,326 北京科技大学学报 第30卷 x"Px+x"Sx-xiSx=[x"(k)x"(k-1)]. 入(UI)‖x(k)l2. ATPA-P+S AT PB x(k) 由高等代数知识可知入x(U1)<0,令a= BT PA BT PB-SLx(k-1) 一入max(U1),则a>0.从而有 记 △V(x(k),k)l④≤-alx(k)‖2 「ATPA-P+S ATPB 因此定义1中的条件②也满足，所以闭环系统(4) V= BT PA BT PB-S 是二次稳定的， 由Schur补性质可知，不等式(5)成立时，有 另一方面，在零初始条件下，引入 -P1 0 -P0 JF宫：()-r0o BT (7) 0 -S0 对任意的o(k)∈L2[0,o),利用Lyapunov泛函和 0 0 -5-1 零初始条件，从而由文献[4]定理2中的证明有： 再利用Schur补性质，知式(T)等价于U<0.从而 尺空：'(z()Yo()o()+ △V(x(k),k)(= t1s △V(x(k),k)]=2 )5周 其中， 入m(U1)[‖x(k)‖2+‖x(k-)‖2]≤ 5(k)=[x'(k)x'(k-I)0(k)]P, CT C+AT PA-P+S CT D+AT PB CT D2+AT PB2 U2= DC+BT PA DD+BPB-SDD2十BPB2 D C+B PA D:D+B:PB D!D.+B:PB2-Y 由Schur补性质可知，不等式(5)成立时，有 定理2给出这类系统具体的反馈控制器设计 U2<0,从而0.由此得到 方法， ‖z(k)‖2≤y‖o(k)‖2，Ho(k)∈L2[0,∞) 定理2给定一正常数Y,如果存在：0(= 1,2,…,6),以及对称正定矩阵X、Y和矩阵M、N, 综上所述，定理1证毕， 使得 -X十 A1X十B1MA1Y+B阻NB2 0 0 (AIX+T 0 0 (Cx+DIT x (GIX)T 0 (30T(G4)T 0 (AIY+BINT -Y 0 品 0 -21 0 0 CIX+DI M C2Y+DIN D2 E 0 0 0 0 0 0 G2 Y 0 G M G3N 0 0 0 G5 Y 0 GM G6 N 61 (9)x T Px＋x T Sx—x T l Sxl＝［ x T （ k） x T （ k— l）］· A T PA—P＋S A T PB B T PA B T PB—S x（ k） x（ k— l） ‚ 记 U1＝ A T PA—P＋S A T PB B T PA B T PB—S ． 由 Schur 补性质可知‚不等式（5）成立时‚有 —P —1 A B 0 A T —P 0 I B T 0 —S 0 0 I 0 —S —1 ＜0 （7） 再利用 Schur 补性质‚知式（7）等价于 U1＜0．从而 ΔV（ x（ k）‚k）｜（4）＝ ［ x T （ k） x T （ k— l）］ U1 x（ k） x（ k— l） ≤ λmax（ U1）［‖x（ k）‖2＋‖x（ k— l）‖2］≤ λmax（ U1）‖x（ k）‖2． 由高 等 代 数 知 识 可 知 λmax （ U1） ＜0‚令 α＝ —λmax（ U1）‚则 α＞0．从而有 ΔV（ x（ k）‚k）｜（4）≤—α‖x（ k）‖2． 因此定义1中的条件②也满足‚所以闭环系统（4） 是二次稳定的． 另一方面‚在零初始条件下‚引入 J＝ ∑ ∞ k＝0 ［ z T （ k） z（ k）—γ2ω T （ k）ω（ k）］‚ 对任意的 ω（ k）∈L2［0‚∞）‚利用 Lyapunov 泛函和 零初始条件‚从而由文献［4］定理2中的证明有： J≤ ∑ ∞ k＝0 ［ z T （ k） z（ k）—γ2ω T （ k）ω（ k）＋ ΔV（ x（ k）‚k）］＝ ∑ ∞ k＝0 ξ T （ k） U2ξ（ k） （8） 其中‚ ξ（ k）＝［ x T （ k） x T （ k— l） ω T （ k）］ T‚ U2＝ C T C＋ A T PA—P＋S C T D＋ A T PB C T D2＋ A T PB2 D T C＋B T PA D T D＋B T PB—S D T D2＋B T PB2 D T 2 C＋B T 2 PA D T 2 D＋B T 2 PB D T 2 D2＋B T 2 PB2—γ2I ． 由 Schur 补性质可知‚不等式（5）成立时‚有 U2＜0‚从而 J≤0．由此得到 ‖z（ k）‖2≤γ‖ω（ k）‖2‚∀ω（ k）∈L2［0‚∞）． 综上所述‚定理1证毕． 定理2给出这类系统具体的反馈控制器设计 方法． 定理2 给定一正常数 γ‚如果存在εi＞0（ i＝ 1‚2‚…‚6）‚以及对称正定矩阵 X、Y 和矩阵 M、N‚ 使得 － X＋∑ 3 i＝1 εiEiE T i A1X＋ B1M A1Y＋ B1N B2 0 0 0 0 0 0 0 0 （ A1X＋ B1M） T － X 0 0 （ C1X＋ D1M） T X （ G1X） T 0 （ G3M） T （ G4X） T 0 （ G6M） T （ A1Y＋ B1N） T 0 － Y 0 （ C2Y＋ D1N） T 0 0 （ G2Y） T （ G3N） T 0 （ G5Y） T （ G6N） T B T 2 0 0 －γ 2I D T 2 0 0 0 0 0 0 0 0 C1X＋ D1M C2Y＋ D1N D2 － I＋∑ 6 i＝4 εiEiE T i 0 0 0 0 0 0 0 0 X 0 0 0 － Y 0 0 0 0 0 0 0 G1X 0 0 0 0 －ε1I 0 0 0 0 0 0 0 G2Y 0 0 0 0 －ε2I 0 0 0 0 0 G3M G3N 0 0 0 0 0 －ε3I 0 0 0 0 G4X 0 0 0 0 0 0 0 －ε4I 0 0 0 0 G5Y 0 0 0 0 0 0 0 －ε5I 0 0 G6M G6N 0 0 0 0 0 0 0 0 －ε6I ＜0 （9） ·326· 北 京 科 技 大 学 学 报 第30卷