工序能力指数的统计分析及改进

D0I:10.13374/i.issm1001053x.2001.02.023 第26卷第2期 北京科技大学学报 VoL.26 No.2 2004年4月 Journal of University of Science and Technology Beijing Apr.2004 工序能力指数的统计分析及改进 刘阶萍1)罗振壁)陈禹六) 1)北京交通大学机械工程系，北京1000442)清华大学工业工程系，北京1000843)清华大学自动化系，北京100084 摘要为了提高制造过程质量，预防和减少不合格产品的数量，必须选用高效的控制方法 对制造过程进行质量控制.针对当前工序能力指数C,和Ct应用不足，难以指导质量问题原因 查找和改进方向的缺点，提出了适于现场应用的三个过程能力测度指标C,C和C,用于反 映和控制过程质量的分散和偏移.通过具体应用实例，证明了改进指标的适用性， 关键词质量控制：统计分析：随机抽样 分类号TS101.9 制造过程各工序是产品质量形成的最基本 分布中心与公差中心的相对偏移系数 环节.因此，要保证产品质量，预防不合格品的发 若工序公差T采用3σ容差制原则设计，工 生，必须搞好工序质量控制.本文首先介绍了统 序能力指数的判断标准如表1所示 计方法在制造过程质量控制中的应用，讨论了基 表1工序能力指数判断标准 于抽样检验方法的过程能力指数C,和C:的估计 Table 1 Judgment criteria on process capacity index 偏差，结合当前C,和Ct在应用上的不足提出了 工序能力等级 工序能力指数工序能力判断 适于现场应用的三个过程能力测度指标C,C 特级 C>1.67 过剩 和C,并通过实例进行了具体地分析. 一级 1.67≥C,>1.33 充足 二级 1.33≥C>1 正常 1工序能力指数和的统计分析 三级 1≥C,>0.67 不足 四级 C,≤0.67 严重不足 工序能力分析是一种高级的统计控制方法， 在工序质量控制中，应用较多的是工序能力指数 为了实施工序的质量控制，需要对生产过程 C,和Ct.工序能力指数表示工序能力满足工序 这一动态总体进行随机抽样，由采集的样本数据 质量标准（公差、工序质量规格）要求程度的量 计算样本平均值x及样本标准差5，用以估计总 值.若工序公差为T,公差上、下限分别为T和T, 体平均值“和总体标准差。，然而，这种基于样 工序质量分布的标准偏差为σ，则 本得到的C,估计值C,往往会带来估计偏差， C.da (1) 单纯随机抽样法常常采用查随机表或抽签 6 等方法产生的随机数完成样本的抽取，因此，在 但实际质量数据分布中心与公差中心并不 制造系统中几乎不被采用，分层随机抽样法是将 总是重合的，在质量数据分布中心与公差中心不 总体进行分层，然后再从各层中抽取样本的方 一致时，需要进行修正计算，修正后的工序能力 法，但由于手续麻烦，在制造系统中也不被使用， 指数： n=上-Iu-T-2△(1-kC,(2) 整群随机抽样法是每次抽取n(>l,最好是n>5) Ca=min30 30 60 T到是 个样本的抽样方法.整群随机抽样法常常用于大 式中，4为工序质量分布的期望值，△=u- 2 量流水生产的统计过程控制.系统随机抽样法是 分布中心和公差中心的绝对偏移量，6治7是 在时间或空间上按一定间隔抽取样本的抽样方 法，系统随机抽样法是经常使用的方法，例如每 收籍日期2002-09-26 刘阶萍女，30岁，博士后 隔10个工件抽取一个样本或间隔1h抽取一个 *国家自然科学基金重点资助项目N0.59735100) 样本，等等

第 2 6卷 第 2期 2 0 4年 4月 北 京 科 技 大 学 学 报 JO u r n a l o f U n v i e比 t iy o f S c e i n e e n a d eT 卜c n o lo g y B e j i n g i V b L2 6 N o .2 P .r A2 0 4 工序能力指数的统计分析及改进 刘 阶萍 ’ ,3) 罗振璧 ” 陈 禹六 ” l )北 京交通 大学机 械工程 系 , 北京 10 0 0 4 2 ) 清 华大 学工 业 工 程系 , 北 京 10 0 0 84 3 ) 清华 大学 自动化 系 , 北京 10 0 0 8 4 摘 要 为 了提 高制造 过程 质量 , 预防和 减少 不合格 产 品的数 量 , 必 须选用 高效 的控制 方法 对制 造过程 进行质 量控 制 . 针对 当前 工序 能力指数 q 和 q 应用不足 , 难 以指导质 量 问题 原 因 查 找和 改进方 向的缺 点 , 提 出 了适 于现场 应用 的三 个过程 能 力测度 指标 昧 , 昧 和 昧 , 用 于反 映和 控制 过程质 量 的分散 和偏 移 通过 具体 应用 实例 , 证 明了改进 指标 的适用 性 . 关键 词 质量控 制 ; 统 计分 析 ; 随 机抽样 分 类号 T S 101 9 制 造 过程 各 工 序 是 产 品质 量 形 成 的 最 基本 环 节 . 因此 , 要保 证产 品质量 , 预 防不 合格 品 的发 生 , 必须搞 好 工序 质量 控 制 . 本 文首 先介 绍 了统 计 方法在制造 过程 质量控 制 中的应 用 , 讨论 了基 于 抽样 检 验方 法 的过 程 能力 指数 G 和 味 的 估计 偏 差 , 结合 当前 q 和味 在 应用 上 的 不足 提 出 了 适 于现 场 应 用 的三 个过 程 能力 测 度 指 标 q . , 味 和嵘 , 并通 过 实例 进行 了具体 地分 析 . 1 工 序 能 力指 数和 的统 计分 析 工 序能 力分 析是 一种 高级的统 计控 制 方法 . 在工序 质量 控制 中 , 应用较 多 的是工 序能 力指 数 G 和 G , `, ,2] . 工 序 能力 指数表 示 工序 能力满 足工序 质 量 标准 ( 公差 、 工序 质量 规 格 ) 要 求 程度 的量 值 . 