D0I:10.13374/i.issnl001t03.2007.07.020 第29卷第7期 北京科技大学学报 Vol.29 No.7 2007年7月 Journal of University of Science and Technology Beijing Ju.2007 汽车多刚体操纵稳定性模型及稳定性分析 刘晋霞张文明张国芬 北京科技大学土木与环境工程学院，北京100083 摘要运用多刚体动力学罗伯森维登堡法充分考虑悬架系统的作用，建立了两轴汽车六自由度操纵稳定性模型·在此基 础上，运用Hwz定理分析汽车的操纵稳定性，得出汽车具有稳定行驶性能的两个必要条件：汽车后悬架弹簧有效距离的平 方与后悬架单侧弹簧刚度乘积大于前悬架弹簧有效距离的平方与前悬架单侧弹簧刚度乘积：汽车后轴所载质量与前轮胎侧 偏刚度的乘积大于前轴所载质量与后轮胎侧偏刚度的乘积 关键词汽车；多刚体动力学：操纵稳定性：悬架系统 分类号TD402:U461.6 汽车操纵稳定性受其本身结构、驾驶员、环境等 汽车看作由三部分组成（参见图1和图2）·后轴质 因素影响，汽车操纵稳定性研究有两种不同的研究 量部分记为B1,簧载质量部分记为B2,前轴质量部 方法：开环系统法和闭环系统法山.汽车动力学模 分记为B3,各刚体B:的质心记为C:,质量记为m:, 型的建立则是这两种研究方法进行的必要基础，常 且记m=summ,i=1,2,3:以地面为总惯性参考 见汽车操纵稳定性均以二自由度（横摆和侧向）模型 基，记为Bo 为基础进行研究，该模型忽略了悬架系统的作用，没 有考虑整车垂直和侧倾等自由度对操纵稳定性的影 响2. H2 多刚体系统动力学已成为各种复杂多刚体系统 进行运动学分析和动力学分析的有力工具，多刚体 系统动力学有牛顿欧拉法、拉格朗日法、罗伯森 H.(Ho) 维登堡法、高斯最小值拘束原理方法以及凯恩方法 等分支，本文采用罗伯森维登堡多刚体动力学方 法建立普通两轴汽车操纵稳定性模型，得出汽车具 图】汽车多刚体系统模型 有稳定行驶性能的条件，该条件包含了文献[2]二自 Fig.1 Automobile multi-body system model 由度汽车模型所得的稳定行驶条件，并且对悬架系 统参数也作了要求. 1模型的建立 23 B B 1.1模型假设 dy 假设汽车在平坦路面，以匀速，作直线或大半 C 径转向运动，不考虑外界风力对其运动的影响；侧向 H 加速度不超过0.4g(g为重力加速度)，轮胎侧偏特 性处于线性范围，且不考虑轮胎宽度的影响：忽略转 向系统的影响，以前轮转角作为输入，并以汽车向左 图2带有通路矢量的汽车多刚体系统模型结构 转为研究行驶状态， Fig.2 Automobile multi-body system structural model with path vector 根据罗伯森维登堡多刚体动力学原理[3]，将 建立(Ho,e)为固结于地面总惯性参考坐标 收稿日期：2006-01-29修回日期：2006-04-20 作者简介：刘晋霞(1976一)，女，博士研究生：张文明(1955-)，男， 系；(H1,e)为固结于B1,原点位于整车质心垂线 教授，博士生导师 与前、后轴质心连线交点处的连体坐标系；(H2,e)
汽车多刚体操纵稳定性模型及稳定性分析 刘晋霞 张文明 张国芬 北京科技大学土木与环境工程学院北京100083 摘 要 运用多刚体动力学罗伯森－维登堡法充分考虑悬架系统的作用建立了两轴汽车六自由度操纵稳定性模型．在此基 础上运用 Hurwitz 定理分析汽车的操纵稳定性得出汽车具有稳定行驶性能的两个必要条件：汽车后悬架弹簧有效距离的平 方与后悬架单侧弹簧刚度乘积大于前悬架弹簧有效距离的平方与前悬架单侧弹簧刚度乘积；汽车后轴所载质量与前轮胎侧 偏刚度的乘积大于前轴所载质量与后轮胎侧偏刚度的乘积． 关键词 汽车；多刚体动力学；操纵稳定性；悬架系统 分类号 TD402；U461∙6 收稿日期：2006-01-29 修回日期：2006-04-20 作者简介：刘晋霞（1976－）女博士研究生；张文明（1955－）男 教授博士生导师 汽车操纵稳定性受其本身结构、驾驶员、环境等 因素影响．汽车操纵稳定性研究有两种不同的研究 方法：开环系统法和闭环系统法［1］．汽车动力学模 型的建立则是这两种研究方法进行的必要基础．常 见汽车操纵稳定性均以二自由度（横摆和侧向）模型 为基础进行研究该模型忽略了悬架系统的作用没 有考虑整车垂直和侧倾等自由度对操纵稳定性的影 响［2］． 多刚体系统动力学已成为各种复杂多刚体系统 进行运动学分析和动力学分析的有力工具．