA1、ΔA2、 ΔB1、ΔC1、ΔC2 和ΔD1 是适当维数的不确定矩阵 其元素可以是时变的且具有一定的连续性；l 是 常数；●（ k）是初始函数． 不失一般性假定系统的不确定性矩阵具有如 第30卷 第3期 2008年 3月 北 京 科 技 大 学 学 报 Journal of University of Science and Technology Beijing Vol．30No．3 Mar．2008 DOI:10．13374／j．issn1001－053x．2008．03．021
第3期 张蕾等：不确定离散时滞系统的鲁棒H©控制 .325. 下形式： Y+EXEt+GXG'GB≤0 △A1=EF(k)G1,△A2=E2F2(k)G2, 其中， △B1=E3F3(k)G3,△C1=E4F4(k)G4, Xp=diagl,zI,…,lp, △C2=E5F5(k)G6,△D1=E6F6(k)G6· X=diag41o1,lg…,l,. 其中E:和G(i=1,2,…,6)是已知的适当维数的 则对所有满足FFa≤I。的Fa= 常数矩阵，F:(k)∈R9满足 F F(k)F(k)≤L,i=1,2,…,6 (2) F2 定义1考虑系统 ,F,∈Rx9(i=1,2,,N), x(k+1)=f(x(k),x(k-l),k) (3) F 如果存在V(x(k),k)和正数a1,2,s及K类函 数1o中(r),(r)使得 ,下式成立， ①$（‖x(k)‖）≤V(x(k),k)≤ Y+EFaG+GiFE0,如果存在对称正定 引理)给定适当维数的对称矩阵Y和适当 矩阵P、S以及矩阵K、L,使得对于任意满足式(2) 维数的矩阵E6和G6,如果存在正常数：(=1,2， 的F:(k)(i=1,2,…,6),下列不等式成立： …,N),使得 -p-l A1十B1K+△A1十△B1KA2+B1L十△A2十△B1LB2 0 0 （A1+B1K+△A1+△B1)T -P 0 0(C+D1K+△C1+AD1T (A2+B1L+△A2+△B1L)T 0 -S 0 (C2+D1L+△C2+△D1L)T 0 0,S>0.令 在零初始条件下有： ‖z(k)‖2≤y‖o(k)I‖2，Ho(k)∈L2[0,∞)- V(x(k),k)=x"(k)Px(k)+ (s( 证明：为简便起见，记 (6) x=x(k),x=x(k一I),0=0(k), 则V(x(k),k)正定，且满足定义1中的条件①，把 A=A1十B1K十△A1十△B1-K, 它作为系统(4)的Lyapunov函数. B=A2+B1L十△A2十△B1L, 当o(k)=0时，Lyapunov函数(6)沿闭环系统 C=C1+D1K+AC1十AD1K, (4)的前向差分为： D=C2+D1L十△C2十△DL. △V(x(k),k)l(④=(Ax+Bx)P(Ar+Bx)-
下形式： ΔA1＝ E1F1（ k） G1ΔA2＝ E2F2（ k） G2 ΔB1＝ E3F3（ k） G3ΔC1＝ E4F4（ k） G4 ΔC2＝ E5F5（ k） G5ΔD1＝ E6F6（ k） G6． 其中 Ei 和 Gi（ i＝12…6）是已知的适当维数的 常数矩阵Fi（ k）∈R e i×g i满足 F T i （ k）Fi（ k）≤ Ig ii＝12…6 （2） 定义1 考虑系统 x（ k＋1）＝ f （ x（ k）x（ k— l）k） （3） 如果存在 V（ x（ k）k）和正数 α1α2α3 及 K 类函 数［10］●1（ r）●2（ r）使得 ① α1●1 （‖ x （ k ） ‖） ≤ V （ x （ k ）k ） ≤ α2●2（‖x（ k）‖） ② ΔV（ x（ k）k）｜（3）≤—α3‖x（ k）‖2 则称系统（3）是二次稳定的． 定义2 对于系统（1）如果存在线性状态反馈 控制器 u（ k）＝ Kx（ k）＋ Lx（ k— l） 其中K∈R m× nL∈R m× n．称系统（1）是具有 H∞范数界 γ鲁棒可镇定的如果下列条件满足： ① ω（ k）≡0时闭环系统是二次稳定的； ② 给定正常数 γ在零初始条件下满足 H∞ 范数约束条件‖z（ k）‖2≤γ‖ω（ k）‖2． 引理［3］ 给定适当维数的对称矩阵 Y 和适当 维数的矩阵 Eb 和 Gb如果存在正常数 μi（ i＝12 …N）使得 Y＋ EbXρE T b＋ GbX —1 σ G T b≤0． 其中 Xρ＝diag｛μ1Iρ1μ2Iρ2…μNIρN｝ Xσ＝diag｛μ1Iσ1μ2Iσ2…μNIσN｝． 则 对 所 有 满 足 F T dFd ≤ Iσ 的 Fd ＝ F1 F2 ⋱ FN Fi∈R ρi×σi（ i＝12…N） σ＝ ∑ N i＝1 σi下式成立 Y＋ EbFdGb＋ G T bF T dE T b＜0． 2 主要结果 考虑系统 （1） 在状 态 反 馈 控 制 律 u （ k ） ＝ Kx（ k）＋ Lx（ k— l）下的二次稳定性．