第1节证明的必要性 第1章预备知识 明。我们现在考察一些与之近似的命题:方程x3+y32+23=3没有x,y,z和v的正整 数解。方程x4+y4+z4=v4又如何呢? 答案:方程x4+y4+24=4有解958004+2175194+4145604=4224814。方程x3+ y3+z3=un3是否有正整数解留给读者解答。 注:首先我们没有贬低实验科学中观察及猜想的重要性。好的猜想需要深刻的洞察 力,经常需要神来之笔。其次,从具体例子着手研究也是数学中普遍实行的方法。我们只 不过想强调大量的个例并不构成数学证明。 在数学研究中,反例是非常重要的。错误的猜想经常是被反例推翻的。例如, 例1.1中的3333就是一个反例。这使前面7个例子不重要了,我们也不需要更 多的反例 那数学中怎样证实猜想呢?方法是给出数学证明。大体上说,我们从大家公认的事实 出发。这些公认的事实被称为“公理”。公理是数学证明的起点。接下来我们一步步地列 出一系列的命题,每一步都是根据逻辑规则得出的。这些逻辑规则保证如果你承认上一步 结论的正确性,你就一定承认下一步结论的正确性。在证明中,已经被证明的事实和公理 在任何时候都可以被引用。这一系列命题的终点就是我们要证实的猜想。一旦猜想被证明 了,它就被称为定理。 数学证明的目的是让读者相信其正确性。因此证明通常都是从简单到复杂依照逻辑 规则展开。与之无关的内容一概放弃。从证明中经常看不出数学家的思考过程。这也是数 学证明让初学者感到困惑的地方之一。 下面给出两个经典证明的例子。它们是古希腊数学的两颗明珠,既简单又优雅 例13.证明√2是无理数 证明:假定√2是有理数,即可以写成两个整数a和b之比"。我们可以进一步假定a和b 没有大于1的公因子。 ab 两边平方,再乘b2,得到 由于左边是偶数,右边必定也是,所以a是偶数。令a=2c并代入,得到 同样的理由告诉我们b也是偶数。因而与a和b没有大于1的公因子矛盾。所以不存在这 样的a和b,因而√2是无理数。 例1.4.证明存在无穷多个素数。第 1 节 证明的必要性 第 1 章 预备知识 明。我们现在考察一些与之近似的命题：方程 x 3 + y 3 + z 3 = w 3 没有 x, y, z 和 w 的正整 数解。方程 x 4 + y 4 + z 4 = w 4 又如何呢？ 答案：方程 x 4 + y 4 + z 4 = w 4 有解 958004 + 2175194 + 4145604 = 4224814。方程 x 3 + y 3 + z 3 = w 3 是否有正整数解留给读者解答。 注：首先我们没有贬低实验科学中观察及猜想的重要性。好的猜想需要深刻的洞察 力，经常需要神来之笔。其次，从具体例子着手研究也是数学中普遍实行的方法。我们只 不过想强调大量的个例并不构成数学证明。 在数学研究中，反例是非常重要的。错误的猜想经常是被反例推翻的。例如， 例 1.1 中的 333333331 就是一个反例。这使前面 7 个例子不重要了，我们也不需要更 多的反例。 那数学中怎样证实猜想呢？方法是给出数学证明。大体上说，我们从大家公认的事实 出发。这些公认的事实被称为“公理”。公理是数学证明的起点。接下来我们一步步地列 出一系列的命题，每一步都是根据逻辑规则得出的。这些逻辑规则保证如果你承认上一步 结论的正确性，你就一定承认下一步结论的正确性。在证明中，已经被证明的事实和公理 在任何时候都可以被引用。这一系列命题的终点就是我们要证实的猜想。一旦猜想被证明 了，它就被称为定理。 数学证明的目的是让读者相信其正确性。因此证明通常都是从简单到复杂依照逻辑 规则展开。与之无关的内容一概放弃。从证明中经常看不出数学家的思考过程。这也是数 学证明让初学者感到困惑的地方之一。 下面给出两个经典证明的例子。它们是古希腊数学的两颗明珠，既简单又优雅。 例 1.3. 证明 √ 2 是无理数。 证明: 假定 √ 2 是有理数，即可以写成两个整数 a 和 b 之比 a b。我们可以进一步假定 a 和 b 没有大于 1 的公因子。 √ 2 = a b 。 两边平方，再乘 b 2，得到 2b 2 = a 2。 由于左边是偶数，右边必定也是，所以 a 是偶数。令 a = 2c 并代入，得到 b 2 = 2c 2。 同样的理由告诉我们 b 也是偶数。因而与 a 和 b 没有大于 1 的公因子矛盾。所以不存在这 样的 a 和 b，因而 √ 2 是无理数。 例 1.4. 证明存在无穷多个素数。 2