Gauss曲率与平均曲率的意义 谢锡麟 式中,|∑6为曲面上点P某一邻域的面积,|∑s1为该邻域按Gaus映照到单位球面上之区域的 面积 单位球面可以由映照n=n(x3,n)来表示.设曲面上P点某邻域∑对应曲面坐标 (x3,x2)的范围为Dx,则有 m×m( ∑| 0∑0 art ax? (as, a)do 如果设曲面坐标(x3,n)的取值范围Dg的面积为|Dx,根据积分中值定理有 Eal+0 o/s, lim Ds laxy azlpy <al. 23 )do K= lim 12Si (s, s)do anan axl ax2 (Q) 68r-o Deslant az2(Q) aay azg(Q) 0∑0∑ aaz(Q) 式中,点Q为邻域∑中的某一点.因为当|∑|→0时,必然有Q→P,所以有 180|210、0E 设点P的切向量和法向量分别为91,g2,n,则有 ∑0 m1xax)=9×9=(91x9)n=dt(9192n) 而 9: det 9192 de 9192 9119120 det g 00 所以 0∑0∑ (P)=|g1×92lR3 3 根据曲面第二基本形式的定义,有 a x arzL()=(-bug')x(=b2 g )ga=pbib (9'xg )a (b11b22-b12b21)19'x92lp3 det B张量分析讲稿谢锡麟 Gauss 曲率与平均曲率的意义 谢锡麟 式中, |Σδ| 为曲面上点 P 某一邻域的面积, |ΣS1 | 为该邻域按 Gauss 映照到单位球面上之区域的 面积. 单位球面可以由映照 n = n(x 1 Σ, x2 Σ) 来表示. 设曲面上 P 点某邻域 Σδ 对应曲面坐标 (x 1 Σ, x2 Σ) 的范围为 DxΣ , 则有 |ΣS1 | = ∫ DxΣ     ∂n ∂x1 Σ × ∂n ∂x2 Σ     R3 (x 1 Σ, x2 Σ)dσ, |Σδ| = ∫ DxΣ     ∂Σ ∂x1 Σ × ∂Σ ∂x2 Σ     R3 (x 1 Σ, x2 Σ)dσ. 如果设曲面坐标 (x 1 Σ, x2 Σ) 的取值范围 DxΣ 的面积为 |DxΣ |, 根据积分中值定理有 K = lim |Σδ|→0 |ΣS1 | |Σδ| = lim |Σδ|→0 ∫ DxΣ     ∂n ∂x1 Σ × ∂n ∂x2 Σ     R3 (x 1 Σ, x2 Σ)dσ ∫ DxΣ     ∂Σ ∂x1 Σ × ∂Σ ∂x2 Σ     R3 (x 1 Σ, x2 Σ)dσ = lim |Σδ|→0 |DxΣ |     ∂n ∂x1 Σ × ∂n ∂x2 Σ     R3 (Q) |DxΣ |     ∂Σ ∂x1 Σ × ∂Σ ∂x2 Σ     R3 (Q) = lim |Σδ|→0     ∂n ∂x1 Σ × ∂n ∂x2 Σ     R3 (Q)     ∂Σ ∂x1 Σ × ∂Σ ∂x2 Σ     R3 (Q) , 式中, 点 Q 为邻域 Σδ 中的某一点. 因为当 |Σδ| → 0 时, 必然有 Q → P, 所以有 K = lim |Σδ|→0 |ΣS1 | |Σδ| =     ∂n ∂x1 Σ × ∂n ∂x2 Σ     R3 (P)     ∂Σ ∂x1 Σ × ∂Σ ∂x2 Σ     R3 (P) . 设点 P 的切向量和法向量分别为 g1 , g2 , n, 则有     ∂Σ ∂x1 Σ × ∂Σ ∂x2 Σ     R3 (P) =|g1 × g2 |R3 = (g1 × g2 ) · n = det ( g1 g2 n ) . 而 |g1 × g2 | 2 R3 = det ( g1 g2 n ) det ( g1 g2 n ) = det(   g T 1 g T 2 n T   ( g1 g2 n ) ) = det   g11 g12 0 g21 g22 0 0 0 1   = det G, 所以     ∂Σ ∂x1 Σ × ∂Σ ∂x2 Σ     R3 (P) = |g1 × g2 |R3 = √ det G. 根据曲面第二基本形式的定义, 有     ∂n ∂x1 Σ × ∂n ∂x2 Σ     R3 (P) =  (−b1ig i ) × (−b2jg j )   R3 =  b1ib2j (g i × g j )   R3 =(b11b22 − b12b21)  g 1 × g 2   R3 = det B √ det G . 2