若 工 序 公差 为 T , 公 差上 、 下 限分 别为 几 和天 , 工 序质 量 分布 的标 准偏 差 为。 , 则 几一 LT 6 口 但 实 际质 量 数 据 分布 中心 与 公 差 中心 并不 总 是重合 的 , 在 质 量数据 分布 中心 与公 差 中心不 一致 时 , 需要进 行 修正 计算 . 修正 后 的工 序 能力 指数 : 。 _ _ _ _ _ _ l几一 召 材一 双 } 几 一 双一 2△ , , , 、 。 C 七二 r n i n 考生长止户幼竺 } = 立竺 一止泛` ` 二二 = ( l 一 k) C ( 2、 一 匹 “ “ “ 1 3 a ’ 3 叮 1 6 叮 、 ` ’ 、 , 、 p 、 二 , 平 、 ` . 、 一 、 ` 二 _ , 、 、 二 , 、 、 ` _ l 几+ 天 } 。 式 中 , 户为工 序质 量分布 的期 望值 , =A 卜一 兰卫偏兰 }是 ~ 一二 。 一 , J ~ ~ 、 · l· “ ` ,yJ ~ ` ’ 一 厂 2 }凡 分布 中心 和 公差 中 心 的绝 对 偏 移量 , 胜乒午是 jJ ” ` ’ 一 “ ` , ” 曰 ~ ” 目 曰 “ ~ ’ J F网 ’ 岁 ~ ’ ` ’ 几 一 LT ` 收稿 日期 2 0 02 刁9一 6 刘 阶萍 女 , 30 岁 , 博士 后 * 国家 自然科 学基金 重点 资助项 目伽 。 . 5 9 7 3 5 10 0) 分 布 中心 与公 差 中心 的相 对偏 移 系数 . 若 工序 公 差 T 采 用妈 。 容差 制原 则 设计 , 工 序 能 力指 数 的判 断标准 如表 1 所 示 . 表 1 工 序 能力指数 判 断标准 aT b l e 1 J u d g m e n t e ir et iar o n P or 馏 , e a P a ic yt i n d e x 工 序能力 等级 工序 能力指 数 工序 能力判 断 特级 q 习 .6 7 过剩 一 级 L 6 7 ) C >l , 3 充足 二 级 1 . 3 〕 q 习 正 常 三级 1 ) q > .0 67 不足 四级 q 毛.0 6 7 严重 不足 为 了实施工 序 的质量 控制 , 需要对 生产 过程 这一 动态 总体进 行 随机 抽 样 , 由采集 的样 本数据 计 算 样本 平均 值 , 及 样本 标准 差舍 , 用 以估 计总 体 平 均值 召 和 总体标 准差 。 . 然 而 , 这 种基 于样 本 得 到的 G 估 计值氛往 往会 带来 估 计偏 差 . 单 纯 随机 抽 样 法 常 常采 用 查 随 机表 或 抽 签 等方法 产 生 的随机 数完 成 样本 的抽 取 , 因此 , 在 制造 系统 中几 乎不被 采用 . 分 层 随机抽样 法是 将 总 体进 行 分层 , 然 后 再从 各 层 中抽 取 样本 的方 法 , 但 由于手 续麻烦 , 在 制造 系统 中也不被 使用 . 整 群 随 机 抽 样 法 是 每 次 抽 取 n (n 习 , 最 好 是 n > 5) 个样 本 的抽 样方 法 . 整群 随机抽 样法 常常 用于 大 量流 水生 产的统 计过 程控 制 . 系统 随机抽 样法 是 在 时间 或 空间 上 按一 定 间 隔抽 取 样本 的抽样 方 法 . 系统 随机 抽 样法 是经 常 使用 的方 法 , 例 如每 隔 10 个 工 件抽 取一 个 样本 或 间隔 l h 抽取 一个 样 本 , 等 等 , 一 一疮T p 一J ù 6 q 一 DOI: 10. 13374 /j . issn1001 -053x. 2004. 02. 023

Vol.26 No.2 刘阶萍等：工序能力指数的统计分析及改进 *207· (I)基于系统随机抽样方法的C,统计分析， 1.2 通常用样本的标准差S作为σ的估计值，故可 1.0 用C=。作为C的估计，由式有 0.8 c-5 (3) 60.6 假定按等时间间隔抽取了n个样本(c,x,)进 0.4 行处理，样本的平均值x及标准差$分别为 0.2 x=12x (4) n Fl 1 21 416181101 1工(x-对 3m- (5) 在用样本标准差S对σ进行估计时，由于” 图1系统随机抽样方式的C,统计偏差 G2 Fig.1 Statistical error of C,in the systematic random sam- (n-1),故有 pling manner "+r (6) 组样本，每组连续抽取m个样本，其样本可以表 n-1 2 X1Ix12·x1m 令=7，则 示为a… 绍腾 lxaa…xnJ (7) 每组样本的平均值和标准差为： 根据式(3)，有 品 (11) 8=-对 (12) 8c (8) 全部样本的均值x与标准差S为： ∑x (13) 式中，r为阶矩，(·)为伽玛函数 1 从式(8)可知，C,是C,的有偏估计，令 = (14) (9) 假定每组样本服从正态分布，则用平均标准 差$作为的估计时，有”m-,根据式 则 C,=b·EC,) (10) (13)以及分布的定理，有 式中，b为修正系数，以保证C,是C,的无偏估计， mm-) (15) 式(9)说明修正系数b.是随样本容量n变化 的，b与n的关系见表2.图1是修正系数bn随样本 因此，有 容量n的变化曲线. (16) 表2系统随机抽样法不同样本容量下的b值 Table 2 Values of b,under different sample values using the systematic random sampling method n20406080100 ”4得 b.0.96190.98110.98740.99060.9925 根据式(3)，有 从图1中可知，只有当样本容量n增大使b,趋 (17) 近1时，EC,)才趋近C.因此，当n>100时，C,可 视为C,的渐近无偏估计.为了保证C,对C,的有效 式中，为阶矩.从式(17)可知，整群随机抽样法计 估计，必须对C,进行修正，修正系数为b. 算的C也是C,的有偏估计.同样，令 (2)基于整群随机抽样方法的统计分析. ml-+1) 2 在整群随机抽样中，假设等时间间隔抽取1 ml n=ml (18) r(ml-h 2

