第1章预备知识 从引言可以看出本教材会假定读者有一定的数学基础。但是我们也注意到大量对逻 辑感兴趣的读者不一定对纯数学有那么强烈的兴趣。甚至有些读者会觉得太多的数学反 而会与我们的目的南辕北辙,会把辩证的“活”的逻辑搞得太机械以至弄“死”。这种怀 疑是有一定道理的。我们并不声称数学方法或更广义的理性方法是研究逻辑的唯一途径。 但我们要强调,这一点读者在后文也会看到,数理逻辑的一个重要的特点就是它能清楚地 告诉我们各种(包括数学)方法的局限,从而间接提示我们突破局限的方法和需要添加的 工具。 在本章中我们罗列一些预备知识,数学基础好的读者可以略过这一章。 第1节证明的必要性 数学不同于实验性科学,如物理或生命科学。对实验性科学来说,重要的是设计并动 手做实验,收集数据;根据观察到的事实,提岀理论并作岀预测,再用实验数据来检验理 论的正确性。数据(基本)吻合了,理论也就成功了。有极少数的特例问题不大。而数学 则不同。数学的论证必须是“滴水不漏”或是“无可置疑”的。不允许有任何例外。注意 在这一点上数学对论证的要求比思辨性科学(包括哲学)也要高。 我们看几个例子,说明仅仅列举大量事实不能代替数学论证。这也是普通归纳法的缺 陷 例11.我们称一个正整数p为一个素数,如果p≠1并且p只能被1和p整除。观察 31是一个素数,331是一个素数,3331也是一个素数,333和333也都是素数,是 不是所有形如33….3331的整数都是素数? 答案:不能,例如33331不是素数。 例12.费马在1637年注意到:对任何整数n≥3方程m2+y=2n没有x,y和z的正整 数解。经过几代数学家的努力,直到1995年,怀尔斯才证明了这一结论。在怀尔斯之前 人们验证了几乎人类计算极限内的所有整数,涉及的数字达到4,00.000的4,00.00次 方,超过了整个宇宙中所有基本粒子的数目,都没有发现例外。但这些都不能成为数学证第 1 章 预备知识 从引言可以看出本教材会假定读者有一定的数学基础。但是我们也注意到大量对逻 辑感兴趣的读者不一定对纯数学有那么强烈的兴趣。甚至有些读者会觉得太多的数学反 而会与我们的目的南辕北辙，会把辩证的“活”的逻辑搞得太机械以至弄“死”。这种怀 疑是有一定道理的。我们并不声称数学方法或更广义的理性方法是研究逻辑的唯一途径。 但我们要强调，这一点读者在后文也会看到，数理逻辑的一个重要的特点就是它能清楚地 告诉我们各种（包括数学）方法的局限，从而间接提示我们突破局限的方法和需要添加的 工具。 在本章中我们罗列一些预备知识，数学基础好的读者可以略过这一章。 第 1 节 证明的必要性 数学不同于实验性科学，如物理或生命科学。对实验性科学来说，重要的是设计并动 手做实验，收集数据；根据观察到的事实，提出理论并作出预测，再用实验数据来检验理 论的正确性。数据（基本）吻合了，理论也就成功了。有极少数的特例问题不大。而数学 则不同。数学的论证必须是“滴水不漏”或是“无可置疑”的。不允许有任何例外。注意 在这一点上数学对论证的要求比思辨性科学（包括哲学）也要高。 我们看几个例子，说明仅仅列举大量事实不能代替数学论证。这也是普通归纳法的缺 陷。 例 1.1. 我们称一个正整数 p 为一个素数，如果 p ̸= 1 并且 p 只能被 1 和 p 整除。观察： 31 是一个素数，331 是一个素数，3331 也是一个素数，33331 和 333331 也都是素数，是 不是所有形如 33 · · · 3331 的整数都是素数？ 答案：不能，例如 333333331 不是素数。 例 1.2. 费马在 1637 年注意到：对任何整数 n ≥ 3 方程 x n + y n = z n 没有 x, y 和 z 的正整 数解。经过几代数学家的努力，直到 1995 年，怀尔斯才证明了这一结论。在怀尔斯之前， 人们验证了几乎人类计算极限内的所有整数，涉及的数字达到 4,000,000 的 4,000,000 次 方，超过了整个宇宙中所有基本粒子的数目，都没有发现例外。但这些都不能成为数学证 1