这时闭环系 统状态表达式为： x（k＋1）＝（A1＋B1K＋ΔA1＋ΔB1K）x（k）＋（A2＋ B1L＋ΔA2＋ΔB1L） x（ k— l）＋B2ω（ k） z（ k）＝（C1＋ D1K＋ΔC1＋ΔD1K） x（ k）＋（C2＋ D1L＋ΔC2＋ΔD1L） x（ k— l）＋ D2ω（ k） （4） 定理1 给定一常数 γ＞0如果存在对称正定 矩阵 P、S 以及矩阵 K、L使得对于任意满足式（2） 的 Fi（ k）（ i＝12…6）下列不等式成立： — P —1 A1＋ B1K＋ΔA1＋ΔB1K A2＋ B1L＋ΔA2＋ΔB1L B2 0 0 （ A1＋ B1K＋ΔA1＋ΔB1K） T — P 0 0 （ C1＋ D1K＋ΔC1＋ΔD1K） T I （ A2＋ B1L＋ΔA2＋ΔB1L） T 0 — S 0 （ C2＋ D1L＋ΔC2＋ΔD1L） T 0 B T 2 0 0 —γ 2 I D T 2 0 0 C1＋ D1K＋ΔC1＋ΔD1K C2＋ D1L＋ΔC2＋ΔD1L D2 — I 0 0 I 0 0 0 — S —1 ＜0 （5） 则闭环系统（4）（当 ω（ k）＝0时）是二次稳定的且 在零初始条件下有： ‖z（ k）‖2≤γ‖ω（ k）‖2∀ω（ k）∈L2［0∞）． 证明：为简便起见记 x＝x（ k）xl＝x（ k— l）ω＝ω（ k） A＝ A1＋B1K＋ΔA1＋ΔB1— K B＝ A2＋B1L＋ΔA2＋ΔB1L C＝C1＋ D1K＋ΔC1＋ΔD1K D＝C2＋ D1L＋ΔC2＋ΔD1L． 如果式（5）成立则有 P＞0S＞0．令 V（ x（ k）k）＝x T （ k） Px（ k）＋ ∑ k－1 i＝k－l x T （ i） Sx（ i） （6） 则 V（ x（ k）k）正定且满足定义1中的条件①把 它作为系统（4）的 Lyapunov 函数． 当 ω（ k）＝0时Lyapunov 函数（6）沿闭环系统 （4）的前向差分为： ΔV（ x（ k）k）｜（4）＝（ Ax＋Bxl） T P（ Ax＋Bxl）— 第3期 张 蕾等： 不确定离散时滞系统的鲁棒 H∞控制 ·325·
,326 北京科技大学学报 第30卷 x"Px+x"Sx-xiSx=[x"(k)x"(k-1)]. 入(UI)‖x(k)l2. ATPA-P+S AT PB x(k) 由高等代数知识可知入x(U1)0.从而有 记 △V(x(k),k)l④≤-alx(k)‖2 「ATPA-P+S ATPB 因此定义1中的条件②也满足，所以闭环系统(4) V= BT PA BT PB-S 是二次稳定的， 由Schur补性质可知，不等式(5)成立时，有 另一方面，在零初始条件下，引入 -P1 0 -P0 JF宫：()-r0o BT (7) 0 -S0 对任意的o(k)∈L2[0,o),利用Lyapunov泛函和 0 0 -5-1 零初始条件，从而由文献[4]定理2中的证明有： 再利用Schur补性质，知式(T)等价于U<0.从而 尺空：'(z()Yo()o()+ △V(x(k),k)(= t1s △V(x(k),k)]=2 )5周 其中， 入m(U1)[‖x(k)‖2+‖x(k-)‖2]≤ 5(k)=[x'(k)x'(k-I)0(k)]P, CT C+AT PA-P+S CT D+AT PB CT D2+AT PB2 U2= DC+BT PA DD+BPB-SDD2十BPB2 D C+B PA D:D+B:PB D!D.+B:PB2-Y 由Schur补性质可知，不等式(5)成立时，有 定理2给出这类系统具体的反馈控制器设计 U2<0,从而0.由此得到 方法， ‖z(k)‖2≤y‖o(k)‖2，Ho(k)∈L2[0,∞) 定理2给定一正常数Y,如果存在：0(= 1,2,…,6),以及对称正定矩阵X、Y和矩阵M、N, 综上所述，定理1证毕， 使得 -X十 A1X十B1MA1Y+B阻NB2 0 0 (AIX+T 0 0 (Cx+DIT x (GIX)T 0 (30T(G4)T 0 (AIY+BINT -Y 0 品 0 -21 0 0 CIX+DI M C2Y+DIN D2 E 0 0 0 0 0 0 G2 Y 0 G M G3N 0 0 0 G5 Y 0 GM G6 N 61 (9)