V b】 . 2 6 N 0 . 2 刘 阶萍 等 :工 序 能 力指 数 的统计 分析 及 改进 . 20, . ( l) 基 于 系 统 随机抽 样 方 法 的二统 计 分析 . 通 常用 样本 的标准 差兮作 为 6 的估 计值 , 故可 。 夯 几 一 兀 , 二 、 r 。 “ ~ 、 : 一 一 了 · 、 一 用 q = 土巴二岌毕作 为 q 的估计 . 由式 ( l) 有 65 ’ 一 ’ 一 ” ” 一 - · · 一 久 vT 一 TL 6 。 C = 创匕箫址= 临令C (3 、 65 5 假 定按等 时 间 间隔抽取 了n 个样 本 xl( , … 几)进 行 处 理 , 样 本 的平 均值无及 标准 差兮分别 为 石 0 . 6 , 一 土 公 , . 一 -~ ~ ~ . . , ~ . . . . . 州. 厂 n =1 1 华 /共氛 一汗 丫 n 一 i 问 2 1 4 1 6 1 8 1 10 1 在 用 样 本 标 准 差兮对 。 进 行 估 计 时 , 由 于 丫( n 一 l ) , 故 有 n 图 1 系统 随机 抽 样方 式 的 q 统 计偏 差 F ig · 1 S t a itS ict a l e r or r o f CP in t h e s y s t e m a t i c r a n d o m s a m - P iln g m a n n e r 片`月J 。一 一n记 (6) 组样 本 , 每 组连 续 抽 取 m 个 样 本 , 其样 本 可 以表 阮!医卜厂医 示 为 令 ; 一 合 , 贝。 梢果)鲁 梢 一图借 X 12 ” ’ X l。 工 22 ” ’ 丸。 工。 ” ` X 俪 ( 7) 根据 式 (3 ) , 有 、 l r { 卫具1 一矛食 、 ! n .丁 t 乙 J ~ 。 、 乙 几七 , ) = l , 二尸 I — 七 。 t 石 j 气乙 ) 一 I 刀 l l ! 尸石尸 l 气艺 ) 每 组 样本 的平 均值 和 标准 差 为 : ; 一 生兹 及一 丫茄布忍xu( 一 动 Z 全 部样 本 的均 值又与 标准 差 兮为 : ( 11) ( 12 ) 、产少. ,J 4 .1. 心 了.、 . 式 中 , ; 为阶 矩 , (r · ) 为伽 玛 函数 . 从 式 ( 8) 可 知 , G 是 G 的有偏 估计 , 令 , _ 、 二 r 阵1 I 乙 1 2 叹乙 ) , 八 、 D , = l— I 一下 , , 一几下丁 t , ) 、 n 少 T I鉴生 I 气 乙 ) , 一 摊 元 、 一 厂 一r ! , 户 . . ù了一, 十一一ì 工才, , 一一`不, , ù, ù一卜ǐ 一十碑l,矛”不 . `一,ù, 一六 卜山咕们,尹工r一 、 `乙刹“,, 、少. 洲叮一一=ù, 则), 则 G 一 bn · (E色) ( 10 ) 式 中 , b 。 为 修正 系 数 , 以保证氮是 q 的无 偏 估计 . 式 (9 ) 说 明修 正 系 数 b , 是 随样 本容 量 n 变 化 的 , 瓦与 n 的关 系见 表 2 , 图 1 是修 正 系数 b 。 随样 本 容量 n 的变 化 曲线 . 假 定每 组样 本 服 从正 态分 布 , 则用平 均 标准 一 食 , 。 、 , 二 , _ , . 、 . _ , 一 m ls 矛 , 「 , , . 、 1 , 。 , 一 , 、 差夕作 为“ 的估 计 时 , 有竺箫公交2 l l( m 一 ` )], 根据 式 ( 13) 以及了分布 的 定理 , 有 丝星 ~ , { l( 。 _ 1、 1 丫 人 r 、 … ` 2 ) ( 15) 因此 , 有 ( 16 ) 表 2 系统随 机抽样 法 不同 样本 容量下 的氏值 aT b l e 2 Va lu e s o f b , u n d e r d i幻re r e n t s a m P l e v a l u e s u s i n g t h e s y s t e m a it e r a n d o m s a m P il n g m e t h o d n 2 0 4 0 6 0 8 0 10 0 b , 0 . 9 6 1 9 0 . 9 8 1 1 0 . 9 8 7 4 0 . 9 9 06 0 . 9 925 令 l 犷 = 了 , 从 图 1 中可知 , 只有 当样 本容 量 n 增 大使 b ( 17 一八q 趋可 ) 近 1 时 , (E 色) 才趋 近 二 . 因此 , 当。 > 10 0 时 , 视为 CP 的渐 近 无偏 估计 . 为 了保 证氮对 q 的有 效 估 计 , 必 须 对之进行 修 正 , 修 正 系数 为氏 (2 ) 基 于整 群 随机 抽样 方 法 的统 计分 析 . 在 整 群 随机抽 样 中 , 假 设 等 时 间 间隔抽 取 l 式 中 , ; 为阶矩 . 从 式 ( 1 7) 可知 , 整 群 随机抽 样法 计 算 的氛也 是二 的有 偏 估计 . 同样 , 令 一 (m l一+1 1、 . 、 土 1 1 ~ es 下丁es es es l I 乙 1 Z t 乙 J , , . 。 、 D 。 = l , 甲 7 1 e es 下了兮了一 不一 , 刀 = 脚 l 【1 6 ) 、 m ` , r l些鉴三l L 乙 )

