Gauss曲率与平均曲率的意义 谢锡麟 则有 1+ 1+层+后1+层+√1+B+月 fry +f2 1++f1++、1+f+ 层+后1+层+后√1+B+ 所以 +f2 fry 9=计++,=1++1+ ∫x fy 1+B+/元可计算得 + f (1+fa)frr-fa r (x,y) 1++f (1++/(1+B)mM=, frfxr fyfry f2+fy V/1++f (1+f)fry-frfyfyy fy V++1 (1++)3|(1+f)m-J fafry +fy fyy 1++f2 以有 an 1+ f])fxr-frfyfry (1+f2+f2) (,y)=、(1+f)m-f到f=-b an (1+f2+f3)2 由此可得平均曲率 H - bs(1+2)far+(1+f2)fyy-2frfyfxy (1+f+f2)3张量分析讲稿谢锡麟 Gauss 曲率与平均曲率的意义 谢锡麟 则有 ( g 1 g 2 n ) = ( g1 g2 n )−T =   1 + f 2 y 1 + f 2 x + f 2 y −fxfy 1 + f 2 x + f 2 y √ −fx 1 + f 2 x + f 2 y −fxfy 1 + f 2 x + f 2 y 1 + f 2 x 1 + f 2 x + f 2 y −fy √ 1 + f 2 x + f 2 y fx 1 + f 2 x + f 2 y fy 1 + f 2 x + f 2 y 1 √ 1 + f 2 x + f 2 y   , 所以 g 1 = 1 1 + f 2 x + f 2 y   1 + f 2 y −fxfy fx   , g 2 = 1 1 + f 2 x + f 2 y   −fxfy 1 + f 2 x fy   . 由 n = 1 √ 1 + f 2 x + f 2 y   −fx −fy 1   可计算得 ∂n ∂x (x, y) =   ∂ ∂x  √ −fx 1 + f 2 x + f 2 y   ∂ ∂x   −fy √ 1 + f 2 x + f 2 y   ∂ ∂x   1 √ 1 + f 2 x + f 2 y     = −1 (1 + f 2 x + f 2 y ) 3 2   (1 + f 2 y )fxx − fxfyfxy (1 + f 2 x )fxy − fxfyfxx fxfxx + fyfxy   , ∂n ∂y (x, y) =   ∂ ∂y  √ −fx 1 + f 2 x + f 2 y   ∂ ∂y   −fy √ 1 + f 2 x + f 2 y   ∂ ∂y   1 √ 1 + f 2 x + f 2 y     = −1 (1 + f 2 x + f 2 y ) 3 2   (1 + f 2 y )fxy − fxfyfyy (1 + f 2 x )fyy − fxfyfxy fxfxy + fyfyy   , 所以有 g 1 · ∂n ∂x (x, y) = − (1 + f 2 y )fxx − fxfyfxy (1 + f 2 x + f 2 y ) 3 2 = −b 1 1 , g 2 · ∂n ∂y (x, y) = − (1 + f 2 x )fyy − fxfyfxy (1 + f 2 x + f 2 y ) 3 2 = −b 1 1 . 由此可得平均曲率 H = −b s s = (1 + f 2 y )fxx + (1 + f 2 x )fyy − 2fxfyfxy (1 + f 2 x + f 2 y ) 3 2 . 5