x T Px＋x T Sx—x T l Sxl＝［ x T （ k） x T （ k— l）］· A T PA—P＋S A T PB B T PA B T PB—S x（ k） x（ k— l） 记 U1＝ A T PA—P＋S A T PB B T PA B T PB—S ． 由 Schur 补性质可知不等式（5）成立时有 —P —1 A B 0 A T —P 0 I B T 0 —S 0 0 I 0 —S —1 ＜0 （7） 再利用 Schur 补性质知式（7）等价于 U1＜0．从而 ΔV（ x（ k）k）｜（4）＝ ［ x T （ k） x T （ k— l）］ U1 x（ k） x（ k— l） ≤ λmax（ U1）［‖x（ k）‖2＋‖x（ k— l）‖2］≤ λmax（ U1）‖x（ k）‖2． 由高 等 代 数 知 识 可 知 λmax （ U1） ＜0令 α＝ —λmax（ U1）则 α＞0．从而有 ΔV（ x（ k）k）｜（4）≤—α‖x（ k）‖2． 因此定义1中的条件②也满足所以闭环系统（4） 是二次稳定的． 另一方面在零初始条件下引入 J＝ ∑ ∞ k＝0 ［ z T （ k） z（ k）—γ2ω T （ k）ω（ k）］ 对任意的 ω（ k）∈L2［0∞）利用 Lyapunov 泛函和 零初始条件从而由文献［4］定理2中的证明有： J≤ ∑ ∞ k＝0 ［ z T （ k） z（ k）—γ2ω T （ k）ω（ k）＋ ΔV（ x（ k）k）］＝ ∑ ∞ k＝0 ξ T （ k） U2ξ（ k） （8） 其中 ξ（ k）＝［ x T （ k） x T （ k— l） ω T （ k）］ T U2＝ C T C＋ A T PA—P＋S C T D＋ A T PB C T D2＋ A T PB2 D T C＋B T PA D T D＋B T PB—S D T D2＋B T PB2 D T 2 C＋B T 2 PA D T 2 D＋B T 2 PB D T 2 D2＋B T 2 PB2—γ2I ． 由 Schur 补性质可知不等式（5）成立时有 U2＜0从而 J≤0．由此得到 ‖z（ k）‖2≤γ‖ω（ k）‖2∀ω（ k）∈L2［0∞）． 综上所述定理1证毕． 定理2给出这类系统具体的反馈控制器设计 方法． 定理2 给定一正常数 γ如果存在εi＞0（ i＝ 12…6）以及对称正定矩阵 X、Y 和矩阵 M、N 使得 － X＋∑ 3 i＝1 εiEiE T i A1X＋ B1M A1Y＋ B1N B2 0 0 0 0 0 0 0 0 （ A1X＋ B1M） T － X 0 0 （ C1X＋ D1M） T X （ G1X） T 0 （ G3M） T （ G4X） T 0 （ G6M） T （ A1Y＋ B1N） T 0 － Y 0 （ C2Y＋ D1N） T 0 0 （ G2Y） T （ G3N） T 0 （ G5Y） T （ G6N） T B T 2 0 0 －γ 2I D T 2 0 0 0 0 0 0 0 0 C1X＋ D1M C2Y＋ D1N D2 － I＋∑ 6 i＝4 εiEiE T i 0 0 0 0 0 0 0 0 X 0 0 0 － Y 0 0 0 0 0 0 0 G1X 0 0 0 0 －ε1I 0 0 0 0 0 0 0 G2Y 0 0 0 0 －ε2I 0 0 0 0 0 G3M G3N 0 0 0 0 0 －ε3I 0 0 0 0 G4X 0 0 0 0 0 0 0 －ε4I 0 0 0 0 G5Y 0 0 0 0 0 0 0 －ε5I 0 0 G6M G6N 0 0 0 0 0 0 0 0 －ε6I ＜0 （9） ·326· 北 京 科 技 大 学 学 报 第30卷
第3期 张蕾等：不确定离散时滞系统的鲁棒H控制 .327. 则闭环系统(4)是H∞范数界Y约束下鲁棒二次稳 u*(k)=Mx-1x(k)+NY1x(k-l)(10) 定的，且相应的状态反馈控制器为： 证明：令 -p-1 A1十B1KA2十B1L B2 0 0 (A1十B1K)T -P 0 0 (Ci+D1K)T (A2+BIL)T 0 -S 0 (C2+DIL)T 0 H B旺 0 0 -y21 D 0 0 C+D1KC2十D1LD2 -1 0 0 I 0 0 0 则(5)式等价于 E E2 Es 0 0 0> F 0 G 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 F2 0 0 G2 00 0 0 0 0 0 0 0 F3 0 G3K G3L 0 0 0 H+ 0 0 0 0 0 0 F 0 Gu 0 0 0 0 0 0 E Es E6 Fs 0 0 G50 00 0 0 0 0 0 0」 0 GeK G6L000 0 0 0 0 0 0 F El 000 0 0 Gl 0 (G3K)T cl 0 (G6K)T F吲 E! 000 0 0 0 G (G3L)T 0 G3 (G6L)T E图 000 0 0 0(=1,2，…，6)，使得 B E2 Es 0 0 01 El 000 0 0 0 0 0 0 0 0 e I E 000 0 0 0 0 0 0 0 0 E3I E 000 0 0 H+ 0 0 0 0 0 0 E4I 0 000 El 0 0 0 E E Es 乌I 0000 E码 0 0 0 0 0 0 0 0 000Eg 0 0 0 0 0 0 0 0 G 0000 d 0 (G3K)T Gl 0 (G6K)T 211 0 0 G2 000 0 c (G3L)T 0 G(GsL)T 11 0 G3K G3L0 0 0 <0. 0 0 0 0 0 0 1 0 G 000 0 0 0 0 0 0 0 51 0 0 G00 0 0 0 0 0 0 0 0 GK GL 00 0 (12) 则有式(11)成立 记
