第四讲两个随机变量函数的分布 【授课题目： §3.4两个随机变量的函数的分布 Ⅱ教学目的与要求：掌握两个随机变量和及取最大、最小的分布 Ⅲ教学重点与难点：X+Y、maxX,Y)、minX,Y)等的分布 N讲授内容： 上一章中已讨论过一个随机变量的函数的分布，本节讨论两个随机变量的函数的分布。 (1)Z=X+Y的分布 设(X,Y)的概率密度为f(x,y),则Z=X+Y的分布函数为 F(Z)=P亿s=PX+ys=∬fx,k=x,d X+Ys: 固定：和y，对积分fx,y达作变量变换，令x=u-y，得 [f(x.y)dx=[f(u-y.y)du 于是F,(e)=rfu-y,hd=fu-ydd 由概率密度的定义，即得Z的概率密度为 f()=[f(=-y.y)dy 由X、Y的对称性，f(:)又可写成 fz(=)=[f(x,=-x)dx 特别当X、Y相互独立时，设(X,)关于X、Y的边缘概率密度分别为fx(x)、,(y), 则又有 fz(=)=[fx(-y)fy(y)dy=[fx(x)fy(=-x)dx 这两个公式称为卷积公式(convolution),记为fx*f,即 fx*f=[fr(=-y)f(y)dv=[fx(x)fy(=-x)dkx 例1设X和Y是两个相互独立的随机变量，它们都服从N(0,),其概率密度为第四讲两个随机变量函数的分布 Ⅰ 授课题目： §3.4 两个随机变量的函数的分布 Ⅱ 教学目的与要求：掌握两个随机变量和及取最大、最小的分布 Ⅲ 教学重点与难点： X +Y 、 max( X ,Y)、 min( X ,Y) 等的分布 Ⅳ 讲授内容： 上一章中已讨论过一个随机变量的函数的分布，本节讨论两个随机变量的函数的分布。 （1） Z = X +Y 的分布 设 (X,Y) 的概率密度为 f (x, y) ，则 Z = X +Y 的分布函数为        +  + − − −     =  = +  = = X Y z z y FZ (Z) P Z z P X Y z f (x, y)dxdy f (x, y)dx dy 固 定 z 和 y ，对积分  − − z y f (x, y)dx 作变量变换，令 x = u − y ， 得  − − − = − z y z f (x, y)dx f (u y, y)du 于是   −  + − + − − = − = − z z FZ (z) f (u y, y)dudy [ f (u y, y)dy]du 由概率密度的定义，即得 Z 的概率密度为  + − f z = f z − y y dy Z ( ) ( , ) 由 X 、Y 的对称性， f (z) Z 又可写成  + − f z = f x z − x dx Z ( ) ( , ) 特别当 X 、Y 相互独立时，设 (X,Y) 关于 X 、Y 的边缘概率密度分别为 f (x) X 、f (y) Y ， 则又有   + − + − f z = f z − y f y dy = f x f z − x dx Z X Y X Y ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 这两个公式称为卷积公式(convolution)，记为 X Y f * f ，即   + − + − f f = f z − y f y dy = f x f z − x dx X Y X Y X Y * ( ) ( ) ( ) ( ) 例 1 设 X 和 Y 是两个相互独立的随机变量，它们都服从 N(0,1) ，其概率密度为