多刚体 系统动力学有牛顿－欧拉法、拉格朗日法、罗伯森－ 维登堡法、高斯最小值拘束原理方法以及凯恩方法 等分支．本文采用罗伯森－维登堡多刚体动力学方 法建立普通两轴汽车操纵稳定性模型得出汽车具 有稳定行驶性能的条件该条件包含了文献［2］二自 由度汽车模型所得的稳定行驶条件并且对悬架系 统参数也作了要求． 1 模型的建立 1∙1 模型假设 假设汽车在平坦路面以匀速 v 作直线或大半 径转向运动不考虑外界风力对其运动的影响；侧向 加速度不超过0∙4g（ g 为重力加速度）轮胎侧偏特 性处于线性范围且不考虑轮胎宽度的影响；忽略转 向系统的影响以前轮转角作为输入并以汽车向左 转为研究行驶状态． 根据罗伯森－维登堡多刚体动力学原理［3－6］将 汽车看作由三部分组成（参见图1和图2）．后轴质 量部分记为 B1簧载质量部分记为 B2前轴质量部 分记为 B3各刚体 Bi 的质心记为 Ci质量记为 mi 且记 m＝sum mii＝123；以地面为总惯性参考 基记为 B0． 图1 汽车多刚体系统模型 Fig．1 Automobile mult-i body system model 图2 带有通路矢量的汽车多刚体系统模型结构 Fig．2 Automobile mult-i body system structural model with path vector 建立（ H0e 0）为固结于地面总惯性参考坐标 系；（ H1e 1）为固结于 B1原点位于整车质心垂线 与前、后轴质心连线交点处的连体坐标系；（ H2e 2） 第29卷 第7期 2007年 7月 北 京 科 技 大 学 学 报 Journal of University of Science and Technology Beijing Vol．29No．7 Jul．2007 DOI:10．13374／j．issn1001－053x．2007．07．020
.740 北京科技大学学报 第29卷 为固结于B2,原点位于整车质心垂线与侧倾轴线 P=diag(p1,p2,p3) (2) (假设汽车侧倾轴线为一水平线)交点处的连体坐标 系统共有7个自由度，广义坐标表示为： 系，(H3,e)为固结于B3,原点位于质心C3处的连 q=（91,92,93,94,95,q6,q7)T (3) 体坐标系；系统各坐标系e(i=0,1,2,3)中，j=1, 各广义坐标中g1=u,1=0为已知，故系统模 2,3为三个单位矢量；系统各坐标系均符合右手法 型共有6个自由度；其余广义坐标皆为小量，计算过 则，运动初始时各坐标系定位及方向如图1所示， 程中，忽略二阶以上小量，取sing:=g,cosq:=1, (Ho,e)与(H1,e)完全重合，且各坐标系对应单位 =3,5,7. 矢量同向.汽车运动过程中，始终有e1=e=ei. 1.2系统结构矩阵 运动初始时，C1、C3分别位于前、后轴轴线中 系统的关联矩阵S、通路矩阵T: 心，C2位于整车质心上方，距侧倾轴线垂直距离为 -11 0 「-1-1-1 h1处；侧倾轴线距前、后轴轴线垂直距离相等为h; -1 ;T= -1-1 α、b分别为整车质心至前、后轴轴线的水平距离， 1 记α十b=L;前、后轴轮距相等，记为B,轮胎半径 体铰矢量阵C及通路矢量阵d: 为R,在运动过程中视为不变 C= B0与B1之间为三自由度复合铰H1连接，B1 bei bei+(h+qs)es 0 与B2之间由二自由度复合铰H2连接，B2与B3之 hies ae-(hi+h-q6)e 间由二自由度复合铰H3连接，其滑动方向、转动方 0 向单位矢量列阵分别为k1=(,,0)T,p1=(0, (h+g4)e3 (h十q4)e3 0,e3)T,k2=(e3,0),p2=(0,ei),k3=(e3,0),p3= hies ae-(h-ge)es (0,e).整个系统滑移轴矢量矩阵k及转动轴矢量 0 矩阵P分别为： 矢量矩阵a、B、G、u及e的表达式： k=diag(k1,k2,k3) (1) 「eieg -be2 a三 ei e2 -q5(h十h+q4)ei e (4) LeR e2 ae-(qs(qa+q6)-q7(h-g6))ei e (h-g6)ee [00e3 设前、后悬架线阻尼系数分别为c1与c2,侧倾角阻 B= 00 eg0e匠 (5) 尼分别为c与c2,则可列出汽车模型系统约束广 L00e30e10e 义力矩阵： 0==8=0 (6) F=(0,0,0,2k2q4+c294,2k,2B2q5十 质量矩阵m及中心惯量张量矩阵J分别为： 1 