则闭环系统（4）是 H∞范数界 γ约束下鲁棒二次稳 定的且相应的状态反馈控制器为： u ∗（ k）＝ MX —1 x（ k）＋ NY —1 x（ k— l） （10） 证明：令 H＝ —P —1 A1＋B1K A2＋B1L B2 0 0 （ A1＋B1K） T —P 0 0 （C1＋ D1K） T I （ A2＋B1L） T 0 —S 0 （C2＋ D1L） T 0 B T 2 0 0 —γ2I D T 2 0 0 C1＋ D1K C2＋ D1L D2 — I 0 0 I 0 0 0 —S —1 则（5）式等价于 H＋ E1 E2 E3 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 E4 E5 E6 0 0 0 0 0 0 F1 F2 F3 F4 F5 F6 0 G1 0 0 0 0 0 0 G2 0 0 0 0 G3K G3L 0 0 0 0 G4 0 0 0 0 0 0 G5 0 0 0 0 G6K G6L 0 0 0 ＋ 0 0 0 0 0 0 G T 1 0 （ G3K） T G T 4 0 （ G6K） T 0 G T 2 （ G3L） T 0 G T 5 （ G6L） T 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 F T 1 F T 2 F T 3 F T 4 F T 5 F T 6 E T 1 0 0 0 0 0 E T 2 0 0 0 0 0 E T 3 0 0 0 0 0 0 0 0 0 E T 4 0 0 0 0 0 E T 5 0 0 0 0 0 E T 6 0 ＜0． （11） 由引理知若存在常数εi＞0（ i＝12…6）使得 H＋ E1 E2 E3 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 E4 E5 E6 0 0 0 0 0 0 ε1I ε2I ε3I ε4I ε5I ε6I E T 1 0 0 0 0 0 E T 2 0 0 0 0 0 E T 3 0 0 0 0 0 0 0 0 0 E T 4 0 0 0 0 0 E T 5 0 0 0 0 0 E T 6 0 ＋ 0 0 0 0 0 0 G T 1 0 （ G3K） T G T 4 0 （ G6K） T 0 G T 2 （ G3L） T 0 G T 5 （ G6L） T 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ε —1 1 I ε —1 2 I ε —1 3 I ε —1 4 I ε —1 5 I ε —1 6 I 0 G1 0 0 0 0 0 0 G2 0 0 0 0 G3K G3L 0 0 0 0 G4 0 0 0 0 0 0 G5 0 0 0 0 G6K G6L 0 0 0 ＜0． （12） 则有式（11）成立． 记 第3期 张 蕾等： 不确定离散时滞系统的鲁棒 H∞控制 ·327·
.328. 北京科技大学学报 第30卷 E2 E3 0 0 07 EI El 00 0 0 0 E 0 0 0 0 0 0 E2 I El 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 E3I E 0 00 0 0 H=H十 0 0 0 0 0 EI 0 000 E 0 0 0 0 E4 Es Es esI 0 000 E 0 0 0 0 0 0 0 0 00 即 A1+BIK A2+B1L B2 0 0 (A1+BIK)T -P 0 0 (C1+D1K)T (A2+BIL)T 0 -S 0 (C2+DIL)T 0 H= B贴 0 0 -y21 DI 0 0 C1+DIK C2+DIL D2 +∑EEH 0 0 0 0 0 -s 则式(12)可改写为： 0 0 0 0 0 9 0000 GI0(G3K)T G 0(G6K)1 0 0 G000 0 G(G3L)T 0 G(GsL)T 8I 0 G3 K G3L 0 00 H十 0 0 0 0 0 0 0 GI 0 000 0 0 0 0 51 0 0 G00 0 0 0 0 0 0 .0 G6K G6L 00 (13) 应用Schur补性质，(13)式等价于： -r A1+B1K A2+BIL B2 0 0 0 0 0 (A1+B1)T -P 0 0 (C1+DIK)T (G3K)T G 0 (G6T (42+B1L)T 0 -s 0(C2+D1)T 0 (G3)T 0 (G6)T B 0 0 -21 0 0 0 0 0 0 C1+DI K C2+DI L D2 之6E 0 <0 0 0 0 0 0 0 0 G2 0 0 0 0 0 0 G3 K G3 L 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 G5 0 0 0 0 一51 0 G6 K G6 L 0 0 0 0 0 一61 (14)
