第1章预备知识 第3节关系 (3)“小于等于”关系和“大于等于”关系的复合<o≥等于R×R而<o<=<。 4)在前面举的A={1,2,3,4},B={1,a,b,c}并且R={(1,1),(1,a),(2,b,(3,1}的例 子中,domR={12,3}gA;ranR={1,a,b}B;R的逆R-为B×A的一个子 集R-1={(1,1),(a,1),(b,2),(1,3)} 5)令RA×B和SsB×C为如下关系,其中A={1,2,3,4},B={a,b,c,de} C={x,y,z,U},并且 R={(1,a),(1,c),(2,b),(4,a)} S={(a,y),(b,x),(a,u),(c,u),(d,x),(e,z2)}o 则SoR={(1,y),(1,),(2,x),(4,y),(4,)} 16)假定a3b∈Z并且n为正整数。我们称a同余于b模n,记为a≡b(modn), 如果n|(a-b)。我们称a不同余于b模n,记为a≠b(modn),如果n不整 除(a-b)。顾名思义a≡b(modn)当且仅当用n分别去除a和b所得的余数相 同。此外a≡0(modm)当且仅当n|a。同余是整数间的一个常见的关系。例如, 87≡12(mod15);83≠5(mod11)等等。 卡氏积和二元关系可以推广。首先,定义三元有序组 而四元序组 4)=(x1,x2,xr3),x4) 般地,对正整数n>2,假设(x1,,xn2-1)已有定义,则n元序组定义为 这是我们前面用过的“递归定义”或“归纳定义”方式 n个集合的卡氏积定义为 n)|x1∈X1A.Axn∈Mn} 同样 对任意集合R,如果RCX1×.xXn,则称R为一个n元关系。如果RCXn,则 称R是X上的n元关系。并且通常将(x1,…,xn)∈R写作R(x1,……,xn)第 1 章 预备知识 第 3 节 关系 (3) “小于等于”关系和“大于等于”关系的复合 ≤ ◦ ≥ 等于 R × R 而 ≤ ◦ ≤=≤。 (4) 在前面举的 A = {1, 2, 3, 4}，B = {1, a, b, c} 并且 R = {(1, 1),(1, a),(2, b),(3, 1)} 的例 子中，domR = {1, 2, 3} ⊆ A；ranR = {1, a, b} ⊆ B；R 的逆 R−1 为 B × A 的一个子 集, R−1 = {(1, 1),(a, 1),(b, 2),(1, 3)}。 (5) 令 R ⊆ A × B 和 S ⊆ B × C 为如下关系，其中 A = {1, 2, 3, 4}，B = {a, b, c, d, e}， C = {x, y, z, w}，并且 R = {(1, a),(1, c),(2, b),(4, a)}, S = {(a, y),(b, x),(a, w),(c, w),(d, z),(e, z)}。 则 S ◦ R = {(1, y),(1, w),(2, x),(4, y),(4, w)}。 (6) 假定 a, b ∈ Z 并且 n 为正整数。我们称 a 同余于 b 模 n，记为 a ≡ b (mod n)， 如果 n | (a − b)。我们称 a 不同余于 b 模 n，记为 a ̸≡ b (mod n)，如果 n 不整 除 (a − b)。顾名思义 a ≡ b (mod n) 当且仅当用 n 分别去除 a 和 b 所得的余数相 同。此外 a ≡ 0 (mod n) 当且仅当 n | a。同余是整数间的一个常见的关系。例如， 87 ≡ 12 (mod 15)；83 ̸≡ 5 (mod 11) 等等。 卡氏积和二元关系可以推广。首先，定义三元有序组 (x1, x2, x3) =df ((x1, x2), x3), 而四元序组 (x1, x2, x3, x4) =df ((x1, x2, x3), x4)。 一般地，对正整数 n > 2，假设 (x1, . . . , xn−1) 已有定义，则 n 元序组定义为： (x1, . . . , xn) =df ((x1, . . . , xn−1), xn)。 这是我们前面用过的“递归定义”或“归纳定义”方式。 n 个集合的卡氏积定义为： X1 × · · · × Xn = {(x1, · · · , xn) | x1 ∈ X1 ∧ . . . ∧ xn ∈ Xn}。 同样， X n = X × · · · × X | {z } n次。 。 对任意集合 R，如果 R ⊆ X1 × . . . × Xn，则称 R 为一个 n 元关系。如果 R ⊂ Xn ，则 称 R 是 X 上的 n 元关系。并且通常将 (x1, · · · , xn) ∈ R 写作 R(x1, · · · , xn) 。 7