m=diag[m1,m2,m3] (7) c95,2k,196十c196,2k,1Biq7十c197)I(9) J=diag[J,2,J3] (8) 1.4系统外力 1.3系统内力 系统外力包括重力、地面对轮胎的作用力以及 系统内力来自关系悬架系统作用的铰H2和 离心力 铰H3· 地面对轮胎的垂直径向力等于车轮垂直载荷的 设前、后单侧悬架弹簧线刚度分别为k1、k2, 大小，设四个轮胎的垂直径向力分别为ZA、ZB、Zc、 ZD,垂直载荷变动量分别为△ZA、△ZB、△Zc、△ZD, 前、后悬架有效弹簧距分别为B1、B2,则前悬架线 汽车行驶的转弯半径为： 性刚度K1及侧倾角刚度K,后悬架线性刚度K2 及侧倾角刚度K2分别为： 1=93 p v K1=2k1,K2=2k2, △z,B=mgB+0B+D+号aB品gr. p K1=2k1B5,K=2k2B2 LP △ZA=-△ZB
为固结于 B2原点位于整车质心垂线与侧倾轴线 （假设汽车侧倾轴线为一水平线）交点处的连体坐标 系（ H3e 3）为固结于 B3原点位于质心 C3 处的连 体坐标系；系统各坐标系 e i j（ i＝0123）中j＝1 23为三个单位矢量；系统各坐标系均符合右手法 则运动初始时各坐标系定位及方向如图1所示 （ H0e 0）与（ H1e 1）完全重合且各坐标系对应单位 矢量同向．汽车运动过程中始终有 e 1 1＝e 2 1＝e 3 1． 运动初始时C1、C3 分别位于前、后轴轴线中 心C2 位于整车质心上方距侧倾轴线垂直距离为 h1 处；侧倾轴线距前、后轴轴线垂直距离相等为 h； a、b 分别为整车质心至前、后轴轴线的水平距离 记 a＋b＝ L；前、后轴轮距相等记为 B轮胎半径 为 R在运动过程中视为不变． B0 与 B1 之间为三自由度复合铰 H1 连接B1 与 B2 之间由二自由度复合铰 H2 连接B2 与 B3 之 间由二自由度复合铰 H3 连接其滑动方向、转动方 向单位矢量列阵分别为 k1＝（ e 0 1e 0 20） Tp1＝（0 0e 1 3） Tk2＝（ e 2 30）p2＝（0e 2 1）k3＝（ e 3 30）p3＝ （0e 3 1）．整个系统滑移轴矢量矩阵 k 及转动轴矢量 矩阵 P 分别为： k＝diag（ k1k2k3） （1） P＝diag（ p1p2p3） （2） 系统共有7个自由度广义坐标表示为： q＝（ q1q2q3q4q5q6q7） T （3） 各广义坐标中 q · 1＝ vq ·· 1＝0为已知故系统模 型共有6个自由度；其余广义坐标皆为小量计算过 程中忽略二阶以上小量取 sin qi ＝ qicos qi ＝1 i＝357． 1∙2 系统结构矩阵 系统的关联矩阵 S、通路矩阵 T： S＝ －1 1 0 －1 1 －1 ；T＝ －1 －1 －1 －1 －1 －1 ． 体铰矢量阵 C 及通路矢量阵 d： C＝ －be 1 1 be 2 1＋（ h＋q4） e 2 3 0 h1e 2 3 ae 3 1－（ h1＋h－q6） e 3 3 0 d＝ －be 1 1 （ h＋q4） e 2 3 （ h＋q4） e 2 3 h1e 2 3 ae 3 1－（ h－q6） e 3 3 0 ． 矢量矩阵 α、β、σ、u 及ε的表达式： a＝ e 0 1 e 0 2 －be 1 2 e 0 1 e 0 2 －q5（ h1＋h＋q4） e 2 1 e 2 3 e 0 1 e 0 2 ae 1 2－（ q5（ q4＋q6）－q7（ h－q6）） e 2 1 e 2 3 （ h－q6） e 3 2 e 3 3 0 （4） β＝ 0 0 e 1 3 0 0 e 1 3 0 e 2 1 0 0 e 1 3 0 e 2 1 0 e 3 2 （5） σ＝ u＝ε＝0 （6） 质量矩阵 m 及中心惯量张量矩阵 J 分别为： m＝diag［ m1m2m3］ （7） J＝diag［ J1J2J3］ （8） 1∙3 系统内力 系统内力来自关系悬架系统作用的铰 H2 和 铰 H3． 设前、后单侧悬架弹簧线刚度分别为 ks1、ks2 前、后悬架有效弹簧距分别为 Bs1、Bs2则前悬架线 性刚度 K1 及侧倾角刚度 KΦ1后悬架线性刚度 K2 及侧倾角刚度 KΦ2分别为： K1＝2ks1K2＝2ks2 KΦ1＝ 1 2 ks1B 2 s1KΦ2＝ 1 2 ks2B 2 s2． 设前、后悬架线阻尼系数分别为 cs1与 cs2侧倾角阻 尼分别为 cΦ1与 cΦ2则可列出汽车模型系统约束广 义力矩阵： F q＝（0002ks2q4＋cs2q · 4 1 2 ks2B 2 s2q5＋ cΦ2q · 52ks1q6＋cs1q · 6 1 2 ks1B 2 s1q7＋cΦ1q · 7） T （9） 1∙4 系统外力 系统外力包括重力、地面对轮胎的作用力以及 离心力． 地面对轮胎的垂直径向力等于车轮垂直载荷的 大小设四个轮胎的垂直径向力分别为 ZA、ZB、ZC、 ZD垂直载荷变动量分别为ΔZA、ΔZB、ΔZC、ΔZD 汽车行驶的转弯半径为： 1 ρ ＝ q · 3 v ΔZA B＝ m3v 2R ρ ＋ bm2v 2（ R＋h） Lρ ＋ 1 2 ks1B 2 s1q7 ΔZA＝－ΔZB ·740· 北 京 科 技 大 学 学 报 第29卷