·208· 北京科技大学学报 2004年第2期 得 C,=b.·EC,) (19) 考虑随机抽样方法及样本容量n带来的估计偏差 式中，b,为修正系数，以保证C,是C,的无偏估计. 时，实际的判断标准则需增加一个修正系数b。 根据上述分析可知，为保证整群随机抽样方 因此，通常只有专业人员才使用这些方法进行工 式下的C可以作为C的有效估计，必须对C,值进 序质量的判断和控制，不便于现场的应用和管 行修正.修正系数bn随样本容量n变化，表3列出 理，另外，C只是综合地反映了工序质量分布的 了不同样本容量下的b值.图2是修正系数b随 期望值μ相对于公差中心T的绝对偏差，很难用 样本组数l(I=n/m)的变化曲线 于质量问题的原因查找和改进方向的指导，因 此，有必要建立一组实用化的工序能力测度指 表3整群随机抽样法在不同样本容量下的b值 标，以更准确、更灵敏地反映过程质量的偏移和 Table 3 Values of b,under different sample values using grouped random sampling method 分散情况，为现场质量问题的查找和改进提供更 6. 实用有效的工具. 0.8806 表4C,和Ct的判断标准对应值 P 0.8875 Table 4 Comparison between judgment criteria on C,and 12 0.8898 Ci 16 0.8909 容差制C,的理论判断标准值C,的实际判断标准值 20 0.8916 ±30 1.00 g 3 0.8978 ±4o 1.33 1.33b. 6 0.9053 ±50 1.67 1.67b. 9 0.9078 土60 2.00 2.00b. 12 0.9091 15 0.9098 在单峰的正态分布假设下，分别定义过程分 Ct的统计分析较为复杂.Rodrigaez对Cm的 散能力指数C、过程偏移能力指数C和过程综 估计偏差进行了研究，发现随C,的增加，估计偏 合能力指数Cx: 差增加：而在相同的C,值条件下，随着偏移系数 Cn==3 (20) k的增加，估计偏差减少：在C,值和偏移量固定的 条件下，随着样本含量的增加，估计偏差明显减 Ch= (21) 少， C3 m到-c (22) 8=u-T (23) 式中，σ为设计规定的标准差：G为质量特性值的 0.898 标准差：6为质量特性均值4与设计目标值Tm的 差：T和T分别为公差上、下限. 0.894 根据式(1)和(20)，有 0.890 G1-0-c (24) 式中，A由设计工序公差T时采用的容差土Aσ制决 0.886 定 12 3 45 6 根据式(24)和表4分析可知，采用±Ac容差制 图2整群随机抽样(n=ml,m=5)下C,的统计偏差 设计工序公差T时C,的理论判断标准为子，C在 Fig.2 Statistical error of C,in the grouped random samp- 任何容差制设计情况下的理论判断标准都为1， ling manner 3Cs,C和Ce的统计分析 2工序能力测度指标C,Ce和C 由于质量特性值4的均值和标准偏差σ未知， 当工序公差T的设计采用不同的容差制时， 因此，在应用时都是利用样本平均值x和标准差 工序能力指数C,的理论判断标准如表4所示，当 S分别作为质量特性的均值4和标准差的估计

. 2 0 8 - 北 京 科 技 大 学 学 报 2 0 0 4 年 第 2 期 得 q = 。 , · (E 己) ( 19 ) 式 中 , b 。 为修 正 系 数 , 以保证氛是 q 的无偏 估 计 . 根据 上述 分析 可 知 , 为保 证整 群 随机抽 样 方 式 下 的氛可 以作 为C 的有效估 计 , 必 须对 己值 进 行修 正 . 修 正系 数 b , 随样 本容 量 n 变 化 , 表 3 列 出 了不 同样本 容 量下 的瓦值 . 图 2 是修 正 系数 b 。 随 样 本 组数 l l( 二 n/ m ) 的变化 曲线 . 表 3 整群 随机抽 样法 在不 同样本 容 量下 的b 。 值 aT b l e 3 Va l u e s o f b 。 u n d e r d i fe er n t s a m P l e v a l u e s u s in g g r o u P e d r a n d o m s a m Pil n g m e th o d m l b 。 4 0 . 8 8 0 6 8 0 . 8 8 7 5 5 12 0 . 8 8 9 8 16 0 . 8 9 0 9 2 0 0 . 8 9 1 6 3 0 . 8 9 7 8 6 0 . 9 0 5 3 6 9 0 . 9 0 7 8 1 2 0 . 9 0 9 1 1 5 0 . 9 0 9 8 考虑 随机 抽样 方法及 样 本容量 n 带来 的估计 偏差 时 , 实 际 的判 断标 准 则需 增加 一 个修 正 系数 bn . 因此 , 通 常 只有专 业人 员才 使用 这些 方法进 行工 序质 量 的判 断和 控 制 , 不 便于 现场 的应用 和 管 理 . 另外 , q k 只 是综 合地 反 映 了工序 质量 分 布 的 期望 值尸相 对 于公 差 中心 几 的绝对 偏 差 , 很 难用 于质 量 问题 的 原 因查 找和 改进 方 向的指 导 . 因 此 , 有 必 要 建立 一 组 实用 化 的工 序 能 力测 度 指 标 , 以更准 确 、 更灵 敏地 反 映过 程质 量 的偏 移和 分散 情况 , 为现 场质 量 问题 的查 找和 改进提 供更 实用 有 效 的工 具【3] . 表 4 q 和 味 的判断标 准对 应值 aT b le 4 C o m P a ir s o n b e wt e e n j u d g m e n t e ir t e iar o n q a n d C , 容差 制 二 的理论 判断标 准值 几的实 际判 断标准 值 士 3 a I . 0 0 b 。 士 4 a 1 . 3 3 l . 3 3 b , 士 5 口 1 . 6 7 l . 6 7b 。 士 6 a 2 . 0 0 2 . 0 0 b , 在 单峰 的正 态分 布假 设 下 , 分别 定义 过程 分 散能 力指 数昧 、 过程 偏移 能 力指 数嵘 和过 程 综 合 能 力指 数 味 : 、产、. 、产` 、产、. n , 1 气乙1 ù内乙`, 了气. 