H1＝ H＋ E1 E2 E3 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 E4 E5 E6 0 0 0 0 0 0 ε1I ε2I ε3I ε4I ε5I ε6I E T 1 0 0 0 0 0 E T 2 0 0 0 0 0 E T 3 0 0 0 0 0 0 0 0 0 E T 4 0 0 0 0 0 E T 5 0 0 0 0 0 E T 6 0 即 H1＝ － P －1＋∑ 3 i＝1 εiEiE T i A1＋ B1K A2＋ B1L B2 0 0 （ A1＋ B1K） T － P 0 0 （C1＋ D1K） T I （ A2＋ B1L） T 0 － S 0 （C2＋ D1L） T 0 B T 2 0 0 －γ2I D T 2 0 0 C1＋ D1K C2＋ D1L D2 － I＋∑ 6 i＝4 εiEiE T i 0 0 I 0 0 0 － S －1 则式（12）可改写为： H1＋ 0 0 0 0 0 0 G T 1 0 （ G3K） T G T 4 0 （ G6K） T 0 G T 2 （ G3L） T 0 G T 5 （ G6L） T 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ε —1 1 I ε —1 2 I ε —1 3 I ε —1 4 I ε —1 5 I ε —1 6 I 0 G1 0 0 0 0 0 0 G2 0 0 0 0 G3K G3L 0 0 0 0 G4 0 0 0 0 0 0 G5 0 0 0 0 G6K G6L 0 0 0 ＜0 （13） 应用 Schur 补性质（13）式等价于： － P －1＋∑ 3 i＝1 εiEiE T i A1＋ B1K A2＋ B1L B2 0 0 0 0 0 0 0 0 （ A1＋ B1K） T － P 0 0 （ C1＋ D1K） T I G T 1 0 （ G3K） T G T 4 0 （ G6K） T （ A2＋ B1L） T 0 － S 0 （ C2＋ D1L） T 0 0 G T 2 （ G3L） T 0 G T 5 （ G6L） T B T 2 0 0 － γ 2 I D T 2 0 0 0 0 0 0 0 0 C1＋ D1K C2＋ D1L D2 － I＋∑ 6 i＝4 εiEiE T i 0 0 0 0 0 0 0 0 I 0 0 0 － S －1 0 0 0 0 0 0 0 G1 0 0 0 0 －ε1I 0 0 0 0 0 0 0 G2 0 0 0 0 －ε2I 0 0 0 0 0 G3K G3L 0 0 0 0 0 －ε3I 0 0 0 0 G4 0 0 0 0 0 0 0 －ε4I 0 0 0 0 G5 0 0 0 0 0 0 0 －ε5I 0 0 G6K G6L 0 0 0 0 0 0 0 0 －ε6I ＜0 （14） ·328· 北 京 科 技 大 学 学 报 第30卷
第3期 张蕾等：不确定离散时滞系统的鲁棒H©控制 .329. 在式(14)两边同时左乘和右乘对称矩阵G= u*(k)=Mx-1x(k)+NY-1x(k-)= diag1,P-1,S-1,1,1,…,,再令X=P-1,Y= [0.03981.2563]x(k)+ 9个 [-0.49470.9590]x(k-0 S1,M=KP1,N=LS1,即可得到线性矩阵 干扰信号o(k)取为振幅为1的随机数.数值仿真 不等式(9) 结果见图13. 至此，已经证明：如果(9)式成立，则有式(11) 15 成立，从而就有式(5)成立.因此由定理1的结论可 10 知定理2的结论成立，其中控制器如(10)式所示， …2 对于系统(1)，当B2=0且状态反馈控制器中 L=0时，即得到文献[6]所考虑系统的无记忆状态 控制器u*(k)=MXx(k),即文献[6]的定理2. 