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第3期 张蕾等：不确定离散时滞系统的鲁棒H©控制 .325. 下形式： Y+EXEt+GXG'GB≤0 △A1=EF(k)G1,△A2=E2F2(k)G2, 其中， △B1=E3F3(k)G3,△C1=E4F4(k)G4, Xp=diagl,zI,…,lp, △C2=E5F5(k)G6,△D1=E6F6(k)G6· X=diag41o1,lg…,l,. 其中E:和G(i=1,2,…,6)是已知的适当维数的 则对所有满足FFa≤I。的Fa= 常数矩阵，F:(k)∈R9满足 F F(k)F(k)≤L,i=1,2,…,6 (2) F2 定义1考虑系统 ,F,∈Rx9(i=1,2,,N), x(k+1)=f(x(k),x(k-l),k) (3) F 如果存在V(x(k),k)和正数a1,2,s及K类函 数1o中(r),(r)使得 ,下式成立， ①$（‖x(k)‖）≤V(x(k),k)≤ Y+EFaG+GiFE<0. 24(‖x(k)‖)， ②△V(x(k),k)l③≤-ag‖x(k)‖2， 2主要结果 则称系统（③）是二次稳定的. 考虑系统(1)在状态反馈控制律“(k)= 定义2对于系统(1)，如果存在线性状态反馈 Kx(k)十Lx(k一I)下的二次稳定性，这时闭环系 控制器 统状态表达式为： u(k)=Kr(k)十Lx(k-l), x(k+1)=(A1+BK+△A1+△BK)x(k)+(A2+ 其中，K∈RmX,L∈Rmxm.称系统(1)是具有 B1L十△A2十△B1L)x(k一I)十B2O(k) H∞范数界Y鲁棒可镇定的，如果下列条件满足： z(k)=(C+D1K+△C1+△D1K)x(k)+(C2+ ①O(k)三0时，闭环系统是二次稳定的； D1L+△C2+△D1L)x(k-I)+D2O(k) ②给定正常数Y,在零初始条件下，满足H∞ (4) 范数约束条件z(k)z≤Y四(k)2 定理1给定一常数Y>0,如果存在对称正定 引理)给定适当维数的对称矩阵Y和适当 矩阵P、S以及矩阵K、L,使得对于任意满足式(2) 维数的矩阵E6和G6,如果存在正常数：(=1,2， 的F:(k)(i=1,2,…,6),下列不等式成立： …,N),使得 -p-l A1十B1K+△A1十△B1KA2+B1L十△A2十△B1LB2 0 0 （A1+B1K+△A1+△B1)T -P 0 0(C+D1K+△C1+AD1T (A2+B1L+△A2+△B1L)T 0 -S 0 (C2+D1L+△C2+△D1L)T 0 <0 品 0 0 -y21 D 0 0 CI+DIK+AC1+△D1KC2+D1L+△C2+△D1LD2 一1 0 0 0 0 -S (5) 则闭环系统(4)（当(k)=0时）是二次稳定的，且 如果式(5)成立，则有P>0,S>0.令 在零初始条件下有： ‖z(k)‖2≤y‖o(k)I‖2，Ho(k)∈L2[0,∞)- V(x(k),k)=x"(k)Px(k)+ (s( 证明：为简便起见，记 (6) x=x(k),x=x(k一I),0=0(k), 则V(x(k),k)正定，且满足定义1中的条件①，把 A=A1十B1K十△A1十△B1-K, 它作为系统(4)的Lyapunov函数. B=A2+B1L十△A2十△B1L, 当o(k)=0时，Lyapunov函数(6)沿闭环系统 C=C1+D1K+AC1十AD1K, (4)的前向差分为： D=C2+D1L十△C2十△DL. △V(x(k),k)l(④=(Ax+Bx)P(Ar+Bx)-下形式： ΔA1＝ E1F1（ k） G1ΔA2＝ E2F2（ k） G2 ΔB1＝ E3F3（ k） G3ΔC1＝ E4F4（ k） G4 ΔC2＝ E5F5（ k） G5ΔD1＝ E6F6（ k） G6． 