护 ` 了、`、 q 一A3 一I ól 一d 味 的统 计分 析较 为 复杂 . R o 面g ae z 对 q 、 的 估 计偏 差进 行 了研 究 , 发现 随 q 的增 加 , 估 计偏 差增 加 ; 而 在相 同的二值 条 件 下 , 随着 偏 移 系数 k 的增 加 , 估计偏 差减 少 ; 在 q 值 和 偏移 量 固定 的 条件 下 , 随着样 本 含量 的增 加 , 估 计 偏差 明显减 少 . 昧 J 氏 味 。 3 . 14 “ 一 不 } }不 , 一“ }1 3 ~ 七、 = 一万万 11 1 11 1~ 育 - es 一 . J一言一一 r 二 一下万七 n k 戏 t J ia ’ j 氏 j A 0 . 8 9 8 0 . 8 9 4 0 . 8 9 0 0 . 8 8 6 6 7 8 图 2 整群 随机抽 样 (n = m l , m = 5) 下 q 的统 计偏差 F i g · 2 S t a it s t i e a l e r r o r o f q i n t h e g or u P e d r a n d o m s a . P - li n g m a n n e r 2 工 序 能力测 度指标 C s , 昧和 嵘 当 工 序 公 差 T的 设计 采 用 不 同 的容 差 制 时 , 工 序能 力指 数 G 的理 论判 断标 准 如表 4 所 示 . 当 占二召一 mT ( 23 ) 式 中 , 。 为 设计规 定 的标 准 差 ; 氏 为质 量特 性 值 的 标 准 差 ; 咨为 质 量 特 性 均 值尸与 设 计 目标 值 mT 的 差 ; uT 和 兀 分别 为 公差 上 、 下 限 . 根据 式 ( l )和 ( 2 0 ) , 有 ~ 厂 , 一 厂 ZA 口 A ~ C = 址旨兰 二 = 摆李兰 = 毛争C南 f 24 、 一p 6氏 6氏 3 ~ 声 沪刀 式 中 , A 由设计 工序 公 差 T 时采用 的容差划 。 制决 定 . 根 据式 (2 4) 和 表 4 分 析可 知 , 采用 划 。 容差 制 、 。 、 , 一 ~ , 、 一 ~ ~ 。 二 。 , , 、 二 、 卜 , ` , . _ 、一 、 , A ~ 一 设计 工 序公 差 T 时 G 的理 论 判断 标准 为令 , ~ ` ’ 几 在 一 ` J 曰 ~ 一 ” J 一 p 目 J ~ r . / ” W ’ l,lA ’ 件 月 3 ’ ~ 脚 陈 任何 容 差制 设计 情况 下 的理 论判 断 标准 都 为 1 . 3 csn , 昧和 嵘的统 计 分 析 由于质 量特性 值产的均值 和标 准偏 差氏 未知 , 因此 , 在应 用 时都 是 利用 样本 平 均值无和标 准 差 S 分 别 作 为 质 量特 性 的均 值尸和 标 准 差 ia 的 估计

Vol.26 No.2 刘阶萍等：工序能力指数的统计分析及改进 ·209◆ 值，得到估计值C 判断标准都为其理论判断标准，不需要考虑估计 在系统随机抽样法中用样本标准差S对σ，进 偏差，表5为图3中4种样本分布的工序能力指 行估计时，由于 一2(n-1),故有 标的计算结果.根据表5的计算结果，可以得出： (1)1#样本和2#样本的C,≥1（或在±5σ容差制 - (25) 设计原则下C,≥1.67)，可以得出1#样本和2#样本 的分散度满足设计要求.3#样本和4#样本的C 令r=,则 <1(或在±5o容差制设计原则下C,<1.67),因此有 3#样本和4#样本的分散度不满足设计要求. 得 (26) (2)2#样本的Cx≥1（或在±5σ容差制设计原则 下C≥1.67)，可以得出2#样本的偏移度满足设计 根据式(20)，得 要求.1#样本、3#样本和4饼样本的偏移度不满足 -引 要求 27) (3)由于1#样本和4#样本的C<0,可以得出 1#样本和4#样本向左偏离，2#样本向右偏离，3# 式中，n是样本的数量，r为阶矩.令 样本无偏离. a- 根据上述分析，可以得出如下结论：2#样本 (28) 的工序质量在控制范围内；1#样本的工序质量由 2 从式(28)和(9)可知，Cm的修正系数b值同C,. 于偏离原因造成失控，应采取适当的措施向C 相反的方向进行质量改进：3#样本和4#样本的工 同理，在整群随机抽样方法中的修正系数值也 同C.C的统计分析较为复杂，可以证明Cx的修 序质量由于分散的原因造成失控，应采取适当措 正系数f同Ct.在实际应用中，可近似为b,即 施提高加工精度， ￡≈b.用样本标准差x作为4的估计时，得到C 表5图3示例的各种工序能力指标的计算结果 根据式(21)，有 Table 5 Computing results of indices in figure3 EC)=-工--工=C (29) 序号C, C C 14.172.500 0 -5.00 因此可以得出，C是C的无偏估计， 2 2.781.671.671.002.00 1.390.831.390.83 0 4Cp,Ct与Cs,C,Cx的比较 41.390.830.830.50-2.00 图3是在完全检验方式下的几种典型分布情 况.由于是完全检验，Cp,C,C,C和Cx的实际 5应用实例 T T 某汽车发动机生产厂于1995年正式投入使 0:=0.001 设计规定（±5o) 6=0 用，其生产线历经了一年的试运行期，已于1996 样本 1.498 1.502 年进入稳定运行阶段.图4为该汽车有限公司发 g-000a4 动机厂2000年缸体生产线的综合设备效率情况. 1# 0,=0.0006 由于1,2月份为该厂的生产线维护和年底休息时 6=0.002 间，故未列出， 0=0.0012 1.499 从图4可知，该生产线2000年的工作状况并 3# 10=0 不理想：(1)该生产线2000年的平均综合设备效 1.494 =0.00121.506 率为59.97%，未达到平均目标值70%，与世界先 4# 6=-0.002 进企业85%的水平差距甚大，主要原因是质量故 1.4921.495 1.500 1.505 障多：(2)该系统的调整时间太长，从3月至6月， 占全年生产时间的40%：(3)只有8月份和9月份 图3各种过程能力指数与系数的计算示例 实现了规定的生产任务：(4)利用率达到峰值后随 Fig.3 Examples of all the process capacity indices and 即持续下降. their computation