而且文献[6]只研究了鲁棒控制，本文则同时研究 了系统的H∞性能，所以本文定理2推广了文献 [6]的结果 -10 10 20 30 40 3数值仿真 考虑不确定时滞系统(1)，其参数矩阵分别为： 图1闭环系统状态响应曲线 「-0.1-0.1 「-20.11 Fig.I Closed-loop system state response curve Ai-1 -2]42=0.1-0., 20 「0 「0.1 10 C1=[-10],C2=[0.20.1], D1=1,D2=0.1, 「0.010.2 「0.01 01 E=00.02 E=0 -10 0.01 0.0101 -20 Es-0 0.01,B=[00.01], E=[0.010],E6=[0.20], 10 2030 40 50 「10 「10 「01 G-01,-01,601 图2闭环系统输出响应曲线 「10 「1 Fig.2 Closed-loop system output response curve 「0.5sint+d1 0 F:(k)= (i=1,2,…, 10 0 0.5cost+82 6),且满足FI(k)F:(k)≤I,即 Ial≤2.Ial<号 选取Y=l,应用Matlab软件的LMI工具箱进行设 计，求得： -10 「0.46780.1931 「1.52650.7934 X=[0.19310.1398,YL0.79340.615 -150 10 2030 40 0 M=[0.26120.1833],N=[0.00560.2419], c1=3.8132,2=13.8088,3=9.1630, 图3闭环系统输入曲线 4=9.6129,e=12.4697,e6=4.6211. Fig-3 Closed-loop system input curve 状态反馈控制器为：
在式（14）两边同时左乘和右乘对称矩阵 G＝ diag IP —1S —1II…I 9个 再令 X＝ P —1Y＝ S —1M＝ KP —1N＝ LS —1即可得到线性矩阵 不等式（9）． 至此已经证明：如果（9）式成立则有式（11） 成立从而就有式（5）成立．因此由定理1的结论可 知定理2的结论成立．其中控制器如（10）式所示． 对于系统（1）当 B2＝0且状态反馈控制器中 L＝0时即得到文献［6］所考虑系统的无记忆状态 控制器 u ∗（ k）＝ MX —1 x（ k）即文献［6］的定理2． 而且文献［6］只研究了鲁棒控制本文则同时研究 了系统的 H∞ 性能所以本文定理2推广了文献 ［6］的结果． 3 数值仿真 考虑不确定时滞系统（1）其参数矩阵分别为： A1＝ —0∙1 —0∙1 1 —2 A2＝ —2 0∙1 0∙1 —0∙1 B1＝ 0 2 B2＝ 0∙1 0∙1 C1＝［—1 0］C2＝［0∙2 0∙1］ D1＝1D2＝0∙1 E1＝ 0∙01 0∙2 0 0∙02 E2＝ 0∙01 0 0 0∙01 E3＝ 0∙01 0 0 0∙01 E4＝［0 0∙01］ E5＝［0∙01 0］E6＝［0∙2 0］ G1＝ 1 0 0 1 G2＝ 1 0 0 1 G3＝ 0 0∙1 G4＝ 0 1 0 0 G5＝ 1 0 0 0 G6＝ 1 0 Fi（ k）＝ 0∙5sin t＋δ1 0 0 0∙5cost＋δ2 （ i＝12… 6）且满足 F T i （ k）Fi（ k）≤ I即 ‖δ1‖≤ 1 2 ‖δ2‖≤ 1 2 ． 选取 γ＝1应用 Matlab 软件的 LMI 工具箱进行设 计求得： X＝ 0∙4678 0∙1931 0∙1931 0∙1398 Y＝ 1∙5265 0∙7934 0∙7934 0∙6615 M＝［0∙2612 0∙1833］N＝［0∙0056 0∙2419］ ε1＝3∙8132ε2＝13∙8088ε3＝9∙1630 ε4＝9∙6129ε5＝12∙4697ε6＝4∙6211． 状态反馈控制器为： u ∗（ k）＝ MX —1 x（ k）＋ NY —1 x（ k— l）＝ ［0∙0398 1∙2563］ x（ k）＋ ［—0∙4947 0∙9590］ x（ k— l）． 干扰信号 ω（ k）取为振幅为1的随机数．数值仿真 结果见图1～3． 图1 闭环系统状态响应曲线 Fig．1 Closed-loop system state response curve 图2 闭环系统输出响应曲线 Fig．2 Closed-loop system output response curve 图3 闭环系统输入曲线 Fig．3 Closed-loop system input curve 第3期 张 蕾等： 不确定离散时滞系统的鲁棒 H∞控制 ·329·
,330 北京科技大学学报 第30卷 4结论 control.Control Theory Appl.1998,15(2):257 (王景成，苏宏业，金建祥，等。线性时变不确定时滞系统的鲁 棒控制.控制理论与应用，1998,15(2)：257) 本文利用LMI方法，讨论了不确定离散时滞 [5]Xu L B.Robust Hoo control of uncertain discrete time state-de- 系统的鲁棒H∞控制问题，给出了该类系统的一个 layed systems.J Harbin Univ Sci Technol.2003.8(3):29 有记忆的状态反馈控制输入，利用本文方法所得到 (许立滨。不确定离散时滞系统的鲁棒H。