第1章预备知识 第3节关系 第3节关系 在数学研究中,人们关心的不仅仅是集合,在更多的时候,人们关心的是集合上的结 构。用日常语言来说,一个集合就像一堆砖头,杂乱无章。我们既可以把这堆砖头建成 堵墙,又可以盖一座楼等等。这里的墙或者楼就是所谓的结构。砖头还是砖头,而墙和楼 的不同在于砖与砖之间的关系不同。数学结构也是一样,通常是由一个集合配上若干关系 或者运算所组成的。比如,把自然数集N和自然数上的大小顺序放在一起,我们就有 个自然的“序结构”(N,<),其中 0<1<2<3< 在所有自然数的集合N上我们还可以造其它的序,比如,下面的< 6-4<20-135<7 就给我们另外一个序结构(N,<)。构成这两个结构的集合都是N,但作为结构它们是不同 的,比如第一个结构有最小元,第二个则没有。在我们继续讨论结构之前,先要回顾一下 关系和函数的基本概念。 最简单的关系是二元关系,它可看作一种对应或者广义的映射。每当有第一个元素 时,我们总系之于第二个元素。所以,关系的要素是成对出现的对象,而且这两个对象 是有顺序的,这就需要引入有序对的概念。一般用(a,b)表示由a和b组成的有序对。虽 然{a,b}={b,a},但除非a=b,否则(a,b)≠(b,a)。因此,有序对的“有序性”就是 任何两个有序对(a,b),(a,b),(a,b)=(a,b)当且仅当a=a'且b=b。 令X和Y为集合,则X和Y的卡氏积2定义为 X×Y={(x,y)|x∈X并且y∈Y 如果X=Y,则将X×X简记为X2。 我们称一集合R为集合X,Y之间的一个二元关系,R≤X×Y。这样,二元关 系R的所有元素都是有序对,即,对任意z∈R存在x∈X和y∈Y满足z=(x,y) 般地用R(x,y)表示(x,y)∈R,称和y有关系R。有时习惯地写作xRy。把关系视为 有序对的集合,初学者可能不习惯,因为它并没有直接告诉我们这个关系是什么。我们 之所以这样定义,原因和前面提到的集合的外延原理是一样的:我们并不关心我们怎样 描述R。两个不同的描述,只要它们给出的有序对是一样的,它们就是同一个关系。比如 R1={(x,y)∈N2:y+1=}和R2={(x,y)∈N2:x2=y2+2y+1}是自然数上的同 个关系,尽管我们对它们的描述不同 2卡氏积, Cartesian product,因笛卡尔而得名。笛卡尔, Rene descartes(1596-1650),法国哲学家,数学家。第 1 章 预备知识 第 3 节 关系 第 3 节 关系 在数学研究中，人们关心的不仅仅是集合，在更多的时候，人们关心的是集合上的结 构。用日常语言来说，一个集合就像一堆砖头，杂乱无章。我们既可以把这堆砖头建成一 堵墙，又可以盖一座楼等等。这里的墙或者楼就是所谓的结构。砖头还是砖头，而墙和楼 的不同在于砖与砖之间的关系不同。数学结构也是一样，通常是由一个集合配上若干关系 或者运算所组成的。比如，把自然数集 N 和自然数上的大小顺序放在一起，我们就有一 个自然的“序结构”(N, <)，其中： 0 < 1 < 2 < 3 < · · · 在所有自然数的集合 N 上我们还可以造其它的序，比如，下面的 ≺ · · · ≺ 6 ≺ 4 ≺ 2 ≺ 0 ≺ 1 ≺ 3 ≺ 5 ≺ 7 · · · 就给我们另外一个序结构 (N, ≺)。构成这两个结构的集合都是 N，但作为结构它们是不同 的，比如第一个结构有最小元，第二个则没有。在我们继续讨论结构之前，先要回顾一下 关系和函数的基本概念。 最简单的关系是二元关系，它可看作一种对应或者广义的映射。每当有第一个元素 时，我们总系之于第二个元素。所以，关系的要素是成对出现的对象，而且这两个对象 是有顺序的，这就需要引入有序对的概念。一般用 (a, b) 表示由 a 和 b 组成的有序对。虽 然 {a, b} = {b, a}，但除非 a = b，否则 (a, b) ̸= (b, a)。因此，有序对的“有序性”就是： 任何两个有序对 (a, b),(a ′ , b′ )， (a, b) = (a ′ , b′ ) 当且仅当 a = a ′ 且 b = b ′。 令 X 和 Y 为集合，则 X 和 Y 的卡氏积 2 定义为： X × Y = { (x, y) | x ∈ X 并且 y ∈ Y } 。 如果 X = Y ，则将 X × X 简记为 X2 。 我们称一集合 R 为集合 X, Y 之间的一个二元关系， R ⊆ X × Y 。这样，二元关 系 R 的所有元素都是有序对，即，对任意 z ∈ R 存在 x ∈ X 和 y ∈ Y 满足 z = (x, y) 。一 般地用 R(x, y) 表示 (x, y) ∈ R ，称 x 和 y 有关系 R 。有时习惯地写作 xRy 。把关系视为 有序对的集合，初学者可能不习惯，因为它并没有直接告诉我们这个关系是什么。我们 之所以这样定义，原因和前面提到的集合的外延原理是一样的：我们并不关心我们怎样 描述 R。两个不同的描述，只要它们给出的有序对是一样的，它们就是同一个关系。比如 R1 = {(x, y) ∈ N 2 : y + 1 = x} 和 R2 = {(x, y) ∈ N 2 : x 2 = y 2 + 2y + 1} 是自然数上的同一 个关系，尽管我们对它们的描述不同。 2卡氏积，Cartesian product，因笛卡尔而得名。笛卡尔，René Descartes （1596 - 1650），法国哲学家，数学家。 5