第7期 刘晋霞等：汽车多刚体操纵稳定性模型及稳定性分析 .741. △.B=mgR+am+D+号ke2gs, Mq+Cq+Kq=F (13) p LO 式中，9=(q2,q3,q495,96,97), △Zc=-△ZD· m11m12 0 m14 0 0 则 m22 0 m24 0 0 b ZA2mg+△Z e3, m33 0 m35 0 M= m44 0 m46 ZB- 21mg+AZe b es, m55 0 Zc= 2mg+△z es. m66 C11 C12 0 C14 0 0 Zw2mg+△z es. C21 C22 C24 0 设四轮胎所受侧向力分别为XA、XB、Xc,XD, 0 0 C33 0 0 0 C 侧偏刚度分别为kas、a、k、k,汽车左、右前轮转 C41C42 0 C44 0 向角均较小，视为相等为6，则有： 0 0 0 0 C55 0 0 C64 0 XA-as "Ae23 3e2-kas 92十ai3十hg5- e C61C62 C66 000 0 0 0 000 0 0 0 XB=bs URel U 00k33 0 0 K- 000 vce2 1 k44 0 0 Xc=ke -（eba vcei 000 0 k55 0 neie-ka 000 0 0 (92-bg3)e2 k66 Xp=kds vnei F=(f1,f2,f3,f4,f5,f6). 式中，vA、vB、vC、D分别代表轮胎质心处速度 M为对称矩阵，其中不为零的元素为： 汽车运动时，离心力方向指向e2的反方向，B: mu=m,miz=m21=bmi-am3, 所受离心力大小分别为F1、F2、F3: m14=m41=一hm3, p Fa=mav? -m1u2 p,F3=m3v? m22=62m2十a2m3十h十2十3， m24=m42=ahm3,m33=m2十m3, 则系统外力主矢及相对质心的主矩列阵分别为： F= m35=m53=m55=m3,m44=hm3十J2十B, (-mig+Zc+ZD)e3+(Xc+XD)e2-Fie2 m46=m64=m66=J3.记k1=kas十 -m2ge3-F2e2 s,k2=keg十kas C中不为零的元素为： (-m3g+Za+ZB)e3+(XA+XB)e-F3e2 (10) G1=-(1+e).eB=-士(-6e)tm, 1 2 B(Zc-ZD)ei+R(Xc+XD)el hk1,c21=- (ak1-bh2), M 0 c2z=-(d2k1+62k2)十(am3-bm）, 1 B(ZA-ZB)ei+R(XA+XB)ei c241 hk1,c8=-c2,c4=-(h+R)k1, (11) 1.5模型建立 oa(h R)k1- 将前面各表达式代入多刚体动力学模型方程： (a"ma+= C44 (h十R)k1一c,c55=一c1, a(F-m)+(M-Jo-e)+m(12) Rm-(R+)me 并整理得汽车多刚体动力学模型方程为： 。k1,c62=-
ΔZC B＝ m1v 2R ρ ＋ am2v 2（ R＋h） Lρ ＋ 1 2 ks2B 2 s2q5 ΔZC＝－ΔZD． 则 ZA＝ b 2L mg＋ΔZA e 0 3 ZB＝ b 2L mg＋ΔZB e 0 3 ZC＝ a 2L mg＋ΔZC e 0 3 ZD＝ a 2L mg＋ΔZD e 0 3． 设四轮胎所受侧向力分别为 XA、XB、XCXD 侧偏刚度分别为 kas、kbs、kcs、kds汽车左、右前轮转 向角均较小视为相等为 δ则有： XA＝kas v A e 3 2 v A e 3 1 e 3 2＝kas q · 2＋ a q · 3＋h q · 5 v －δ e 3 2 XB＝kbs v B e 3 2 v B e 3 1 e 3 2＝kbs q · 2＋ a q · 3＋h q · 5 v －δ e 3 2 XC＝kcs v C e 1 2 v C e 1 1 e 1 2＝ kcs v （ q · 2－b q · 3） e 1 2 XD＝kds v D e 1 2 v D e 1 1 e 1 2＝ kds v （ q · 2－b q · 3） e 1 2 式中v A、v B、v C、v D 分别代表轮胎质心处速度． 