Vb L2 6 N 0 . 2 刘 阶 萍等 : 工序 能 力指 数 的统 计分析及 改进 2 09 值 , 得 到估 计 值瓦 二 在 系 统 随 机抽 样 法 中用 样 本 标 准 差兮对氏 进 行 估 计 时 , 由于争 州 ” 一 降 n 一 l ) , 故有 2 n 一 l ( 2 5 ) 令 ; 一 告 , 贝。 , ` 、 , _ 、 二 r {引 司立 l 一 }三} 2一产裂了 L 氏 ) L n ) r }奥井l L 乙 ) ( 2 6 ) 根 据式 (20 ) , 得 、 一 、 一 哈、 一 、 鼎 几 (27) 式 中 , n 是 样本 的数 量 , ; 为阶 矩 . 令 , _ 、 二 r {引 吞 , 二 }三 l , 一尸告 ( 2 5 ) 、 n ) r l鉴生 I 气 乙 ) 从式 (28 )和 (9 )可 知 , 氏的修正 系数 氏值 同q . 同理 , 在 整 群 随机 抽 样 方法 中的修正 系数兀值也 同q . 几 的 统计 分 析较 为复 杂 , 可 以证 明 嵘 的修 正 系数石同 xCP . 在 实 际应 用 中 , 不 可 近似 为 瓦 , 即 苏。 b 。 . 用 样 本 标准 差 ; 作 为声的 估计 时 , 得 到瓦 . 根 据式 ( 2 1) , 有 判 断 标准 都 为其理 论判断 标准 , 不需 要 考虑 估计 偏 差 . 表 5 为 图 3 中 4 种 样 本 分布 的工 序 能 力指 标 的计 算结 果 . 根 据 表 5 的计 算 结果 , 可 以得 出 : ( 1) #l 样本和 #2 样本 的 G . 之 l( 或 在土 5 。 容 差制 设 计 原 则下 q 之 1 . 67 ) , 可 以得 出 #l 样 本 和 #2 样本 的分 散 度满 足 设 计 要求 . #3 样本和 #4 样 本 的 味 l< (或在 士 a5 容差 制 设 计 原则 下 q l< . 67 ) , 因此 有 3# 样本 和 4 # 样本 的分 散度 不 满 足 设 计要 求 . (2 )#2 样 本 的味七 l( 或在 士5 。 容 差 制 设 计 原则 下 命全 1 . 67 ) , 可 以得 出 2# 样本 的偏移 度 满足 设计 要 求 . #1 样 本 、 3# 样 本和 4 # 样 本 的偏移 度 不满 足 要 求 . (3 ) 由于 #l 样 本 和 #4 样 本 的 味0< , 可 以得 出 #l 样 本 和 4 # 样本 向左 偏 离 , #2 样 本 向右偏 离 , #3 样本无 偏 离 . 根 据 上述 分 析 , 可 以得 出如 下 结 论 : #2 样 本 的工序质 量在 控 制范 围 内 ; #l 样 本 的工 序质 量 由 于 偏 离 原 因造 成 失 控 , 应 采 取 适 当 的措 施 向味 相 反 的方 向进 行质 量 改进 ; #3 样 本 和 #4 样 本 的工 序质 量 由于分 散的原 因造 成 失控 , 应 采 取 适 当措 施提 高 加 工 精度 . 表 5 图 3 示例 的各 种 工序 能 力指 标 的计 算结 果 aT b le 5 C o m P u it n g er s u lst o f i n d i e e s i n n g u er 3 呱 )城 至予! 一 赞 一 。 (29) 粤 q 嵘 嵘 因此可 以得 出 , 瓦是 G 。 的无 偏 估 计 . 4 C , nkC 与 C s , C e , 几 的 比较 图 3 是在 完全 检 验方 式下 的几种 典型 分布 情 况 . 由于是 完 全检 验 , q , 二 k , 几 , 味 和 味 的 实 际 4 . 17 2 2 . 7 8 3 1 . 3 9 4 1 . 39 0 . 83 0 0 1 . 67 1 . 00 1 . 3 9 0 . 8 3 0 . 8 3 0 . 5 0 一 5 . 0 0 2 0 0 0 一 2 . 00 丘.25083.167 花二 、一 以 J , / 1 . 4 9 8 1 . 5 0 2 ia\ = o , 0 00 4 冷 一0 . 0 0 5 氏 = 0 . 0 00 6 / \ 咨= 0 . 0 0 2 一氏 = 0一 , 0 0 1 2 1 . 5 0 6 之之 9 . 02 , 一一尸一 1 . 4 92 1 . 4 95 1 . 5 0 0 1 . 5 05 图 3 各 种 过程 能力指数 与系 数 的计 算示例 F褚 · 3 E ax m P I e s o f a l t h e P r o e se s e a p a c iyt in d i c e s a n d th e扮 e o m P u加 iot n 5 应 用 实例 某汽 车 发 动 机 生产 厂 于 1 9 95 年 正式 投 入使 用 , 其 生产 线 历 经 了 一年 的试运行 期 , 己于 19 % 年进 入 稳 定运行 阶段 . 图 4 为该 汽 车 有 限公 司发 动机 厂 2 0 0 年缸 体 生产 线 的综合 设 备效 率情 况 . 由于 1 , 2 月份 为 该厂 的 生产 线维 护和 年底 休 息 时 间 , 故 未 列 出 . 从 图 4 可知 , 该 生产 线 20 0 年 的 工作 状 况并 不 理想 : ( 1) 该 生 产线 2 0 0 年 的平 均 综合 设 备效 率 为 59 . 97 % , 未 达 到 平均 目标 值 70 % , 与 世 界先 进企 业 85 % 的水平 差 距甚 大 , 主要 原 因 是质 量 故 障 多 ; (2) 该系 统 的 调整 时 间太 长 , 从 3 月至 6 月 , 占全 年 生 产 时 间 的 4 0% ; (3) 只 有 8 月份 和 9 月份 实现 了规 定 的生产 任务 ; (4) 利用 率达 到 峰值 后随 即持 续下 降

