Gauss曲率与平均曲率的意义 谢锡麟 故可有 +f2-fafy/frr fry (1+f+f (-ff1+ (1+f)frz-fafy fry (1+fu)fry-frfy (1+f2+1)3(1+)y-fx(1+f)fm-fff 综上,可有 det (1+f H=bs=(+ ) fzx+(1+ /1Jyy-2y2yzy (1+f2+f2) 对于柱面,其向量值映照表示为 2(a, y): Dry 3 f(r) 此情形下,有 fy=0, fry=fyy=0 因此可得柱面的曲率计算式为 frr (1+f2 对于平均曲率的计算,也可根据如下关系式获得 式中{x22=1为曲面∑的一般参数.现已有 10 + (x,y) 1+f2 1 fr fy f2+f 直接求其逆矩阵,即 +f2 f2+fy f2+f2 1+f2+f2 1+ 1++1++1+f+f far f2+f2 +f1++张量分析讲稿谢锡麟 Gauss 曲率与平均曲率的意义 谢锡麟 故可有 ( b i j ) = ( g ik) (bkj) = 1 (1 + f 2 x + f 2 y ) 3 2 ( 1 + f 2 y −fxfy −fxfy 1 + f 2 x ) (fxx fxy fxy fyy) = 1 (1 + f 2 x + f 2 y ) 3 2 ( (1 + f 2 y )fxx − fxfyfxy (1 + f 2 y )fxy − fxfyfyy (1 + f 2 x )fxy − fxfyfxx (1 + f 2 x )fyy − fxfyfxy) . 综上, 可有 KG = det ( bij) det ( gij) = fxxfyy − f 2 xy (1 + f 2 x + f 2 y ) 2 , H = b s s = (1 + f 2 y )fxx + (1 + f 2 x )fyy − 2fxfyfxy (1 + f 2 x + f 2 y ) 3 2 . 对于柱面, 其向量值映照表示为 Σ(x, y) : Dxy ∋ ( x y ) 7→ Σ(x, y) =   x y f(x)   ∈ R 3 . 此情形下, 有 fy = 0, fxy = fyy = 0, 因此可得柱面的曲率计算式为 KG = 0, H = fxx (1 + f 2 x ) 3 2 . 对于平均曲率的计算, 也可根据如下关系式获得. −b s s = Σ ∇ · n = g 1 · ∂n ∂x1 (x) + g 2 · ∂n ∂x2 (x), 式中 {x i} 2 i=1 为曲面 Σ 的一般参数. 现已有 ( g1 g2 n ) (x, y) =   1 0 −√ fx 1 + f 2 x + f 2 y 0 1 − fy √ 1 + f 2 x + f 2 y fx fy 1 √ 1 + f 2 x + f 2 y   , 直接求其逆矩阵, 即 ( g1 g2 n )−1 =   1 + f 2 y 1 + f 2 x + f 2 y −fxfy 1 + f 2 x + f 2 y fx 1 + f 2 x + f 2 y −fxfy 1 + f 2 x + f 2 y 1 + f 2 x 1 + f 2 x + f 2 y fy 1 + f 2 x + f 2 y √ −fx 1 + f 2 x + f 2 y −fy √ 1 + f 2 x + f 2 y 1 √ 1 + f 2 x + f 2 y   , 4