Gauss曲率与平均曲率的意义 谢锡麟复旦大学力学与工程科学系 2015年4月2日 1知识要素 11 Gauss曲率的几何意义 此处考虑三维空间中的二维曲面(x,x2)的某一点P的弯曲程度.在P点附近的曲面 上任取一邻域,记作∑6.如果曲面∑(x,x2)是一个平面,显然该邻域∑6中所有点的法向量 n(x3,x2)都指向同一方向;曲面越弯曲,则邻域∑。中各点的法向量的指向就越分散.这些法向 量分散的程度也就反应了曲面在该点处的弯曲程度 为了定量表示邻域∑内各点法向量的分散程度,可作如下映照:将邻域∑6内每一点的法 向量之起始端移动到同一点(比如原点O),则邻域∑6内曲面上的每一点都对应于单位球面(记 作S1)上的一个点,这个映照称为 Gauss映照,如图1所示.而这些法向量的分散程度也就可以 用单位球面上的点组成的区域相对于球心的立体角表达.对于单位球面,立体角在数值上也就等 于该区域的面积 平行移动 平行移动 Figure1: Gauss映照示意 因此,可以定义曲面在点P附近的弯曲程度为 K= lim张量分析讲稿谢锡麟 Gauss 曲率与平均曲率的意义 谢锡麟 复旦大学 力学与工程科学系 2015 年 4 月 2 日 1 知识要素 1.1 Gauss 曲率的几何意义 此处考虑三维空间中的二维曲面 Σ(x 1 Σ, x2 Σ) 的某一点 P 的弯曲程度. 在 P 点附近的曲面 上任取一邻域, 记作 Σδ. 如果曲面 Σ(x 1 Σ, x2 Σ) 是一个平面, 显然该邻域 Σδ 中所有点的法向量 n(x 1 Σ, x2 Σ) 都指向同一方向; 曲面越弯曲, 则邻域 Σδ 中各点的法向量的指向就越分散. 这些法向 量分散的程度也就反应了曲面在该点处的弯曲程度. 为了定量表示邻域 Σδ 内各点法向量的分散程度, 可作如下映照: 将邻域 Σδ 内每一点的法 向量之起始端移动到同一点 (比如原点 O), 则邻域 Σδ 内曲面上的每一点都对应于单位球面 (记 作 S1) 上的一个点, 这个映照称为 Gauss 映照, 如图1所示. 而这些法向量的分散程度也就可以 用单位球面上的点组成的区域相对于球心的立体角表达. 对于单位球面, 立体角在数值上也就等 于该区域的面积. n(xΣ) Σδ x y z O n(xΣ) 樅㹼ぶ蒔 樅㹼ぶ蒔 x 1 Σ x 2 Σ O DxΣ Figure 1: Gauss 映照示意 因此, 可以定义曲面在点 P 附近的弯曲程度为 K = lim |Σδ|→0 |ΣS1 | |Σδ| , 1