第2节集合 第1章预备知识 A的所有子集组成的集合称为A的幂集,记作P(A)={x:rcA} 有一个特殊的集合,它不包含任何元素,称为空集,一般记作的。空集是任何集合的 子集,怎样论证这一点对初学者是一个很好的练习。 集合族如果集合的元素本身也是集合,则这样的集合一般称为集合的族。例如 F={F0,F1,…,Fn-1} 表示n个集合的族。对于集合族,我们可以定义其上的一般并 ∪F={x:至少存在一个F∈F,∈F} 如果F≠0,则还可定义它的一般交 ∩F={x:对于每一个F∈F,x∈F} 注意:如果F是空集,则它的一般并仍然是空集,但是此时它的一般交却没有定义。1特 别地 ∪{,B}=AUB,∩{A.,B}=A∩B 为了清楚表示集合族,一般需要一个下标集。虽然理论上任何集合都可以用做下标集,但 最常用的下标集是全体自然数的集合N或者它的子集。对因此上面的集合族也可表示为 F={F2:0≤i<m} 而更一般地, {F1:i∈N} 表示一个无穷的集合族。在这种记法下,集合族F={F,F1,,Fn-1}的一般交和一般 并也表示为 ∪F=∪F,∩F=∩ 类似地, ∪{F:i∈N=∪F,∩{F:i∈N}=∩F 由于F是空集意味着没有F∈F,因此命题“对于每一个F∈F,x∈F”对任何x就总是真的,即所有x都属 于∩F,但这是不允许的,因为包含所有对象的“集合”是一个矛盾的概念。第 2 节 集合 第 1 章 预备知识 A 的所有子集组成的集合称为 A 的幂集，记作 P(A) = {x : x ⊂ A}。 有一个特殊的集合，它不包含任何元素，称为空集，一般记作 ∅。空集是任何集合的 子集，怎样论证这一点对初学者是一个很好的练习。 集合族 如果集合的元素本身也是集合，则这样的集合一般称为集合的族。例如， F = {F0, F1, . . . , Fn−1} 表示 n 个集合的族。对于集合族，我们可以定义其上的一般并： ∪ F = { x : 至少存在一个 F ∈ F, x ∈ F } 。 如果 F ̸= ∅，则还可定义它的一般交 ∩ F = { x : 对于每一个 F ∈ F, x ∈ F } 。 注意：如果 F 是空集，则它的一般并仍然是空集，但是此时它的一般交却没有定义。1 特 别地， ∪ {A, B} = A ∪ B, ∩ {A, B} = A ∩ B。 为了清楚表示集合族，一般需要一个下标集。虽然理论上任何集合都可以用做下标集，但 最常用的下标集是全体自然数的集合 N 或者它的子集。对因此上面的集合族也可表示为： F = {Fi : 0 ≤ i < n}。 而更一般地， F = {Fi : i ∈ N} 表示一个无穷的集合族。在这种记法下，集合族 F = {F0, F1, . . . , Fn−1} 的一般交和一般 并也表示为： ∪ F = n∪−1 i=0 Fi , ∩ F = n∩−1 i=0 Fi。 类似地， ∪ {Fi : i ∈ N} = ∪ i∈N Fi , ∩ {Fi : i ∈ N} = ∩ i∈N Fi。 1由于 F 是空集意味着没有 F ∈ F，因此命题“对于每一个 F ∈ F, x ∈ F”对任何 x 就总是真的，即所有 x 都属 于 ∩ F，但这是不允许的，因为包含所有对象的“集合”是一个矛盾的概念。 4