汽车运动时离心力方向指向 e 0 2 的反方向Bi 所受离心力大小分别为 F1、F2、F3： F1＝ m1v 2 ρ F2＝ m2v 2 ρ F3＝ m3v 2 ρ ． 则系统外力主矢及相对质心的主矩列阵分别为： F°＝ （－ m1g＋ZC＋ZD） e 0 3＋（ XC＋XD） e 1 2－F1e 0 2 － m2ge 0 3－F2e 0 2 （－ m3g＋ZA＋ZB） e 0 3＋（ XA＋XB） e 3 2－F3e 0 2 （10） M°＝ 1 2 B（ZC－ZD） e 1 1＋ R（ XC＋XD） e 1 1 0 1 2 B（ZA－ZB） e 3 1＋ R（ XA＋XB） e 3 1 （11） 1∙5 模型建立 将前面各表达式代入多刚体动力学模型方程： （α T mα＋β T Jβ） q ··＝ α T （F °－mu）＋β T （ M°－ Jσ－ε）＋F q （12） 并整理得汽车多刚体动力学模型方程为： M q ··＋C q ·＋ Kq＝F （13） 式中q＝（ q2q3q4q5q6q7） T M＝ m11 m12 0 m14 0 0 m22 0 m24 0 0 m33 0 m35 0 m44 0 m46 m55 0 m66 C＝ c11 c12 0 c14 0 0 c21 c22 0 c24 0 0 0 0 c33 0 0 0 c41 c42 0 c44 0 0 0 0 0 0 c55 0 c61 c62 0 c64 0 c66 K＝ 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 k33 0 0 0 0 0 0 k44 0 0 0 0 0 0 k55 0 0 0 0 0 0 k66 F＝（ f1f2f3f4f5f6） T． M 为对称矩阵其中不为零的元素为： m11＝ mm12＝ m21＝bm1－ am3 m14＝ m41＝－hm3 m22＝b 2m2＋ a 2m3＋J1＋J2＋J3 m24＝ m42＝ ahm3m33＝ m2＋ m3 m35＝ m53＝ m55＝ m3m44＝h 2m3＋J2＋J3 m46＝ m64＝ m66＝J3．记 k1＝ kas ＋ kbsk2＝kcs＋kds． C 中不为零的元素为： c11＝－ 1 v （ k1＋k2）c12＝－ 1 v （ ak1－bk2）＋ mv c14＝－ 1 v hk1c21＝－ 1 v （ ak1－bk2） c22＝－ 1 v （ a 2k1＋b 2k2）＋（ am3－bm1） v c24＝－ 1 v ahk1c33＝－cs2c41＝－ 1 v （ h＋ R） k1 c42＝－ 1 v a（ h＋ R） k1－（ R＋h） m3＋ b L m2 v c44＝－ 1 v h（ h＋ R） k1－cΦ2c55＝－cs1 c61＝－ 1 v Rk1c62＝－ 1 v aRk1－ Rm3－ b L （ R＋ h） m2 v 第7期 刘晋霞等： 汽车多刚体操纵稳定性模型及稳定性分析 ·741·
.742 北京科技大学学报 第29卷 CeRthk1 Cs-c1 式(15)对应齐次方程特征方程展开式为： det(AA+B)= K中不为零的元素为： a0(λ5+a1λ5+.十a5入十a6)=0 (16) k0=-2ka,k=品k1十号B品k2, 由Hurwitz定理及线性代数推导，得知汽车具有稳 k5=一2k1,k6=-B3k1 定行驶的必要条件为： F中不为零的元素为： asde (17) f1=-a1f2=-a1,f3=- L m2g, 很容易能够验证detA>0始终成立，则上述条件转 f=-8h+R)1,方=m:g=-R1: 变为： det B>0 若汽车簧载质量质心与整车质心处于同一垂直 位置，即bm1一am3=0,且不考虑垂直、侧倾方向自 将B各元素代入detB可求得： 由度时，令(b2m2十a2m3十h十2+3)93=Iz0, detB=k44k66(c1c22-c21c12), =照，3=，其中月、z及4，分别为整车质心侧 即 q1 偏角、整车绕3的转动惯量及横摆角速度，则式 dhB=(品ke-质kaL'1+ (13)可表达为： [a(m1十+mz)+bm1]k-[b(m+m2)十am3]kz m(92+um,)-(k1十k2)B- (ad1-bh)=-k16 由于是Lk1k2≥0，故只有满足： (14) Iz,(ak1-bk2)B- (1)B.2ks2>Bsiks1, (+6=-a6 (2)[a(m1+mz)+bm1]k1>[b(m1+m2)+ am3]k2, 这与文献[2]中所述二自由度汽车模型一致， 才能够使得detB>0始终成立，条件(2)两边同时除 以L可变形为： 2汽车操纵稳定性分析 由式(13)可以看出垂直自由度q4、q6相对汽车 其他自由度独立，对整车操纵稳定性没有直接影响， 即得汽车稳定行驶的必要条件：(1)后悬架弹簧有效 故将式(13)中第三和第五个方程除去，并进一步将 距离的平方与后悬架单侧弹簧刚度乘积大于前悬架 其转变为一阶方程组： 弹簧有效距离的平方与前悬架单侧弹簧刚度乘积； Ax十Bx=G (15) (2)后轴所载质量与前轮胎侧偏刚度的乘积大于前 其中，x=(g2,93,95,97,q5,g7),G=(f1,f2,f4, 轴所载质量与后轮胎侧偏刚度的乘积， m11m12m14 000 3 结论 m221m24 000 本文细化了汽车结构，充分考虑了悬架系统，运 0)T,A= m44 m4600 m6600 用多刚体动力学建立了六自由度汽车操纵稳定性模 型，分析模型得出汽车悬架系统的阻尼对汽车的操 10 纵稳定性没有任何影响. 运用Hurwitz定理进一步分析汽车具有稳定行 c11 C12 C14 0 0 01 0 0 驶的必要条件，即必须具有以下两个条件才有可能 C21 C22 C24 0 具有稳定行驶的性能：(1)后悬架弹簧有效距离的平 C41 C42 C44 0 k44 0 B 方与后悬架单侧弹簧刚度乘积大于前悬架弹簧有效 C61 C62 C64 C66 0 k66 距离的平方与前悬架单侧弹簧刚度乘积；(2)后轴所 0 0 -1 0 0 0 载质量与前轮胎侧偏刚度的乘积大于前轴所载质量 0 0 0 -1 00 与后轮胎侧偏刚度的乘积
c64＝－ 1 v Rhk1c66＝－cΦ1． K 中不为零的元素为： k33＝－2ks2k44＝ 1 2 B 2 s1ks1＋ 1 2 B 2 s2ks2 k55＝－2ks1k66＝－B 2 s1ks1． F 中不为零的元素为： f1＝－δk1f2＝－ aδk1f3＝－ a L m2g f4＝－δ（ h＋ R） k1f5＝ b L m2gf6＝－δRk1． 若汽车簧载质量质心与整车质心处于同一垂直 位置即 bm1－ am3＝0且不考虑垂直、侧倾方向自 由度时令（ b 2m2＋ a 2m3＋ J1＋ J2＋ J3） q ·· 3＝ IZω · r β＝ q · 2 q · 1 q · 3＝ωr其中 β、IZ 及ωr 分别为整车质心侧 偏角、整车绕 e 1 3 的转动惯量及横摆角速度则式 （13）可表达为： m（ q ·· 2＋vωr）－（ k1＋k2）β－ 1 v （ ak1－bk2）ωr＝－k1δ IZω · r－（ ak1－bk2）β－ 1 v （ a 2k1＋b 2k2）ωr＝－ ak1δ （14） 这与文献［2］中所述二自由度汽车模型一致． 2 汽车操纵稳定性分析 由式（13）可以看出垂直自由度 q4、q6 相对汽车 其他自由度独立对整车操纵稳定性没有直接影响 故将式（13）中第三和第五个方程除去并进一步将 其转变为一阶方程组： A x ·＋Bx＝ G （15） 其中x＝（ q · 2q · 3q · 5q · 7q5q7） TG＝（ f1f2f4 0） TA＝ m11 m12 m14 0 0 0 m22 m24 0 0 0 m44 m46 0 0 m66 0 0 1 0 1 B＝ c11 c12 c14 0 0 0 c21 c22 c24 0 0 0 c41 c42 c44 0 k44 0 c61 c62 c64 c66 0 k66 0 0 －1 0 0 0 0 0 0 －1 0 0 ． 式（15）对应齐次方程特征方程展开式为： det（λA＋B）＝ a0（λ6＋ a1λ5＋…＋ a5λ＋ a6）＝0 （16） 由 Hurwitz 定理及线性代数推导得知汽车具有稳 定行驶的必要条件为： a6＝ det B det A ＞0 （17） 很容易能够验证 det A＞0始终成立则上述条件转 变为： det B＞0 将 B 各元素代入 det B 可求得： det B＝k44k66（ c11c22－c21c12） 即 det B＝ 1 2 （B 2 s2ks2－B 2 s1ks1） 1 v 2L 2k1k2＋ ［ a（ m1＋m2）＋bm1］ k1－［ b（ m1＋m2）＋am3］ k2 ． 