控制·哈尔滨理工 的控制器不仅使闭环系统是二次稳定的，而且还满 大学学报，2003,8(3)：29) 足一定的H∞范数界约束，数值仿真表明了该方法 [6]Chen D Y,Xu L B,XuS J.Robust control for a class of discrete 的可行性 time uncertain systems with time-delay.Electr Mach Control 2002,6(4):317 参考文献 (陈东彦，许立滨，徐世杰·一类离散时滞不确定系统的鲁棒控 制.电机与控制学报，2002,6(4)：317) [1]Su H Y.Wang JC.Zhou K,et al.Robust output feedback con- [7]Liang Z.Guaranteed cost Hoo control for a class of uncertain dis trol for linear time varying uncertain time delay system.Acta Au crete time-delay systems.J Appl Sci.2004.22(4):545 tom Sin,1999,25(4):513 (梁正.一类不确定离散时滞系统的保成本H控制，应用科 (苏宏业，王景成，周凯，等。时变时滞不确定系统的鲁棒输出 学学报，2004,22(4)：545) 反馈控制.自动化学报，1999,25(4)：513) [8]Shi GG.Liao F C.Robust Hoo control for uncertain systems [2]Mao WJ.Sun Y X.Necessary and sufficient condition for output with time varying delay.J Univ Sci Technol Beijing.2006.28 feedback stabilizability of uncertain linear systems.Control Decis. (9):875 1998,13(1).59 (史桂刚，廖福成。时变时滞不确定系统的鲁棒控制，北京科 (毛维杰，孙优贤.不确定线性系统输出反馈鲁棒镇定的充要 技大学学报，2006,28(9)：875) 条件.控制与决策，1998,13(1)：59) [9]Liu X Q.Xu HZ.Robust stabilization of linear uncertain dynamic [3]LiZ H.Wang J C.Shao HH.Hoo robust control of discrete time-delay systems.J North Jiaotong Univ.2003.27(2):18 time delay systems with time varying uncertainty.Control Theo- (刘湘黔，徐洪泽.线性不确定动态时滞系统的鲁棒镇定.北 ry Appl,2003,20(1):139 方交通大学学报，2003,27(2)：18) (李志虎，王景成，邵惠鹤。时变不确定离散时滞系统的H鲁 [10]Liao XX.Stability Theory,Method and Appling.Wuhan: 棒控制.控制理论与应用，2003,20(1)：139) Huzhong University of Science and Technology Press,1999 [4]Wang J C.Su H Y.Jin J X,et al.Robust Hoo controller design (廖晓昕.稳定性的理论、方法和应用，武汉：华中科技大学 for linear time varying uncertain systems with delayed state and 出版社，1999) (下期预告) 基于两类总体的边坡稳定性判别分析 李克庆谢玉铃徐九华 针对边坡稳定性影响因素复杂、传统的稳定性分析方法计算工作量巨大、计算过程复杂的问题，提出了 一种新的解决方法一判别分析方法，以在边坡稳定性分析中广泛采用的边坡重度、内聚力、摩擦角、边坡 角、边坡高度、孔隙压力比共六项指标作为判别因子，建立了可进行边坡稳定性预测的判别分析模型，典型 工程实例的分析结果表明，该方法简便可行，具有较强的分析可靠度，且排除了边坡稳定性判别分类中人为 因素的影响，为解决边坡岩体稳定性判定和分类提供了一条新的途径，可以在实际工程中进行推广