其中 Ei 和 Gi（ i＝12…6）是已知的适当维数的 常数矩阵Fi（ k）∈R e i×g i满足 F T i （ k）Fi（ k）≤ Ig ii＝12…6 （2） 定义1 考虑系统 x（ k＋1）＝ f （ x（ k）x（ k— l）k） （3） 如果存在 V（ x（ k）k）和正数 α1α2α3 及 K 类函 数［10］●1（ r）●2（ r）使得 ① α1●1 （‖ x （ k ） ‖） ≤ V （ x （ k ）k ） ≤ α2●2（‖x（ k）‖） ② ΔV（ x（ k）k）｜（3）≤—α3‖x（ k）‖2 则称系统（3）是二次稳定的． 定义2 对于系统（1）如果存在线性状态反馈 控制器 u（ k）＝ Kx（ k）＋ Lx（ k— l） 其中K∈R m× nL∈R m× n．称系统（1）是具有 H∞范数界 γ鲁棒可镇定的如果下列条件满足： ① ω（ k）≡0时闭环系统是二次稳定的； ② 给定正常数 γ在零初始条件下满足 H∞ 范数约束条件‖z（ k）‖2≤γ‖ω（ k）‖2． 引理［3］ 给定适当维数的对称矩阵 Y 和适当 维数的矩阵 Eb 和 Gb如果存在正常数 μi（ i＝12 …N）使得 Y＋ EbXρE T b＋ GbX —1 σ G T b≤0． 其中 Xρ＝diag｛μ1Iρ1μ2Iρ2…μNIρN｝ Xσ＝diag｛μ1Iσ1μ2Iσ2…μNIσN｝． 则 对 所 有 满 足 F T dFd ≤ Iσ 的 Fd ＝ F1 F2 ⋱ FN Fi∈R ρi×σi（ i＝12…N） σ＝ ∑ N i＝1 σi下式成立 Y＋ EbFdGb＋ G T bF T dE T b＜0． 2 主要结果 考虑系统 （1） 在状 态 反 馈 控 制 律 u （ k ） ＝ Kx（ k）＋ Lx（ k— l）下的二次稳定性．这时闭环系 统状态表达式为： x（k＋1）＝（A1＋B1K＋ΔA1＋ΔB1K）x（k）＋（A2＋ B1L＋ΔA2＋ΔB1L） x（ k— l）＋B2ω（ k） z（ k）＝（C1＋ D1K＋ΔC1＋ΔD1K） x（ k）＋（C2＋ D1L＋ΔC2＋ΔD1L） x（ k— l）＋ D2ω（ k） （4） 定理1 给定一常数 γ＞0如果存在对称正定 矩阵 P、S 以及矩阵 K、L使得对于任意满足式（2） 的 Fi（ k）（ i＝12…6）下列不等式成立： — P —1 A1＋ B1K＋ΔA1＋ΔB1K A2＋ B1L＋ΔA2＋ΔB1L B2 0 0 （ A1＋ B1K＋ΔA1＋ΔB1K） T — P 0 0 （ C1＋ D1K＋ΔC1＋ΔD1K） T I （ A2＋ B1L＋ΔA2＋ΔB1L） T 0 — S 0 （ C2＋ D1L＋ΔC2＋ΔD1L） T 0 B T 2 0 0 —γ 2 I D T 2 0 0 C1＋ D1K＋ΔC1＋ΔD1K C2＋ D1L＋ΔC2＋ΔD1L D2 — I 0 0 I 0 0 0 — S —1 ＜0 （5） 则闭环系统（4）（当 ω（ k）＝0时）是二次稳定的且 在零初始条件下有： ‖z（ k）‖2≤γ‖ω（ k）‖2∀ω（ k）∈L2［0∞）． 证明：为简便起见记 x＝x（ k）xl＝x（ k— l）ω＝ω（ k） A＝ A1＋B1K＋ΔA1＋ΔB1— K B＝ A2＋B1L＋ΔA2＋ΔB1L C＝C1＋ D1K＋ΔC1＋ΔD1K D＝C2＋ D1L＋ΔC2＋ΔD1L． 如果式（5）成立则有 P＞0S＞0．令 V（ x（ k）k）＝x T （ k） Px（ k）＋ ∑ k－1 i＝k－l x T （ i） Sx（ i） （6） 则 V（ x（ k）k）正定且满足定义1中的条件①把 它作为系统（4）的 Lyapunov 函数． 当 ω（ k）＝0时Lyapunov 函数（6）沿闭环系统 （4）的前向差分为： ΔV（ x（ k）k）｜（4）＝（ Ax＋Bxl） T P（ Ax＋Bxl）— 第3期 张 蕾等： 不确定离散时滞系统的鲁棒 H∞控制 ·325·