由于 1 v 2L 2k1k2≥0故只有满足： （1） B 2 s2ks2＞B 2 s1ks1 （2） ［ a （ m1＋ m2）＋ bm1］ k1＞ ［ b （ m1＋ m2）＋ am3］ k2 才能够使得 det B＞0始终成立条件（2）两边同时除 以 L 可变形为： m1＋ a L m2 k1＞ m3＋ b L m2 k2． 即得汽车稳定行驶的必要条件：（1）后悬架弹簧有效 距离的平方与后悬架单侧弹簧刚度乘积大于前悬架 弹簧有效距离的平方与前悬架单侧弹簧刚度乘积； （2）后轴所载质量与前轮胎侧偏刚度的乘积大于前 轴所载质量与后轮胎侧偏刚度的乘积． 3 结论 本文细化了汽车结构充分考虑了悬架系统运 用多刚体动力学建立了六自由度汽车操纵稳定性模 型分析模型得出汽车悬架系统的阻尼对汽车的操 纵稳定性没有任何影响． 运用 Hurwitz 定理进一步分析汽车具有稳定行 驶的必要条件即必须具有以下两个条件才有可能 具有稳定行驶的性能：（1）后悬架弹簧有效距离的平 方与后悬架单侧弹簧刚度乘积大于前悬架弹簧有效 距离的平方与前悬架单侧弹簧刚度乘积；（2）后轴所 载质量与前轮胎侧偏刚度的乘积大于前轴所载质量 与后轮胎侧偏刚度的乘积． ·742· 北 京 科 技 大 学 学 报 第29卷
第7期 刘晋霞等：汽车多刚体操纵稳定性模型及稳定性分析 .743. 参考文献 [5]袁士杰，吕哲勤.多刚体系统动力学，北京：北京理工大学出 版社，1992：117 [1]张会明-汽车操纵稳定性的研究.华东交通大学学报，2004， 21(2):104 [6]洪嘉振.计算多体系统动力学.北京：高等教育出版社1999： 98 [2]余志生.汽车理论.3版，北京：机械工业出版社，2001：103 [3]崔胜民，肖利寿，宋宝玉，等.汽车操纵动力学十八自由度模型 [7]郑大钟.线性系统理论.北京：清华出版社，2002：16 仿真研究.汽车工程，1998,20(4)：212 [8]王划一，杨西侠，林家恒，现代控制理论基础/面向21世纪高 [4]You SS.Chai Y H.Multi-objective control synthesis:an applica" 等院校教材.北京：国防工业出版社，2004：241 tion to 4WS passenger vehicles.Mechatronics.1999.9:363 Automobile rigid multi body handling stability model and its stability analysis LIU Jinxia,ZHANG Wenming,ZHA NG Guofen Civil and Environmental Engineering School,University of Science and Technology Beijing.Beijing 100083.China ABSTRACT A new 6DOF (six degree of freedom)twoaxle automobile multi-body handling stability model was developed by the Roberson-Wittenburg method.In the model,a suspension system was taken into account. On this base,automobile handling stability was analyzed further by the Hurwitz theorem.The results show that an automobile with nice stable ride performance should follow two necessary conditions:the product of the square of rear bearing spring effective range and the rear suspension single side spring constant should be more than that of the square of front bearing spring effective range and the front suspension single side spring con- stant;the product of the mass hold by rear axle and the front tyre lateral stiffness should be more than the prod- uct of the mass hold by front axle and the rear tyre lateral stiffness.The second condition complements the de- duced condition from a classic 2DOF automobile handling stability model. KEY WORDS automobile;rigid multi-body dynamics;steering stability;suspension system