4 结论 本文利用 LMI 方法讨论了不确定离散时滞 系统的鲁棒 H∞控制问题给出了该类系统的一个 有记忆的状态反馈控制输入．利用本文方法所得到 的控制器不仅使闭环系统是二次稳定的而且还满 足一定的 H∞范数界约束．数值仿真表明了该方法 的可行性． 参 考 文 献 ［1］ Su H YWang J CZhou Ket al．Robust output feedback control for linear time varying uncertain time delay system．Acta A utom Sin199925（4）：513 （苏宏业王景成周凯等．时变时滞不确定系统的鲁棒输出 反馈控制．自动化学报199925（4）：513） ［2］ Mao W JSun Y X．Necessary and sufficient condition for output feedback stabilizability of uncertain linear systems．Control Decis 199813（1）：59 （毛维杰孙优贤．不确定线性系统输出反馈鲁棒镇定的充要 条件．控制与决策199813（1）：59） ［3］ Li Z HWang J CShao H H． H∞ robust control of discrete time-delay systems with time-varying uncertainty．Control Theory Appl200320（1）：139 （李志虎王景成邵惠鹤．时变不确定离散时滞系统的 H∞鲁 棒控制．控制理论与应用200320（1）：139） ［4］ Wang J CSu H YJin J Xet al．Robust H∞ controller design for linear time-varying uncertain systems with delayed state and control．Control Theory Appl199815（2）：257 （王景成苏宏业金建祥等．线性时变不确定时滞系统的鲁 棒控制．控制理论与应用199815（2）：257） ［5］ Xu L B．Robust H∞ control of uncertain discrete-time state-delayed systems．J Harbin Univ Sci Technol20038（3）：29 （许立滨．不确定离散时滞系统的鲁棒 H∞控制．哈尔滨理工 大学学报20038（3）：29） ［6］ Chen D YXu L BXu S J．Robust control for a class of discretetime uncertain systems with time-delay． Electr Mach Control 20026（4）：317 （陈东彦许立滨徐世杰．一类离散时滞不确定系统的鲁棒控 制．电机与控制学报20026（4）：317） ［7］ Liang Z．Guaranteed cost H∞ control for a class of uncertain discrete time-delay systems．J Appl Sci200422（4）：545 （梁正．一类不确定离散时滞系统的保成本 H∞控制．应用科 学学报200422（4）：545） ［8］ Shi G GLiao F C．Robust H∞ control for uncertain systems with time-varying delay．J Univ Sci Technol Beijing200628 （9）：875 （史桂刚廖福成．时变时滞不确定系统的鲁棒控制．北京科 技大学学报200628（9）：875） ［9］ Liu X QXu H Z．Robust stabilization of linear uncertain dynamic time-delay systems．J North Jiaotong Univ200327（2）：18 （刘湘黔徐洪泽．线性不确定动态时滞系统的鲁棒镇定．北 方交通大学学报200327（2）：18） ［10］ Liao X X．Stability Theory Method and Appling．Wuhan： Huazhong University of Science and Technology Press1999 （廖晓昕．稳定性的理论、方法和应用．武汉：华中科技大学 出版社1999） （下期预告） 基于两类总体的边坡稳定性判别分析 李克庆 谢玉铃 徐九华 针对边坡稳定性影响因素复杂、传统的稳定性分析方法计算工作量巨大、计算过程复杂的问题提出了 一种新的解决方法———判别分析方法．以在边坡稳定性分析中广泛采用的边坡重度、内聚力、摩擦角、边坡 角、边坡高度、孔隙压力比共六项指标作为判别因子建立了可进行边坡稳定性预测的判别分析模型．典型 工程实例的分析结果表明该方法简便可行具有较强的分析可靠度且排除了边坡稳定性判别分类中人为 因素的影响为解决边坡岩体稳定性判定和分类提供了一条新的途径可以在实际工程中进行推广． ·330· 北 京 科 技 大 学 学 报 第30卷
