第4期 常运合等：基于有限元法异型坯动态二冷控制模型开发与应用 ·419· 由凝固传热微分方程建立有限元求解格式，采 用适用范围较广的伽辽金(Galerkin)法.该方法可 以直接从微分方程及其边界条件出发来建立有限元 方程，无须涉及泛函和变分的概念，数理分析过程简 单.有限元控制方程为 [K I(),N]{ ={P}, (4) 式中，[K]为温度刚度矩阵，[N]为非稳态变温矩 图1异型坯二冷喷嘴布置示意图 阵，{T为未知温度值列向量，{P}为等式右端项组 Fig.1 Simplified spray cooling arrangement for beam blank sections 成的列向量，下标t表示这些列向量都取同一个t时 1.1模型基本假设 刻的值. 采用横向切片作为本模型的计算域，根据连铸 1.3初始条件和边界条件 1.3.1初始条件 过程特点，建立凝固传热模型时采用如下基本假设： 考虑保护渣的作用，结晶器内钢水液面按绝热处理； 弯月面处铸坯温度分布均匀，等于钢水浇注温 与拉速相比，忽略拉坯方向的纵向传热，铸坯的传热 度Tc 简化为二维非稳态传导传热：铸坯传热按传导传热 T(x,y,t=0)=Tc (5) 处理，其中凝固前沿两相区以及液相区域钢水流动 1.3.2边界条件 对传热的影响通过合适的有效导热系数来处理：钢 (1)结品器内.按第二类边界条件处理，热流 的热物理特性（如比热容、导热系数和密度等）在液 密度沿结晶器拉坯方向的分布采用下式计算： 相区、凝固两相区以及固相区为分段常数，且各向同 g=2680000-b√Lm/m (6) 性；自弯月面到二冷区，铸坯内、外弧传热条件按对 b=1.5×(2680000-q//Lm/m (7) 称处理，其中二冷区内同一冷却段内铸坯均匀冷却 式中：g为热流密度，W·m2;L.为结晶器有效长 (图1)：铸坯表面的辐射传热、与支撑辊的接触传热 度，m:g为平均热流密度，J·m2·s;t为拉速， 以及二冷水的冷却传热，采用综合传热系数一并考 ms1.其中，平均热流密度按下式计算： 虑；忽略结品器振动对凝固过程传热的影响 9=C.Q△T/Sm (8) 1.2凝固传热控制方程 式中：C为水的比热容，Jkg1℃；Q为结晶器水 根据以上假设条件，异型坯连铸凝固传热控制 流量，kgs；△T为水的进出口温差，℃；S为依据 微分方程可简化为 液面高度的结晶器壁有效冷却面积，m2. (1) (2)二冷区.按第三类边界条件处理： dy(dy 式中：k为导热系数，Wm1℃；C为等效比热 q=h(Ts-Tw) (9) 容，Jkg1℃-；T为温度，℃；p为密度，kg·m3 式中：g为热流密度，W·m-2;T和Tw分别为铸坯表 其中k在固相区中取为常数31.333W·m1.℃-1： 面和冷却水温度，℃：h为二冷区换热系数， 在液相区采用等效导热系数，即 Wm-2.℃-1 kes=mk (2) (3)空冷区.空冷区辐射换热按第三类边界条 式中，m=3 件处理： 两相区等效比热容按照下式确定： 9=e0【T.+273)4-(T。+273)4](10) Can=CiC.h 式中：g为辐射热流密度，W·m2:T。为环境温 2T1-T (3) 度，℃；为Stefan--Boltzmann常量，5.67×10-8W· 式中：C和C,分别表示铸坯在液相区和固相区比热 m2K';e为铸坯表面的辐射系数（黑度），本模型 容，为743.5Jkg-1.℃-1和665.311Jkg1.℃-；T 取0.8. 和T.分别表示钢种液、固相线温度，为1521℃和 1.4有限元离散模型建立 1473℃；L为凝固潜热，J·kg.以上热物性参数选 基于上述凝固传热物理模型，进一步建立其有 取由钢种SS400确定.本研究将凝固潜热化作固液 限元求解的离散化模型。根据异型坯横断面几何对 两相区等效比热容的方法来处理。 称特点，取1/4断面为实际计算域，对称面为绝热边第 4 期 常运合等: 基于有限元法异型坯动态二冷控制模型开发与应用 图 1 异型坯二冷喷嘴布置示意图 Fig． 1 Simplified spray cooling arrangement for beam blank sections 1. 