参 考 文 献 ［1］ 张会明．汽车操纵稳定性的研究．华东交通大学学报2004 21（2）：104 ［2］ 余志生．汽车理论．3版．北京：机械工业出版社2001：103 ［3］ 崔胜民肖利寿宋宝玉等．汽车操纵动力学十八自由度模型 仿真研究．汽车工程199820（4）：212 ［4］ You S SChai Y H．Mult-i objective control synthesis：an application to4WS passenger vehicles．Mechatronics19999：363 ［5］ 袁士杰吕哲勤．多刚体系统动力学．北京：北京理工大学出 版社1992：117 ［6］ 洪嘉振．计算多体系统动力学．北京：高等教育出版社1999： 98 ［7］ 郑大钟．线性系统理论．北京：清华出版社2002：16 ［8］ 王划一杨西侠林家恒．现代控制理论基础／面向21世纪高 等院校教材．北京：国防工业出版社2004：241 Automobile rigid mult-i body handling stability model and its stability analysis LIU JinxiaZHA NG WenmingZHA NG Guofen Civil and Environmental Engineering SchoolUniversity of Science and Technology BeijingBeijing100083China ABSTRACT A new 6DOF （six degree of freedom） two-axle automobile mult-i body handling stability model was developed by the Roberson-Wittenburg method．In the modela suspension system was taken into account． On this baseautomobile handling stability was analyzed further by the Hurwitz theorem．The results show that an automobile with nice stable ride performance should follow two necessary conditions：the product of the square of rear bearing spring effective range and the rear suspension single side spring constant should be more than that of the square of front bearing spring effective range and the front suspension single side spring constant；the product of the mass hold by rear axle and the front tyre lateral stiffness should be more than the product of the mass hold by front axle and the rear tyre lateral stiffness．The second condition complements the deduced condition from a classic2DOF automobile handling stability model． KEY WORDS automobile；rigid mult-i body dynamics；steering stability；suspension system 第7期 刘晋霞等： 汽车多刚体操纵稳定性模型及稳定性分析 ·743·