第3节关系 第1章预备知识 例1.5. 1)我们说一个整数m整除另一个整数n如果存在整数k使得n=m×k。我们用m|n 表示m整除n。整除是整数间的一个关系 R={(m,n)∈z×z:m|n}。 例如,我们有(2,4)∈R但是(3,4)gR (2)除了考察自然的关系之外,出于各种需要,我们经常人为地设计一些关系的例子。 比如,令A={1,2,3,4},B={1,a,b,C}并且R={(1,1),(1,a),(2,b),(3,1)}。这里 RcA×B,所以R是集合A与B之间的一个关系。我们有1R1,1Ra,2b和3R1, 但1,2班。 以下罗列与关系有关的一些定义。 R的定义域定义为:domR={x存在y使得F(x,y)} R的值域定义为:ranR={y|存在x使得R(x,y)} ·如果RCX2,则称R是X中的二元关系。 ·集合X在关系R下的象定义为 FX]={y∈ranR|存在x∈X使得R(x,y)}。 ·集合Y在关系R下的逆象定义为 R-1(]={x∈dmR|存在y∈Y使得R(x,y)}。 元关系R的逆定义为 R-1={(x,y)|(y,x)∈R} ·二元关系R和S的复合定义为 SoR={(x,2)存在y使得(x,y)∈R并且(y,2)∈S)} 例 1)令R={(x,y)|x=}为R中的二元关系,则R-1=R且RoR=R 2)如果R={(x,y)∈R2|y=√},则R-1={(x,y)|y=x2Ax≥0}第 3 节 关系 第 1 章 预备知识 例 1.5. (1) 我们说一个整数 m 整除 另一个整数 n 如果存在整数 k 使得 n = m×k。我们用 m | n 表示 m 整除 n。整除是整数间的一个关系： R = {(m, n) ∈ Z × Z : m | n}。 例如，我们有 (2, 4) ∈ R 但是 (3, 4) ̸∈ R。 (2) 除了考察自然的关系之外，出于各种需要，我们经常人为地设计一些关系的例子。 比如，令 A = {1, 2, 3, 4}，B = {1, a, b, c} 并且 R = {(1, 1),(1, a),(2, b),(3, 1)}。这里 R ⊆ A × B，所以 R 是集合 A 与 B 之间的一个关系。我们有 1R1, 1Ra, 2Rb 和 3R1， 但 1R/b，2R/1。 以下罗列与关系有关的一些定义。 • R 的定义域定义为： domR = { x | 存在 y 使得 R(x, y) } 。 • R 的值域定义为： ranR = { y | 存在 x 使得 R(x, y) } 。 • 如果 R ⊂ X2 ，则称 R 是 X 中的二元关系。 • 集合 X 在关系 R 下的象定义为： R[X] = { y ∈ ranR | 存在 x ∈ X使得 R(x, y) } 。 • 集合 Y 在关系 R 下的逆象定义为： R −1 [Y ] = { x ∈ domR | 存在 y ∈ Y 使得 R(x, y) } 。 • 二元关系 R 的逆定义为： R −1 = {(x, y) | (y, x) ∈ R}。 • 二元关系 R 和 S 的复合定义为： S ◦ R = { (x, z) | 存在 y 使得 ((x, y) ∈ R 并且 (y, z) ∈ S) } 。 例 1.6. (1) 令 R = {(x, y) | x = y} 为 R 中的二元关系，则 R−1 = R 且 R ◦ R = R。 (2) 如果 R = {(x, y) ∈ R 2 | y = √ x}，则 R−1 = {(x, y) | y = x 2 ∧ x ≥ 0}。 6