◆210 北京科技大学学报 2004年第2期 算，建议其采用Cm,C和Cx这三个指标控制其生 产工序质量，并开发了相应的算法软件，结果证 明，其技术工人对采用C,C和C控制其工序能 力的方法和工具比较容易接受，效果也很好，该 40 厂2001年缸体的质量提高了0.37%，设备利用率 20 提高了0.22%. 123456789101112 6结论 月份 工序质量控制需要充分利用现场数据快速 图4某汽车发动机厂2000年缸体线综合设备效率 Fig.4 Synthetical equipment efficiencies of the cylinder 识别生产过程质量的稳定性、质量问题的产生原 product line in a mobile engine company in 2000 因及改进方向.传统的工序能力指数C,和Ct需 要操作者对过程产品的设计原则、抽样方式以及 经过调研后证实，尽管该厂已采用Marposs 工序质量控制的判断标准有足够的知识，不适合 测量机计算缸体生产过程中的工序能力指数C 制造现场的应用.本文在C,和Ct应用不足的基 和C值，但其缸体质量仍达不到预期要求.针对 础上，提出了适于现场应用的三个过程能力测度 这种现象，对其C,和C的计算过程进行了调查， 指标Cm,C和Cx,并通过具体应用实例进行了验 发现该厂采用的是整群随机抽样方法.抽样方式 证.结果表明，C,C和C是适合制造企业现场 为每次抽取5个样本，每小时进行一次抽样，每 应用的一种先进的工序质量控制方法， 班次最少抽取6组，每周（执行5天工作制）或每 两周计算一次C,和Ct的值.根据前面分析可知， 参考文献 这种抽样方式(m=5,k=30)下的C,=0.8926EC), 1 Kotz S,Johnson NL.Process capability indices [M].Lon 但在此前该厂并没对其C,计算值采取任何修正 don:Chapman Hall,1993 处理，从而导致其质量控制的不足. 2 Rodriguez R N.Recent development in process capability analysis [J].J Qual Technol,1992,24(4):176 根据以上分析结果，该厂对其缸体生产线的 C,和Ct的计算过程进行了调整，并将0.8926作为 3罗振璧，刘阶萍，陈恳，等.可重组制造系统过程可 诊断性的测度[).清华大学学报，2001,41(2)：347 正式的修正系数列入质量手册.另外，考虑到该 厂中还有大量的手工测量的数据，为了方便计 Statistical Analysis and Improvement of Process Capability Indices LIU Jieping,LUO Zhenbi,CHEN Yuliu 1)Department of Mechanical Engineering,Beijing Jiaotong University,Beijing 100044,China 2)Department of Industrial Engineering.Tsinghua University,Beijing 100084,China 3)Department of Automation,Tsinghua University,Beijing 100084,China ABSTRACT To increase product quality and predict the unqualified products,effective control methods must be selected.Considering the disadvantages of process capability indices C,and C that are hard to help to find the rea- son of quality problems and direct quality improvement,three new indices C,C and C available in real time are introduced to control the scatters and errors.Finally the feasibility of these indices is proved by an application. KEY WORDS quality control;statistical analysis;random sampling

. 2 10 . 北 京 科 技 大 学 学 报 20 4 年 第 2 期 … 撇 算 , 建议 其 采用 几 , 昧 和味 这三 个 指标 控制 其 生 产 工 序 质量 , 并 开发 了相应 的算法 软 件 . 结 果 证 明 , 其技 术 工人 对采 用 q , 味和 味控 制 其工 序能 力 的方 法和 工 具 比较 容 易接 受 , 效果 也很 好 , 该 厂 2 0 01 年 缸体 的质 量 提 高了 .0 3 7% , 设备 利用率 提 高 了 .0 2 2% . o n ù n `U4 芝哥 , 如戴浙呻书 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 1 12 月份 图 4 某汽车 发动 机厂 2 0 0 0 年 缸体 线综 合设 备效 率 F ig · 4 S y n t h e ict a l qe u i P m e n t e if c i e n e i e s o f t h e cy Un d e r P or d u c t il o e i n a m o b il e e n g i n e e o m P a n y in 2 0 0 0 经 过 调研 后证 实 , 尽管 该 厂 己采 用 M娜05 5 测量 机 计 算 缸体 生 产 过 程 中 的工 序 能 力 指 数 G 和味 值 , 但 其 缸体 质 量 仍达 不 到预 期 要求 . 