第1章预备知识 第2节集合 证明:假如只有有穷多个素数,比方说n个。把它们全列出来:p1,p2,…,Pn。考察一个 新的整数 p1p2…Pn+1。 它不能被任何素数整除。这与任何整数都可以被分解成素数乘积这一事实矛盾。因而素数 是无限多的。 以上两个证明也是所谓“反证法”的典型例子。反证法是这类要排除无穷多种情况或 直接涉及无穷的证明的有力工具。 第2节集合 在中学我们学过用A={a0,a1,…,an}表示A是一个集合,a0,a1,…,an是它的元 素。但集合并不总是有有穷多个元素,无穷的集合,例如全体自然数的集合,有时会记 作N={0,1,2,},但这样的写法不能表示不可数的集合,例如全体实数的集合R就 不能以这种方式表示,因此更方便的是用A={x:P(x)}表示一个集合,其中P是 个特定的性质。例如,{x:x是红的}表示所有红色事物组成的集合。一般用x∈A表 示x是A的元素,读作x属于A,一般用xgA表示x不是A的元素。 外延原理关于集合一个最重要的性质是,它是完全由其元素决定的,而与其它的因 素,如我们怎样描述集合里的元素,没有关系。比如,{x∈R:对所有的实数y都满足 x+y=y}和{x∈R:对所有的实数z都满足xxz=x}是同一个集合,因为它们都只 包含实数0这一个元素。所以我们有所谓外延原理:A=B当且仅当A和B有相同的元 素。一方面如果A=B则必然有它们的元素相同,这实际上就是莱布尼兹的不可分辨原 理。另一方面如果集合A的元素都是集合B的元素,反之集合B的元素也都是集合A的 元素,那我们就断定A=B,这是我们证明两个集合相等的基本方法。 集合的交、并、差如果A,B是集合,则将A,B中元素聚集在一起构成新的集合, 称为A与B的并集,记作AUB。所以AUB={x:x∈A或者x∈B}。类似的 同时既属于A又属于B的元素构成A与B的交集,记作A∩B。显然,A∩B= x:x∈A并且x∈B}。最后,A与B的差,A-B指的是属于A但是不属于B的元素, 即A-B={x:x∈A但是xgB} 子集、幂集和空集如果A是一个集合,那么A中的一部分元素可以构成一个新的集合 B,称为A的一个子集,记为BcA。因此,B是A的子集当且仅当所有B的元素都 是A的元素。显然,每个集合都是自己的子集。如果BCA并且B≠A,就称B是A的 真子集。如果需要特别表明,我们会以B≤A表示B是A的真子集。第 1 章 预备知识 第 2 节 集合 证明: 假如只有有穷多个素数，比方说 n 个。把它们全列出来：p1, p2, · · · , pn。考察一个 新的整数 q = p1p2 · · · pn + 1。 它不能被任何素数整除。这与任何整数都可以被分解成素数乘积这一事实矛盾。因而素数 是无限多的。 以上两个证明也是所谓“反证法”的典型例子。反证法是这类要排除无穷多种情况或 直接涉及无穷的证明的有力工具。 第 2 节 集合 在中学我们学过用 A = {a0, a1, · · · , an} 表示 A 是一个集合，a0, a1, . . . , an 是它的元 素。但集合并不总是有有穷多个元素，无穷的集合，例如全体自然数的集合，有时会记 作 N = {0, 1, 2, . . .}，但这样的写法不能表示不可数的集合，例如全体实数的集合 R 就 不能以这种方式表示，因此更方便的是用 A = {x : P(x)} 表示一个集合，其中 P 是一 个特定的性质。例如，{ x : x 是红的} 表示所有红色事物组成的集合。一般用 x ∈ A 表 示 x 是 A 的元素，读作 x 属于 A，一般用 x ̸∈ A 表示 x 不是 A 的元素。 外延原理 关于集合一个最重要的性质是，它是完全由其元素决定的，而与其它的因 素，如我们怎样描述集合里的元素，没有关系。比如，{x ∈ R : 对所有的实数 y 都满足 x + y = y} 和 {x ∈ R : 对所有的实数 z 都满足 x × z = x} 是同一个集合，因为它们都只 包含实数 0 这一个元素。所以我们有所谓外延原理：A = B 当且仅当 A 和 B 有相同的元 素。一方面如果 A = B 则必然有它们的元素相同，这实际上就是莱布尼兹 的不可分辨原 理。另一方面如果集合 A 的元素都是集合 B 的元素，反之集合 B 的元素也都是集合 A 的 元素，那我们就断定 A = B，这是我们证明两个集合相等的基本方法。 集合的交、并、差 如果 A, B 是集合，则将 A, B 中元素聚集在一起构成新的集合， 称为 A 与 B 的并集，记作 A ∪ B。所以 A ∪ B = { x : x ∈ A 或者 x ∈ B } 。类似的， 同时既属于 A 又属于 B 的元素构成 A 与 B 的交集，记作 A ∩ B。显然， A ∩ B = { x : x ∈ A 并且 x ∈ B } 。最后，A 与 B 的差，A−B 指的是属于 A 但是不属于 B 的元素， 即 A − B = { x : x ∈ A 但是 x ̸∈ B } 。 子集、幂集和空集 如果 A 是一个集合，那么 A 中的一部分元素可以构成一个新的集合 B，称为 A 的一个子集，记为 B ⊂ A。因此， B 是 A 的子集当且仅当所有 B 的元素都 是 A 的元素。显然，每个集合都是自己的子集。如果 B ⊂ A 并且 B ̸= A，就称 B 是 A 的 真子集。如果需要特别表明，我们会以 B ( A 表示 B 是 A 的真子集。 3