1 模型基本假设 采用横向切片作为本模型的计算域，根据连铸 过程特点，建立凝固传热模型时采用如下基本假设: 考虑保护渣的作用，结晶器内钢水液面按绝热处理; 与拉速相比，忽略拉坯方向的纵向传热，铸坯的传热 简化为二维非稳态传导传热; 铸坯传热按传导传热 处理，其中凝固前沿两相区以及液相区域钢水流动 对传热的影响通过合适的有效导热系数来处理; 钢 的热物理特性( 如比热容、导热系数和密度等) 在液 相区、凝固两相区以及固相区为分段常数，且各向同 性; 自弯月面到二冷区，铸坯内、外弧传热条件按对 称处理，其中二冷区内同一冷却段内铸坯均匀冷却 ( 图 1) ; 铸坯表面的辐射传热、与支撑辊的接触传热 以及二冷水的冷却传热，采用综合传热系数一并考 虑; 忽略结晶器振动对凝固过程传热的影响． 1. 2 凝固传热控制方程 根据以上假设条件，异型坯连铸凝固传热控制 微分方程可简化为 ρCeff T t =   ( x k T  ) x +   ( y k T  ) y ( 1) 式中: k 为导热系数，W·m － 1 ·℃ － 1 ; Ceff 为等效比热 容，J·kg － 1 ·℃ － 1 ; T 为温度，℃ ; ρ 为密度，kg·m － 3 ． 其中 k 在固相区中取为常数 31. 333 W·m － 1 ·℃ － 1 ; 在液相区采用等效导热系数，即 keff = mk ( 2) 式中，m = 3． 两相区等效比热容按照下式确定: Ceff = Cl + Cs 2 + Lf Tl － Ts ( 3) 式中: Cl和 Cs分别表示铸坯在液相区和固相区比热 容，为 743. 5 J·kg － 1 ·℃ － 1 和 665. 311 J·kg － 1 ·℃ － 1 ; Tl 和 Ts分别表示钢种液、固相线温度，为 1 521 ℃ 和 1 473 ℃ ; Lf为凝固潜热，J·kg － 1 ． 以上热物性参数选 取由钢种 SS400 确定． 本研究将凝固潜热化作固液 两相区等效比热容的方法来处理． 由凝固传热微分方程建立有限元求解格式，采 用适用范围较广的伽辽金( Galerkin) 法． 该方法可 以直接从微分方程及其边界条件出发来建立有限元 方程，无须涉及泛函和变分的概念，数理分析过程简 单． 有限元控制方程为 ［K］{ T} t +［N］{ T  } t t = { P} t ( 4) 式中，［K］为温度刚度矩阵，［N］为非稳态变温矩 阵，{ T} 为未知温度值列向量，{ P} 为等式右端项组 成的列向量，下标 t 表示这些列向量都取同一个 t 时 刻的值． 1. 3 初始条件和边界条件 1. 3. 1 初始条件 弯月面处铸坯温度分布均匀，等于钢水浇注温 度 TC ． T( x，y，t = 0) = TC ( 5) 1. 3. 2 边界条件 ( 1) 结晶器内． 按第二类边界条件处理，热流 密度沿结晶器拉坯方向的分布采用下式计算: q = 2 680 000 － b 槡Lm /v ( 6) b = 1. 5 × ( 2 680 000 － q) / 槡Lm /v ( 7) 式中: q 为热流密度，W·m － 2 ; Lm 为结晶器有效长 度，m; q 为平均热流密度，J·m － 2 ·s － 1 ; v 为拉速， m·s － 1 ． 其中，平均热流密度按下式计算: q = CwQ·ΔT /Seff ( 8) 式中: Cw为水的比热容，J·kg － 1 ·℃ － 1 ; Q 为结晶器水 流量，kg·s － 1 ; ΔT 为水的进出口温差，℃ ; Seff为依据 液面高度的结晶器壁有效冷却面积，m2 ． ( 2) 二冷区． 按第三类边界条件处理: q = h( TS － TW ) ( 9) 式中: q 为热流密度，W·m － 2 ; TS和 TW分别为铸坯表 面和 冷 却 水 温 度，℃ ; h 为 二 冷 区 换 热 系 数， W·m － 2 ·℃ － 1 ． ( 3) 空冷区． 空冷区辐射换热按第三类边界条 件处理: q = εσ［( Ts + 273) 4 － ( T0 + 273) 4 ］ ( 10) 式中: q 为 辐 射 热 流 密 度，W·m － 2 ; T0 为 环 境 温 度，℃ ; σ 为 Stefan--Boltzmann 常量，5. 67 × 10 － 8 W· m － 2 ·K － 1 ; ε 为铸坯表面的辐射系数( 黑度) ，本模型 取 0. 8． 1. 4 有限元离散模型建立 基于上述凝固传热物理模型，进一步建立其有 限元求解的离散化模型． 根据异型坯横断面几何对 称特点，取 1 /4 断面为实际计算域，对称面为绝热边 ·419·