针对 这种 现象 , 对其 q 和 q , 的计 算过 程 进行 了调 查 , 发现 该厂采 用 的是 整群 随机 抽 样方 法 . 抽 样 方式 为每 次抽 取 5 个样 本 , 每 小 时进 行 一 次抽 样 , 每 班 次 最少 抽取 6 组 , 每周 (执 行 5 天工 作 制 ) 或每 两 周 计算 一 次色和色 、 的值 . 根据 前 面分 析 可 知 , 这 种 抽 样 方 式 (m 一 5 , k 一 3 0) 下 的 q 一 0 . 892 6(E 色), 但 在 此 前该 厂 并 没 对 其二 计 算 值采 取 任 何 修 正 处 理 , 从 而 导致其 质 量 控制 的不足 . 根据 以上分 析结 果 , 该 厂对 其 缸体 生 产线 的 q 和 q 、 的计算 过程 进行 了调 整 , 并将 .0 8 92 6作 为 正式 的修 正系 数 列入 质量 手 册 . 另外 , 考虑 到 该 厂 中还 有 大 量 的 手工 测 量 的 数据 , 为 了方 便 计 6 结 论 工 序 质 量 控 制 需 要 充 分 利用 现场 数 据 快 速 识 别生 产过 程质 量 的稳 定性 、 质 量 问题 的产 生原 因及 改进 方 向 . 传 统 的 工序 能 力指 数q 和 味 需 要操 作 者对 过程 产 品 的设计 原则 、 抽 样方 式 以及 工序 质量 控 制 的判 断标准 有足够 的知 识 , 不适 合 制造 现 场 的应 用 . 本文 在 q 和 味应 用 不足 的基 础上 , 提 出了适 于现 场应 用 的三 个过程 能 力测 度 指标 几 , 味 和味 , 并 通过 具 体应 用 实例 进行 了验 证 . 结果 表 明 , 几 , 味 和 q 是适 合制 造 企业 现场 应用 的一种 先进 的工 序质 量 控制 方 法 . 参 考 文 献 1 K o tZ S , J o hn s o n N L . P r o e e s s c即ab i l iyt ind i e e s M[ ] . L on - d o n : C haP m an & H ia l , 19 93 Z OR 面gU e z R N . eR e ent ds v e lOP m e in in Por c e s s e aP ab i l iyt an ly s i s [月 . J Q u a l eT e hn o l , 19 92 , 24 ( 4 ) : 176 3 罗振 璧 , 刘 阶萍 , 陈 恳 , 等 . 可重 组制 造系 统过 程可 诊 断性 的测 度 [ J ] . 清 华大 学学报 , 20 0 1 , 4 1( 2) : 34 7 S t at i s t i e a l A n a ly s i s an d Im P r o v e m e in o f P r o c e s s C ap ab iliyt I n d i c e s LI U iJ 印 i心 刀 , L UO hZ en b i)z , 〔石吸浑 uY ilu 习 l ) D eP a rt m e nt o f M e e h an i e a l E n g in e e r ing , B e ij in g j iao t o n g U n i v e 岛 iyt, B e ijgm 100 04 , C h in a 2 ) D eP 已rt m e nt o f ih du s itr ia E n g ine er in g, sT in hg u a U n 1 v e rS i yt, B e ij in g l 00 0 8 4 , C h i n a 3 ) D eP a rt ln e nt o f A u t o m at i o n , sT in gh u a nU i v e rs i ty, B e ijign l 0 00 84 , C h in a A B S T RA C T oT i n e r e a s e P r o d u c t q au lity an d P r e id e t hte un q au liif e d P r o d u C t s , e fe c t l v e e o n tr o l m e ht o ds r n u` t b e s e l e e et d . C o n s i d e ir n g ht e d i s a d v a n t a g e s o f rP o e e s s e aP ab il iyt in d i e e s q an d 味 t h a t aer h ar d t o he lP t o if n d het er a · s on o f q us liyt Por b l e m s an d d ier e t q ua l iyt im P r vo em nt , htr e e en w idn i e e s 味 , 昧 助d 味 va ia l ab l e in er al it m e aer i n tr o d u c e d t o e o n tr o l ht e s e at esr a n d e r o sr . F in al ly ht e fe a s i b iliyt o f ht e s e in d i e e s 1 5 Por v e d 勿 an aP Pli e iat on . K E Y W O R D S q u a li yt e o n tr o l: s at i s it e a l an a l y s i s ; r an d om s am Plign