Gauss曲率与平均曲率的意义 谢锡麟 综上,有 K= lim Esil- detb=k E60|∑6detG 即为 Gauss曲率. 12平均曲率的力学意义 平均曲率对曲面的弯曲程度的刻画似乎比Gaus曲率更为“宽泛”,如下节的计算表明,柱 面的 Guass曲率为零而平均曲率不为零.另一方面,平均曲率直接联系于几何形态为曲面的连续 介质的力学行为,包括溥膜的表面张力,薄膜作有限变形运动时薄膜面密度(厚度)等 2应用事例 21二维 Monge型曲面的 Gauss曲率及平均曲率 设R3中的二维 Monge型曲面具有以下的向量值映照表示 (x,y):Dy3)→E(x,y) ∈R3, f(, y) 有 fr fy 所以有 gi =(DE)DE=I2+(Df)D/s/1+f ffy f1+f2 法向量为 fr fy 91×92 1++f2 计算曲面第二基本量,即 bij=(a3 1+f2+f2 Vry foul 另可得 +f2-frfy =(0)=1++f(-1,1+f ①本书第五部分将给出相关结论张量分析讲稿谢锡麟 Gauss 曲率与平均曲率的意义 谢锡麟 综上, 有 K = lim |Σδ|→0 |ΣS1 | |Σδ| = det B det G = KG, 即为 Gauss 曲率. 1.2 平均曲率的力学意义 平均曲率对曲面的弯曲程度的刻画似乎比 Gauss 曲率更为 “宽泛”, 如下节的计算表明, 柱 面的 Guass 曲率为零而平均曲率不为零. 另一方面, 平均曲率直接联系于几何形态为曲面的连续 介质的力学行为, 包括薄膜的表面张力, 薄膜作有限变形运动时薄膜面密度 (厚度) 等➀. 2 应用事例 2.1 二维 Monge 型曲面的 Gauss 曲率及平均曲率 设 R 3 中的二维 Monge 型曲面具有以下的向量值映照表示: Σ(x, y) : Dxy ∋ ( x y ) 7→ Σ(x, y) =   x y f(x, y)   ∈ R 3 , 有 DΣ(x, y) =   1 0 0 1 fx fy   = ( g1 g2 ) (x, y) = ( I2 Df(x, y) ) . 所以有 ( gij) = (DΣ) TDΣ = I2 + (Df) TDf = ( 1 + f 2 x fxfy fxfy 1 + f 2 y ) , 法向量为 n = 1 |g1 × g2 |R3 g1 × g2 = 1 √ 1 + f 2 x + f 2 y   −fx −fy 1   . 计算曲面第二基本量, 即 bij , ( ∂gi ∂xi , n ) R3 = 1 √ 1 + f 2 x + f 2 y ( fxx fxy fxy fyy) (x, y), 另可得 ( g ij) = ( gij)−1 = 1 1 + f 2 x + f 2 y ( 1 + f 2 y −fxfy −fxfy 1 + f 2 x ) , ➀ 本书第五部分将给出相关结论. 3